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2016高三数学一轮复习 第8章 第3课时 圆的方程课时训练 文 新人教版


【高考领航】 2016 高三数学一轮复习 第 8 章 第 3 课时 圆的方程课 时训练 文 新人教版

A 级 基础演练 1.圆 x +y -4x+6y=0 的圆心坐标是( A.(2,3) C.(-2,-3)
2 2 2

) B.(-2,3) D.(2,-3)
2

解析:选 D.将圆的方程配方得(

x-2) +(y+3) =13,圆心坐标为(2,-3),故选 D. 2.若点(2a,a+1)在圆 x +(y-1) =5 的内部,则 a 的取值范围是( A.-1<a<1 1 C.-1<a< 5
2 2 2 2

)

B.0<a<1 1 D.- <a<1 5
2 2

解析:选 A.∵点(2a,a+1)在圆 x +(y-1) =5 的内部,∴(2a) +a <5,解得-1<a<1. 3.将圆 x +y -2x-4y+1=0 平分的直线是( A.x+y-1=0 C.x-y+1=0
2 2

) B.x+y+3=0 D.x-y+3=0

解析:选 C.圆的圆心为(1,2).直线 x-y+1=0 过圆心.故选 C. 4.圆(x+2) +y =5 关于直线 y=x 对称的圆的方程为( A.(x-2) +y =5 C.(x+2) +(y+2) =5
2 2 2 2 2 2 2

)
2

B.x +(y-2) =5 D.x +(y+2) =5
2 2 2 2

解析:选 D.由题意知所求圆的圆心坐标为(0,-2),所以所求圆的方程为 x +(y+2) =5. 5.(2015·河北衡水中学调研)已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且与直线 3x+ 4y+4=0 相切,则圆的方程是( A.x +y -4x=0 C.x +y -2x-3=0
2 2 2 2

) B.x +y +4x=0 D.x +y +2x-3=0
2 2 2 2

解析:选 A. 设圆心为 C(m , 0)(m > 0) ,因为所求圆与直线 3x + 4y + 4 = 0 相切,所以 |3m+4×0+4| 14 =2,整理得|3m+4|=10,解得 m=2 或 m=- (舍去),故所求圆的方程为 2 2 3 3 +4 (x-2) +y =4,即 x +y -4x=0,故选 A. 6. 若圆 C 经过坐标原点和点(4, 0), 且与直线 y=1 相切, 则圆 C 的方程是________________. 3 2 25 2 2 2 2 解析:由已知可设圆心为(2,b),由 2 +b =(1-b) =r 得 b=- ,r = .故圆 C 的方程 2 4
2 2 2 2

1

2 ? 3? 25 2 为(x-2) +?y+ ? = . 4 ? 2?

2 ? 3? 25 2 答案:(x-2) +?y+ ? = 4 ? 2? 7.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切.则 圆 C 的方程为________________. 解析:直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点为(-1,0),∴圆心(-1,0). ∵圆 C 与直线 x+y+3=0 相切, |-1+0+3| ∴r= = 2, 2 2 1 +1 ∴圆 C 的方程为(x+1) +y =2. 答案:(x+1) +y =2 8.以直线 3x-4y+12=0 夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________________. 解析:法一:直线 3x-4y+12=0 与两坐标轴的交点分别为 A(-4,0),B(0,3), 3? ? 所以线段 AB 的中点为 C?-2, ?,|AB|=5. 2? ? 2 2 ? 3? ?5? 2 故所求圆的方程为(x+2) +?y- ? =? ? . ? 2? ?2? 法二:易得圆的直径的两端点为 A(-4,0),B(0,3), 设 P(x,y)为圆上任一点,则 PA⊥PB. ∴kPA·kPB=-1 得
2 2 2 2

y-3 · =-1(x≠-4,x≠0), x+4 x

y

即 x(x+4)+y(y-3)=0. 2 2 ? 3? ?5? 2 化简得(x+2) +?y- ? =? ? . ? 2? ?2? 2 ? 3? 25 2 答案:(x+2) +?y- ? = 4 ? 2? 9.已知 M 为圆 C:x +y -4x-14y+45=0 上任意一点,且点 Q(-2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值; (2)若 M(m,n),求
2 2

n-3 的最大值和最小值. m+2
2

解析:(1)由 C:x +y -4x-14y+45=0,可得(x-2) +(y-7) =8, ∴圆心 C 的坐标为(2,7),半径 r=2 2. 又|QC|= (2+2) +(7-3) =4 2. ∴|MQ|max=4 2+2 2=6 2, |MQ|min=4 2-2 2=2 2. (2)可知
2 2

2

2

2

2

n-3 表示直线 MQ 的斜率, m+2

设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2), 即 kx-y+2k+3=0,则

n-3 =k. m+2

由直线 MQ 与圆 C 有交点, |2k-7+2k+3| 所以 ≤2 2. 2 1+k 可得 2- 3≤k≤2+ 3, 所以

n-3 的最大值为 2+ 3,最小值为 2- 3. m+2
B 级 能力突破

1.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标 准方程是(
2

)
2

A.(x-2) +(y-1) =1 C.(x+2) +(y-1) =1
2 2

B.(x-2) +(y+1) =1 D.(x-3) +(y-1) =1
2 2

2

2

解析:选 A.由于圆心在第一象限且与 x 轴相切,故设圆心为(a,1),又圆与直线 4x-3y=0 |4a-3| 2 2 相切,可得 =1,解得 a=2,故圆的标准方程为(x-2) +(y-1) =1. 5 2.若直线 3x+y+a=0 过圆 x +y +2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为 ( A.-1 C.3
2 2 2 2

)

B.1 D.-3
2 2

解析: 选 B.圆的方程 x +y +2x-4y=0 可变形为(x+1) +(y-2) =5, 所以圆心坐标为(- 1,2),代入直线方程得 a=1. 3.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所包围 的图形的面积等于( A.π C.8π
2

) B.4π D.9π
2 2 2 2 2

解析:选 B.设 P(x,y),由题意知有(x+2) +y =4[(x-1) +y ],整理得 x -4x+y =0,
3

配方得(x-2) +y =4.可知圆的面积为 4π . 4.已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆 x +y -2x-2y+1=0 的两条切线,
2 2

2

2

A,B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值为________.
解析:∵圆的方程为 x +y -2x-2y+1=0,∴圆心 C(1,1),半径 r 为 1. 根据题意得,当圆心与点 P 的距离最小,即距离为圆心到直线的距离时,切线长|PA|,|PB| 最小, 则此时四边形面积最小. 又圆心到直线的距离为 d=3, ∴|PA|=|PB|= d -r =2 2. 1 ∴S 四边形 PACB=2× |PA|r=2 2. 2 答案:2 2 5.(2014·高考湖南卷)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3),C(3,0), → → → → 动点 D 满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的最大值是________. 解析:设出点 D 的坐标,求出点 D 的轨迹后求解. → → 2 2 设 D(x,y),由CD=(x-3,y)及|CD|=1 知(x-3) +y =1,即动点 D 的轨迹为以点 C 为圆 心的单位圆. → → → 又OA+OB+OD=(-1,0)+(0, 3)+(x,y)=(x-1,y+ 3), → → → 2 2 ∴|OA+OB+OC|= (x-1) +(y+ 3) . 问题转化为圆(x-3) +y =1 上的点与点 P(1,- 3)间距离的最大值. ∵ 圆 心 C(3 , 0) 与 点 P(1 , - 3 ) 之 间 的 距 离 为 (x-1) +(y+ 3) 的最大值为 7+1. 答案: 7+1 6.设定点 M(-3,4),动点 N 在圆 x +y =4 上运动,以 OM、ON 为两边作平行四边形 MONP, 求点 P 的轨迹. 解析:如图所示,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(3-1) +(0+ 3) = 7 , 故

2

2

?x y? 线段 MN 的中点坐标为?x0-3,y0+4?. 设 P(x, y), N(x0, y0), 则线段 OP 的中点坐标为? , ?, ? 2 2 ? ?2 2? ? ?
由于平行四边形的对角线互相平分,

x x0-3 y y0+4 故 = , = . 2 2 2 2
4

从而?

? ?x0=x+3 ? ?y0=y-4

.

N(x+3,y-4)在圆上,
故(x+3) +(y-4) =4. 因此所求轨迹为圆: (x+3) +(y-4) =4,
2 2 2 2

? 9 12? ? 21 28? 但应除去两点?- , ?和?- , ?(点 P 在直线 OM 上时的情况). ? 5 5? ? 5 5?

5


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