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【课堂新坐标】2017年高考数学(文科江苏专版)二轮专题复习与策略课件专题二 函数的图象与性质


2017版高三二轮复习与策略
热 点 题 型 · 探 究

专题二
高 考 命 题 · 视 角

函数的图象与性质

专 题 限 时 集 训

2017版高三二轮复习与策略

题型一| 函数及其表示

ln?2x-x2? (1)(2016· 苏 锡 常 镇 调 研 ( 二 )) 函 数 f(x) = 的定义域为 x-1 ________.
(2)(2016· 苏州模拟)已知实数 m≠0,函数 m)=f(2+m),则实数 m 的值为________.
? ?3x-m,x≤2, f(x)=? ? ?-x-2m,x>2,

若 f(2-

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2 ? ?2x-x >0, 8 (1)(0,1)∪(1,2) (2)8 或- [(1)要使函数有意义, 只需? 解得 0 3 ? ?x-1≠0,

<x<1 或 1<x<2, 即原函数的定义域为(0,1)∪(1,2).

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(2)当 m>0 时,2-m<2<2+m, 由 f(2-m)=f(2+m)得 3(2-m)-m=-(2+m)-2m, 解得 m=8. 当 m<0 时,2+m<2<2-m, 由 f(2-m)=f(2+m)得-(2-m)-2m=3(2+m)-m, 8 解得 m=- . 3 8 综上所述 m=8 或- .] 3

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【名师点评】 1.对于分段函数求值,应注意依据条件准确地找出利用哪一 段求解. 2.若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取 值范围,只需构建并解不等式(组)即可.

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(2016·无 锡 期 中 ) 定 义 在
? ?log2?3-x?,x≤0, ? ? ?f?x-1?-f?x-2?,x>0,

R

上 的 函 数

f(x) 满 足

f(x) =

则 f(11)=________.

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2 [f(11)=f(10)-f(9)=f(9)-f(8)-f(9)=-f(8), f(8)=f(7)-f(6)=f(6)-f(5)-f(6)=-f(5), f(5)=f(4)-f(3)=f(3)-f(2)-f(3)=-f(2), f(2)=f(1)-f(0)=f(0)-f(-1)-f(0)=-f(-1), ∴f(11)=f(-1)=log2(3+1)=log24=2.]

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题型二| 函数的图象及其应用

(1) 已知函数 f(x) = x|x - 2| ,则 不等式 f( 2 - x)≤f(1) 的解集为 ________. (2)已知函数 f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的实 数根,则实数 a 的取值范围为________.

【导学号:91632003】

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[解题指导] (1)作出 f(x)的图象,根据图象转化为关于 x 的不等式. (2)在同一坐标系中,分别作出 y1=|x2+3x|,y2=a|x-1|的图象,将方程根的 个数问题转化为两图象交点的个数问题求解.

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(1)[-1,+∞) (2)(0,1)∪(9,+∞) [(1)函数 y=f(x)的图象如图,由不等 式 f( 2-x)≤f(1)知, 2-x≤ 2+1, 从而得到不等式 f( 2-x)≤f(1)的解集为[- 1,+∞).

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(2)设 y1=f(x)=|x2+3x|,y2=a|x-1|, 在同一直角坐标系中作出 y1=|x2+3x|,y2=a|x-1|的图象如图所示.

由图可知 f(x)-a|x-1|=0 有 4 个互异的实数根等价于 y1=|x2+3x|与 y2=a|x -1|的图象有 4 个不同的交点,且 4 个交点的横坐标都小于 1,

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2 ? ?y=-x -3x, 所以? ? ?y=a?1-x?

有两组不同解.

消去 y 得 x2+(3-a)x+a=0 有两个不等实根, 所以 Δ=(3-a)2-4a>0,即 a2-10a+9>0, 解得 a<1 或 a>9. 又由图象得 a>0,所以 0<a<1 或 a>9.]

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【名师点评】 1.识图:在观察、分析图象时,要注意图象的分布及变化趋 势,尤其是函数的奇偶性以及极值点、特殊点的函数值等,找准解析式与图象 的对应关系. 2.用图:函数图象形象地展示了函数的性质?如单调性、奇偶性、最值等?, 为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,因此常用函数的图象研究函数的 性质,求解方程?不等式?中的参数取值等.

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1.设函数 y=f(x)是定义域为 R,周期为 2 的周期函数,且当 x∈[-1,1)时, f(x)=1-x2,函数
? ?lg|x|,x≠0, g(x)=? ? ?1,x=0,

则函数 f(x)和 g(x)的图象在区间[-5,10]内公共点的个数为________.

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14 [根据题意可在同一坐标平面内分别作出函数 y=f(x)和函数 y=g(x)的图 象,如图所示,

可见它们在区间[-5,10]内公共点的个数为 14 个.]

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1 π 2.函数 y= 的图象与函数 y=sin x(-4≤x≤8)的图象所有交点的横坐 2 2-x 标之和等于________.

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1 π 16 [函数 y= 与函数 y=sin x(-4≤x≤8) 2 2-x 的图象有公共的对称中心(2,0),画出两者的图象如 1 π 图所示,易知 y= 与 y=sin x(-4≤x≤8)的图象 2 2-x 共有 8 个交点,不妨设其横坐标为 x1,x2,x3, x4,x5,x6,x7,x8,且 x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8,由对称性得 x1+x8=x2+x7=x3 +x6=x4+x5=4,∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=16.]

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题型三| 函数的性质及其应用

(1)(2016· 江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 在区间 x+a,-1≤x<0, ? ? ? 5? ?9? ? ? ? ? ? - [-1,1)上,f(x)=?? 其中 a ∈ R . 若 f = f 2 ? 2? ?2?,则 f(5a)的值是 ? ? ? ? ? ? -x?,0≤x<1, ? ? 5 ?? ? ________.

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(2)(2016· 苏锡常镇调研(二))已知函数 f(x)=x3+2x, 若 f(1)+f(log13)>0(a>0
a

且 a≠1),则实数 a 的取值范围是________.

【导学号:91632004】

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[ 解 题 指 导 ]

(1)f

? 5? ? ? - ? 2? ? ?

= f

?9? ? ? ?2? ? ?

周期为2, ――――――――――→ f?x?在[-1,1?上已知

建立a的等量关系 ―→ 求a ―→ 求f?5a? f?1?+f?log13?>0 奇偶性 a (2) f?x?=x3+2x ――→ f?x?为奇函数 ――――――――→ f?loga3?<f?1? f?x?的单调性 解对数不等式 ――→ 建立loga3与1的不等关系 ――→ 求a的取值范围

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2 (1)- (2)(0,1)∪(3, +∞) [(1)∵函数 f(x)的周期为 2, 结合在[-1,1)上 f(x) 5 的解析式,得
? 5? ? ? 1? 1? 1 ? ? ? ? ? ? f?-2?=f?-2-2?=f?-2?=- +a, 2 ? ? ? ? ? ?

?9? ? ?1? ?2 1? 1? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? f?2?=f?4+2?=f?2?=?5-2?= . ? ? ? ? ? ? ? ? 10



? 5? ?9? 1 1 ? ? ? ? f?-2?=f?2?,得- +a= ,解得 2 10 ? ? ? ?

3 a= . 5

3 2 ∴f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-1+ =- . 5 5

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(2)∵f(x)=x3+2x,∴f(-x)=-x3-2x=-f(x), 1 ∴f(x)为 R 上的奇函数,∴f(1)+f(log 3)>0 等价于 f(1)>f(loga3). a 又 f′(x)=3x2+2>0,∴f(x)在 R 上单调递增, ∴loga3<1, 当 a>1 时,由 loga3<1 得 a>3, 当 0<a<1 时,由 loga3<1 得 0<a<1. 综上可知,a∈(0,1)∪(3,+∞).]

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【名师点评】 1.应用函数周期性和奇偶性求值的关键是借助函数的性质将 待求函数值的自变量向已知函数的定义域进行转化. 2.关于周期性的常用结论,若对于函数 f?x?的定义域内任意一个自变量的值 x 1 1 都有 f?x+a?=-f?x?或 f?x+a?= 或 f?x+a?=- ?a 是常数且 a≠0?, 则 f?x? f?x? f?x? 是以 2a 为一个周期的周期函数.

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1.已知函数 围是________.
?1 ? ? ? , 1 ?2 ? ? ?

x ? ?e -k,x≤0, f(x)=? ? ??1-k?x+k,x>0

是 R 上的增函数,则实数 k 的取值范

[由 f(x)为 R 上的增函数,则 f(x)在(0,+∞)上为增函数,1-k>0,
0

?1 ? 1 ? k<1.同时,k≥e -k=1-k,即 k≥ ,从而 k∈?2,1? ?.] 2 ? ?

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2.(2016· 南京三模)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=2x -2,则不等式 f(x-1)≤2 的解集是________.
[-1,3] [∵f(x)是 R 上的偶函数,且当 x≥0 时,f(x)=2x-2,∴f(x)=2|x|- 2. 由 f(x)≤2 得 2|x|-2≤2,即 2|x|≤4,解得-2≤x≤2. 故由 f(x-1)≤2 得-1≤x≤3,即不等式 f(x-1)≤2 的解集为[-1,3].]

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命题展望 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性, 综合应用函数的性质解题是高考考查的重点内容之一.纵观江苏省近五年高考, 我们可以发现以分段函数为载体的函数性质问题,是每年的必考题.

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(2012· 江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 在区间[- ?ax+1,-1≤x<0, ? 1,1]上,f(x)=?bx+2 ? x+1 ,0≤x≤1, ? 为________.
?1? ?3? ? ? ? f?2?=f? ?2?,则 ? ? ? ?

其中 a,b∈R.若

a+3b 的值

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-10 [因为 f(x)的周期为 2, 所以
?3? ?3 ? ? 1? ? ? ? ? ? - f?2?=f?2-2?=f? ? 2?,即 ? ? ? ? ? ? ?1? ? 1? ? ? ? - f?2?=f? ? 2?. ? ? ? ?

b +2 b+4 ? 1? ? ? 2 1 ? ? ?1? 又因为 f?-2?=- a+1,f?2?= = , 2 3 ? ? ? ? 1 +1 2 b+4 1 所以- a+1= . 2 3

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2 整理,得 a=- (b+1). 3



b+2 又因为 f(-1)=f(1),所以-a+1= , 2 即 b=-2a .②

将②代入①,得 a=2,b=-4.所以 a+3b=2+3×(-4)=-10.]

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[阅卷心语] 易错提示
?3? ? ?1?对周期函数的定义理解不到位,找不到f? ?2?的计算方式; ? ?

?2?找不出 f?-1?与 f?1?的关系. 防范措施 ?1?可借助 f?x+T?=f?x?间的关系,把自变量的值实现区域转化; ?2?要注意函数特殊点?或特殊位置?的函数值.

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1 .设 f(x) 是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[ - 1,1) 时, f(x) =
2 ? ?-4x +2,-1≤x<0, ? ? ?x,0≤x<1,



?3? ? f? ?2?=________. ? ?

1
2

?3? ?3 ? ? 1? ? 1? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - [函数的周期是 2, 所以 f?2?=f?2-2?=f?-2?, 根据题意 f?-2?=-4×? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

+2=1.]

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2. 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0, +∞)上是单调增函数. 如 果实数 t 满足 f(ln
? t)+f? ?ln ?

1? ? <2f(1)时,那么 t 的取值范围是________. t? ? 【导学号:91632005】

?1 ? ? ? , e ?e ? ? ?

? [因为函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 所以 f? ?ln ?

1? ? =f(-ln t)=f(ln t) t? ?

=f(|ln t|). 由 f(ln <t<e.]
? t)+f? ?ln ?

1? 1 ? <2f(1)?2f(ln t)<2f(1)?f(|ln t|)<f(1)?|ln t|<1?-1<ln t<1? t? e ?

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3.(2013· 江苏高考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2 -4x,则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为________.
(-5,0)∪(5,+∞) [设 x<0,则-x>0,于是 f(-x)=(-x)2-4(-x)=x2 +4x,由于 f(x)是 R 上的奇函数,所以-f(x)=x2+4x,即 f(x)=-x2-4x,且 f(0) ?x2-4x,x>0, ? =0,于是 f(x)=?0,x=0, ?-x2-4x,x<0. ?

当 x>0 时,由 x2-4x>x,得 x>5;当 x<0

时,由-x2-4x>x,得-5<x<0,故不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).]


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