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2016惠州三调数学(理科)试题 及答案


惠州市 2016 届高三第三次调研考试



学(理科)

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将 自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后

,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合 M ? {5, a2 ? 3a ? 5} , N ? {1,3} ,若 M ? N ? ? ,则实数 a 的值为( A. 1 2.复数 z ? A. 1 ? 2 i B. 2 C. 4 D. 1或 2 ) )

2i ? i 3 ( i 为虚数单位)的共轭复数为( i ?1
B. i ? 1 C. 1 ? i D. 1 ? 2i

3.若函数 y ? f ( x) 的定义域是 ? 0, 2? ,则函数 g ( x ) ? A. [0,1) ? (1, 2] 4.已知 sin ? ? cos ? ? B. [0,1) ? (1, 4]

f (2 x) 的定义域是( x ?1
D. (1, 4] )



C. [0,1)

4 ? (0 ? ? ? ) ,则 sin ? ? cos ? 的值为( 3 4

A.

2 3

B. ?

2 3

C.

1 3

D. ?

1 3

5.已知圆 O : x2 ? y 2 ? 4 上到直线 l : x ? y ? a 的距离等于 1 的点至少有 2 个, 则 a 的取值范围为( A. (?3 2,3 2) C. (?2 2,2 2)
数学试题(理科)

) B. (??, ?3 2) ? (3 2, ??) D. [?3 2,3 2]
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6.甲、乙等 5 人在 9 月 3 号参加了纪念抗日战争胜利 70 周年阅兵庆典后,在天安门广场 排成一排拍照留念,甲和乙必须相邻的排法有( A. 24 B. 48 C. 72 )种。 D. 120

7. 已知向量 m ? (sin A, ) 与向量 n ? (3,sin A ? 3 cos A) 共线, 其中 A 是 ?ABC 的内角, 则角 A 的大小为( A. )

??

1 2

?

?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

开始

8 .某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是 ( ) B.2015 D.3024

i ? 1, S ? 0
ai ? i ? cos i? ?1 2
i =i ? 1


A.1007 C.2016
2

S ? S ? ai
i ? 2016?


9 .若双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 y ? 2 x 无交 2 a b
) D. (1, 5]

2

点,则离心率 e 的取值范围是( A. (1, 2) B. (1, 2]

输出

S

结束

C. (1, 5)

10.某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长为 2 的 等腰直角三角形,侧视图是边长为 2 的正方形,则此四面体的四个 面中最大面积是( A. 2 2 ) B.4 C. 2 3 D. 2 6 正视图 侧视图

? x? y?2?0 11.设实数 x, y 满足条件 ? ?3 x ? y ? 6 ? 0 ,若目标函数 ? x ? 0, y ? 0 ?
3 2 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 12,则 ? 的最小值为( a b
A.

俯视图



25 6

B.

8 3

C.

11 3

D. 4

数学试题(理科)

第 2 页 共 17 页

12.若函数 f ( x ) 满足:在定义域 D 内存在实数 x0 ,使得 f ( x 0 ? 1) ? f ( x 0 ) ? f (1) 成立, 则称函数 f ( x ) 为“1 的饱和函数” 。给出下列四个函数: ① f ( x) ?

1 ; x

② f ( x) ? 2 x ;

③ f ( x) ? lg( x 2 ? 2) ; )

④ f ( x) ? cos ?? x ? .

其中是“1 的饱和函数”的所有函数的序号为( A.①③ B.②④ C.①②

D.③④

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答。 第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。

a? ? 13.已知 a ? ?2? sin xdx ,则二项式 ? x 2 ? ? 的展开式中 x 的系数为 . 0 x? ? ? ? ? ? 14.已知向量 a ? 1, 3 ,向量 b ? ? 3, m ? .若向量 b 在向量 a 方向上的投影为 3,
?

5

?

?

则实数 m =



15.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? a2 ? 1 , ?nS n ? (n ? 2)an ? 为等差数列, 则数列 ?an ? 的通项公式 an ? 16. 设点 P 在曲线 y ? .

1 x e 上, 点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上, 则 | PQ | 的最小值为 2



三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 如图所示,在四边形 ABCD 中, ?D = 2? B ,且 AD ? 1 , CD ? 3 , cos B ? (Ⅰ)求△ ACD 的面积; (Ⅱ)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

3 . 3
D

A

B
数学试题(理科) 第 3 页 共 17 页

C

18. (本小题满分 12 分) 某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠。已知该电梯在 1 层载有 4 位乘 客,假设每位乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的。 (Ⅰ)求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率; (Ⅱ)用 X 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数,求 X 的分布列和数学期望。

19. (本小题满分 12 分) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 菱 形 , PA ? 平 面 ABC D ,

?ABC ? 60? , E , F 分别是 BC, PC 的中点。
(Ⅰ)证明: AE ? 平面 PAD ; (Ⅱ) 取 AB ? 2 ,若 H 为 PD 上的动点,EH 与面 PAD 所成最大角的正切值为 的余弦值。

P

F A B E D

6 , 求二面角 E ? AF ? C 2

C

20. (本小题满分 12 分) 已知中心在原点的椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点为 F1 (3, 0) , a 2 b2

点 M (4, y)( y ? 0) 为椭圆上一点, ?MOF1 的面积为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

3 . 2

(Ⅱ)是否存在平行于 OM 的直线 l ,使得直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且以线段

AB 为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出 l 的方程,若不存在,说明理由。

数学试题(理科)

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21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a x ? x2 ? x ln a ? a ? 0, a ? 1? . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若存在 x1, x2 ?? ?1,1? ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1( e 是自然对数的底数) , 求实数 a 的取值范围。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图,正方形 ABCD 边长为 2,以 D 为圆心、 DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半 圆 O 交于点 F ,连结 CF 并延长交 AB 于点 E . (Ⅰ)求证: AE ? EB ;
E F A D

(Ⅱ)求 EF ? FC 的值。
B O C

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 已知曲线 C 的参数方程是 ?

? ?x ?1? co s ( ? 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为 ? y ? 2 ? sin?

? sin ?? ?

? ?

??

(其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合,极轴与直角 ?? 2. 4?

坐标系 x 轴正半轴重合,单位长度相同。 ) (Ⅰ)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设 M 是直线 l 与 x 轴的交点, N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值。

数学试题(理科)

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24. (本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? ?2 的解集; (Ⅱ)对任意 x ? ?a,?? ? ,都有 f ( x) ? x ? a 成立,求实数 a 的取值范围。

数学试题(理科)

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惠州市 2016 届高三第三次调研考试


题号 答案 1 D 2 A

学(理科)参考答案与评分标准
3 C 4 B 5 A 6 B 7 C 8 D 9 D 10 C 11 D 12 B

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。

1. 【解析】由题意得, a 2 - 3a + 5 = 1 或 3 ,解得 a = 1 或 2 ,故选 D. 2. 【解析】因为 z ?

2i 2i(i ? 1) ? i3 ? ? i ? ?i ? 1 ? i ? 1 ? 2i ,所以由共轭复数的定义 i ?1 (i ? 1)(i ? 1)

知,其共轭复数为 1 ? 2i ,故应选 A . 3. 【解析】根据题意有: ?

?0 ? 2 x ? 2 ?0 ? x ? 1 ,所以 ? ,所以定义域为 [0,1) .故选 C. ?x ?1 ? 0 ?x ? 1

16 4 ? (0 ? ? ? ) ,两边平方可得: 1 ? 2sin ? ? cos ? ? , 9 3 4 ? 7 7 2 2 即 sin ? ? cos ? ? , 所以 (sin ? ? cos ?)=1 ? 2sin ? cos ? =1 ? = , 又因为 0 ? ? ? , 4 18 9 9
4. 【解析】因为 sin ? ? cos ? ? 所以 sin ? ? cos ? ,所以 sin ? ? cos ? ? 0 ,所以 sin ? ? cos ? ? ?

2 ,故应选 B . 3

5. 【解析】由圆的方程可知圆心为 ? 0,0 ? ,半径为 2.因为圆上的点到直线 l 的距离等于 1 的点至少有 2 个, 所以圆心到直线 l 的距离 d ? r ? d0 ? 2 ? 1 , 即d ? 解得 a ? (?3 2,3 2) .故 A 正确. 6. 【解析】甲乙相邻用捆绑法,所以 A2 A4 ? 48 ,故应选 B .
2 4

?a 12 ? 12

?

a 2

? 3,

7. 【解析】 ? m ∥ n ,? sin A?(sin A ? 3 cos A) ?

??

?

3 ? 0 ? 1 ? cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 3 ? 0 2 2 2 2

? ? 11? 3 1 ? ) sin 2 A ? cos 2 A ? 1,sin(2 A ? ) ? 1 ,? A ? (0, ? ),? 2 A ? ? (? , 6 6 6 2 2 6
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所以 2 A ?

?
6

?

?
2

,A?

?
3

,故应选 C.

8.【解析】此程序框图表示的算法功能为求和,用分组方式,常数项 1 共 2016 个,和为 2016;余弦值四个一组,每组和为 2,共 504 组, S ? 2016 ? 504 ? 2 ? 3024 ,故选 D.

? 9. 【解析】 由题意可得, ? 2 , 故 e ? 1? ? a

b

b? ? ? 5, ?a?
Q P

2

再根据 e>1,可得 e 的取值范围,故选 D. 10. 【解析】如图,该几何体是正方体中的 NBCQ ,正 方体的棱长为 2, 四面体 NBCQ 的四个面的面积分别为
D M N

C

2, 2 2, 2 2, 2 3 ,最大的为 2 3 .故应选 C.
11. 【解析】画出不等式表示的平面区域,当直线
A B

目标 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 过直线 x ? y ? 2 ? 0 与直线 3x ? y ? 6 ? 0 的交点 ? 4, 6 ? 时, 函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 取得最大 12,即 2a ? 3b ? 6 ,则

3 2 ? a b

?

3 ? 2a ? 3b 2a ? 3b 3b 2a ?a ? ? ? 2? ? ? 4 。当且仅当 ? 2 时取等号。故选 D. 2a 3b 2a 3b ?b ?1 ?
1 1 ? ? 1所 x0 ? 1 x0

12. 【解析】对于①,若存在实数 x0 ,满足 f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1) ,则
2

以 x0 ? x0 ? 1 ? 0( x0 ? 0, 且x0 ? 1) ,显然该方程无实根,因此①不是“1 的饱和函数”;对 于②,若存在实数 x0 ,满足 f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1) ,则 2 x0 ?1 ? 2 x0 ? 2 ,解得 x0 ? 1 , 因此②是“1 的饱和函数”;对于③,若存在实数 x0 ,满足 f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1) ,则
2 2 2 2 lg ? ?( x0 ? 1) ? 2 ? ? ? lg( x0 ? 2) ? lg(1 ? 2) ,化简得 2x0 ? 2x0 ? 3 ? 0 ,显然该方程无实

根,因此不是“1 的饱和函数”;对于④,注意到 f ?

4? 1 ?1 ? ? 1? ? cos ?? , 3 2 ?3 ?

数学试题(理科)

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? 1 1 1 ?1? f ? ? ? f (1) ? cos ? cos ? ? ? , 即 f ( ? 1) ? f ( ) ? f (1) , 因此是“1 的饱和函数”, 3 2 3 3 ? 3?
综上可知,其中是“1 的饱和函数”的所有函数的序号是②④,故选 B 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. ?640 14. 3 15.

n 2n ?1

16. 2 (1 ? ln 2)
r 5

13.【解析】因为 a ? ?2

?

?
0

sin xdx ? ?4 , Tr ?1 ? C x

? ?

2 5? r

r 10?3r ? ?4 ? r , ? ? ? C5 ? ?4? x ? x ?
3

r

3 令 10 ? 3r ? 1 ,解得 r ? 3 ,则展开式中 x 的系数为 C5 ? ?4 ? ? ?640 .

? ? a ?b 3 ? 3m 14 .【解析】根据投影的定义可知 3 ? ? ? 3 ? ?m ? 3. a 2
15.【解析】当 n ? 1 时, nSn ? (n ? 2)an ? S1 ? 3a1 ? 4 ;

nSn ? (n ? 2)an ? 2S2 ? 4a2 ? 2(a1 ? a2 ) ? 4 ? 8 , 当 n ? 2 时, 所以数列 ?nSn ? ( n ? 2)an ?
是以 4 为首项,4 为公差的等差数列,所以 nSn ? ( n ? 2)an ? 4n 即 Sn ? 当 n ? 2 时 Sn ?1 ?

( n ? 2)an ? 4 ①, n

a n (n ? 1)an ? 4 ②,①-②得并整理得: n ? , an ?1 2(n ? 1) n ?1

所以有

an ?1 n ?1 a2 2 ? ? ,…, , an ?2 2( n ? 2) a1 2 ? 1
an an?1 a n n ?1 2 n ? ?? ? 2 ? a1 ? ? ??? ? 1 ? n ?1 , an ?1 an ?2 a1 2(n ? 1) 2(n ? 2) 2 ?1 2

所以 an ?

当 n ? 1 时,适合此式,所以 an ? 16. 【解析】函数 y ?

n . 2n ?1

1 x e 和函数 y ? ln(2 x) 互为反函数图像关于 y ? x 对称,则只有直线 2

1 PQ 与直线 y ? x 垂直时 | PQ | 才能取得最小值。设 P ( x, e x ) ,则点 P 到直线 y ? x 的距 2

数学试题(理科)

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1 x e ?x 1 x 1 x 离为 ,令 g ? x ? ? e ? x, ( x ? 0) ,则 g ' ? x ? ? e ? 1 , 2 d? 2 2 2
令 g '? x? ?

1 x 1 e ? 1 ? 0 得 x ? ln 2 ;令 g ' ? x ? ? e x ? 1 ? 0 得 0 ? x ? ln 2 , 2 2

则 g ? x ? 在 ? 0,ln 2? 上单调递减,在 ? ln 2, ??? 上单调递增。 则 x ? ln 2 时 g ? x ?min ? 则 PQ ? 2dmin ?

1 ? ln 2 1 ln 2 e ? ln 2 ? 1 ? ln 2 ? 0 ,所以 d min ? 。 2 2

2(1 ? ln 2) 。 (备注:也可以用平行于 y ? x 的切线求最值)

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) cos D ? cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ?
2

1 3

?????????(2 分)

因为 ?D ? ? 0, ? ? ,所以 sin D ? 所以△ ACD 的面积 S ?

2 2 ,??????????(4 分) 3

1 ? AD ? CD ? sin D ? 2 .??????(6 分) 2

(Ⅱ)解法一:在△ ACD 中, AC2 ? AD2 ? DC2 ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 , 所以 AC ? 2 3 .????????????????????(8 分) 在△ ABC 中, AC2 ? AB2 ? BC2 ? 2 AB ? BC ? cos B ? 12 ?????(10 分) 把已知条件代入并化简得: AB2 ? 4 AB ? 0 因为 AB ? 0 ,所以 AB ? 4 ??(12 分) 解法二:在△ ACD 中,在△ ACD 中, AC2 ? AD2 ? DC2 ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 , 所以 AC ? 2 3 .??????????????????????(8 分) 因为 BC ? 2 3 ,

2 3 AB AC AB ? ? ,所以 ,???(10 分) sin B sin ?ACB sin B sin ?? ? 2B ?

得 AB ? 4 .????????????????????????????(12 分)
数学试题(理科) 第 10 页 共 17 页

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为 A ,

1 由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是 , 3
4

?????? (2 分)

? 2 ? 65 .??????????????(4 分) 则 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? ? ? ? ? 3 ? 81
(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4, ??????????????(5 分)

由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为

1 ,且每个人下电梯互不影响, 3

所以 X ? B (4, )

1 3

?????????????????????(6 分) 1 2 3 4

X

0

P

16 81

32 81

24 81

8 81

1 81

??????????(10 分)

1 4 E ( X ) ? 4 ? ? . ?????????????????????(11 分) 3 3
所以所求的期望值为

4 . 3

?????????????????(12 分)

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形, ?ABC ? 600 ,可得 ?ABC 为正三角形,因为

E 为 BC 的中点,所以 AE ? BC ??????????(1 分)
又 BC // AD ,因此 AE ? AD ??????????????(2 分) 因为 PA ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD , 所以 PA ? AE ?????????????????????(3 分)

而 PA ? 平面 PAD, AD ? 平面 PAD, PA ? AD ? A , 所以 AE ? 平面 PAD ???????????????????(5 分)
数学试题(理科) 第 11 页 共 17 页

(Ⅱ) (法 1:H 为 PD 上任意一点, 连接 AH , EH 由 (1) 知 AE ? 平面 PAD, 则 ?EHA 为 EH 与平面 PAD所成的角 ?????????????????????(6 分) 在 RT ?EAH 中, AE ? 此时 tan?EHA ?

3 ,所以当 AH 最短时,即当 AH ? PD 时, ?EHA 最大,

AE 3 6 ,因此 AH ? 2 ???????(7 分) ? ? AH AH 2

又 AD ? 2 ,所以 ?ADH ? 450 ,所以 PA ? 2 ??(8 分) 因为 PA ? 平面 ABCD , PA ? 平面 PAC , 所以平面 PAC ? 平面 ABCD , 过 E 作 EO ? AC 于 O ,则 EO ? 平面 PAC , 过 O 作 OS ? AF 于 S ,连接 ES , 则 ?ESO 为二面角 E ? AF ? C 的平面角,?(9 分) 在 RT ?AOE 中, EO ? AE ? sin 300 ?

z
P

F

S
A B E x

H

O C

D

y

3 3 , AO ? AE ? cos300 ? 2 2 3 2 4

又 F 是 PC 的中点,在 RT ?ASO 中, SO ? AO ? sin 450 ?

又 SE ?

EO 2 ? SO2 ?

30 ????????????????(10 分) 4 SO 15 ,??????????(11 分) ? SE 5

在 RT ?ESO 中, cos?ESO ?

即所求二面角的余弦值为

15 。???????????????(12 分) 5

( 2)法 2:由(1)可知 AE, AD, AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,以 AE, AD, AP 分别 为 x, y, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系。设 AP ? a ,???????(6 分) 则 A(0,0,0), B( 3,?1,0), C ( 3,1,0), D(0,2,0), P(0,0, a), E ( 3,0,0), F (

3 1 a , , ) 2 2 2

数学试题(理科)

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H (0,2 ? 2? , a? ) (其中 ? ? [0,1] )? HE ? ( 3,2(? ? 1),?a?)
面 PAD的法向量为 n ? (1,0,0)

sin 2 ? ?| cos ? n, HE ?| 2 ?

3 3 ? 2 2 2 2 3 ? 4(? ? 1) ? a ? (a ? 4)?2 ? 8? ? 7

? EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 6
2
2 ? sin ? ?

3 (a ? 4)? ? 8? ? 7
2 2

的最大值为 ,

3 5

即 f (a) ? (a 2 ? 4)?2 ? 8? ? 7 在 ? ? [0,1] 的最小值为 5 ,

? 函数 f (a ) 对称轴 ? ?
所以 f (a) min ? f (
?
2

4 ? (0,1) , a ?4
2

4 ) ? 5 ,计算可得 a ? 2 ??????????(8 分) a ?4
?

所以 AE ? ( 3,0,0), AF ? (

3 1 , ,1) 2 2
?

?? ? ?m? AE ? 0 设平面 AEF 的一个法向量为 m ? ( x , y , z ) ,则 ? ? ? 1 1 1 ? ?m? AF ? 0
? 3 x1 ? 0 ? ? 因此 ? 3 ,取 z1 ? ?1 ,则 m ? (0,2,?1) ????(9 分) 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0 ? 2 ? 2

BD ? (? 3,3,0) 为平面 AFC 的一个法向量. ??????????(10 分)
所以 cos ? m, BD ??

m ? BD | m || BD |

?

15 ????????????(11 分) 5

所以,所求二面角的余弦值为

15 ?????????????(12 分) 5

数学试题(理科)

第 13 页 共 17 页

20. (本小题满分 12 分) 解: (1)? S ?MOF1 ?

3 3 3 ? y ? 得 y ?1 2 2 2


??????(1 分)

? M 在椭圆上,?

16 1 ? ?1 a 2 b2
? a 2 ? b2 ? 9

???????(2 分)

? F1 是椭圆的焦点

② ?????????(3 分)

由①②解得: a 2 ? 18, b2 ? 9

?????????????(4 分)

椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 18 9

????????????????(5 分)

(2) OM 的斜率 k ?

1 1 ,设 l 的方程为 y ? x ? m ,?????(6 分) 4 4

1 ? y ? x?m ? ? 4 联立方程组 ? 2 整理得 9 y 2 ?16my ? 8m2 ? 9 ? 0. 2 ?x ? y ?1 ? ? 18 9
△ ? ?16m ? ? 4 ? 9 ? 8m ? 9 ? 0 ,解得 m ? ? ??
2 2

?

?

? 9 2 9 2? , ? ???(7 分) 4 4 ? ? ?

设 A、 B 两点的坐标为 ( x1 , y1 )( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

16m 8m2 ? 9 , y1 y2 ? . ???(8 分) 9 9

以 AB 为直径的圆的方程为 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0. 该圆经过原点

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.

x1x2 ? (4 y1 ? 4m)(4 y2 ? 4m) ? 16 y1 y2 ?16m( y1 ? y2 ) ?16m2 ? x1x2 ? y1 y2 ? 16 y1 y2 ?16m( y1 ? y2 ) ?16m2 ? y1 y2

? 17 y1 y2 ? 16m( y1 ? y2 ) ? 16m2 ?
数学试题(理科)

17(8m2 ? 9) 162 m2 ? ? 16m2 ? 0 9 9
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解得 m ? ?

102 ? ? ? 9 2 , 9 2 ? ? ? ? ? ?????????????(11 分) 4 4 4 ? ?

经检验,所求 l 的方程为 y ?

1 102 ??????????(12 分) x? 4 4

(备注:若消去的变量为 y ,按对应给分点给分即可) 21. (本小题满分 12 分)
x x 解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ln a + 2x ? ln a ? 2x + (a ? 1)ln a .????????(1 分)

x 因为当 a ? 1 时, ln a ? 0 , a ? 1 ln a 在 R 上是增函数, x 因为当 0 ? a ? 1 时, ln a ? 0 , a ? 1 ln a 在 R 上也是增函数,

?

?

?

?

所以当 a ? 1 或 0 ? a ? 1 ,总有 f ?( x) 在 R 上是增函数,???????????(2 分) 又 f ?(0) ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 的解集为 (0, +?) , f ' ? x ? ? 0 的解集为 ? ??,0? ,??(3 分) 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, +?) ,单调减区间为 ? ??,0? .????????(4 分) (Ⅱ)因为存在 x1 , x2 ?[?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1 成立, 而当 x ? [?1,1] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x)max ? f ( x)min , 所以只要 f ( x)max ? f ( x)min ≥ e ? 1即可.???????????????(5 分) 又因为 x , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:

x
f ?( x)

(??,0)

0 0
极小值

(0, +?)

?
减函数

+
增函数

f ( x)

所以 f ( x) 在 [ ?1, 0] 上是减函数,在 [0,1] 上是增函数,所以当 x ? [?1,1] 时, f ? x ? 的最小值

f ? x ?min ? f ? 0? ? 1 , f ? x ? 的最大值 f ? x ?max 为 f ? ?1? 和 f ?1? 中的最大值.???(7 分)

数学试题(理科)

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1 ? 2ln a , a 1 1 2 1 令 g (a) ? a ? ? 2ln a(a ? 0) ,因为 g ?(a) ? 1 + 2 ? ? (1 ? )2 ? 0 , a a a a 1 所以 g (a) ? a ? ? 2ln a 在 a ? ? 0, ?? ? 上是增函数. a
因为 f (1) ? f (?1) ? (a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? 而 g (1) ? 0 ,故当 a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) ; 当 0 ? a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) .????????????(9 分) 所以,当 a ? 1 时, f (1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即 a ? ln a ≥ e ? 1 , 函数 y ? a ? ln a 在 a ? (1, ??) 上是增函数,解得 a ≥ e ;???????(10 分)

1 a

1 ? ln a ≥ e ? 1 , a 1 1 函数 y ? ? ln a 在 a ? (0,1) 上是减函数,解得 0 ? a ≤ .??????(11 分) a e 1 综上可知,所求 a 的取值范围为 a ? (0, ] ? [e, +?) .????????? (12 分) e
当 0 ? a ? 1 时, f (?1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即 在第 22、23、24 题中任选一题做答。 22(本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由以 D 为圆心 DA 为半径作圆,而 ABCD 为正方形, ∴EA 为圆 D 的切线 ??????????????????(1 分) 依据切割线定理得 EA2 ? EF ? EC ????????????(2 分)

另外圆 O 以 BC 为直径,∴EB 是圆 O 的切线,??????(3 分) 同样依据切割线定理得 EB 2 ? EF ? EC ???????????(4 分) 故 AE ? EB ???????????????(5 分) (Ⅱ)连结 BF ,∵BC 为圆 O 直径, ∴ BF ? EC 由 S ?BCE ? 得 BF ? ????????????(6 分)

A

D

1 1 BC ? BE ? CE ? BF 2 2

E

F

1? 2 2 5 ??????????(8 分) ? 5 5
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B

O

C

数学试题(理科)

又在 Rt?BCE 中,由射影定理得 EF ? FC ? BF ?
2

4 ????????(10 分) 5

23. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)曲线 C 的参数方程可化为 直线 l 的方程为 ? sin ?? ?

?x ? 1?2 ? ? y ? 2?2 ? 1

??????(2 分)

? ?

??

? ? 2 展开得 ? cos? ? ? sin ? ? 2 ????(4 分) 4?
x ? y ? 2 ? 0 ???????????????(5 分)

直线 l 的直角坐标方程为

(Ⅱ)令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即 M 点的坐标为(2,0)?????????(6 分) 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为 ?1,2? ,半径 r ? 1,则 MC ? 5 ???(8 分) 所以 MN ≤ MC ? r ? 5 ? 1,? MN 的最大值为 5 ? 1 .???????(10 分) 24(本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ) f ( x)

? -2

当 x ? ?2 时, x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 2 ,∴ x ? ? ;????????????(1 分)

2 2 ,∴ ? ? x ? 1 ??????????(2 分) 3 3 当 x ? 1 时, ? x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 6 , ∴1 ? x ? 6 ????????????(3 分)
当 ? 2 ? x ? 1 时, 3 x ? ?2 ,即 x ? ? 综上,解集为{ x | ?

2 3

? x ? 6}

???????????????????(4 分)

? x ? 4, x ? ?2 ? (Ⅱ) f ( x) ? ?3 x,?2 ? x ? 1 ,??????????????(5 分) ? ? x ? 4, x ? 1 ?
令 y ? x ? a , ? a 表示直线的纵截距,当直线过 ?1,3? 点时, ? a ? 2 ; ∴当 ? a

? 2,即 a ? -2 时成立;?????????????????(7 分)
a , 2

当 ? a ? 2 ,即 a ? ?2 时,令 ? x ? 4 ? x ? a , 得 x ? 2 ? ∴a

a ,即 a ? 4 时成立,??????????????????(9 分) 2 综上 a ? -2 或 a ? 4 ??????????????????????(10 分)

? 2+

数学试题(理科)

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