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高中数学(苏教版)必修5精品教学案全集:数列 第1课 数列的概念及其通项公式(教师版)


第 2 章 数列
【知识结构】
应 用 等差数列 定 义 数 列 等比数列 数列求和 定义 通项公式 等差(比)数列 前 n 项和公式 性质

听课随笔

通项公式

【重点难点】
重点:数列及其通项公式的定义;数列的前 n 项和与通项公式的关系及其求法; 难点:正确运用数列的递推公式求数列的通项公式;对用递推公式求出的数列的讨论; 等差等比数列的应用和性质。

第 1 课 数列的概念及其通项公式 【学习导航】

知识网络
数列定义 数列有关概念 数列 数列通项公式 数列与函数的关系 通项 项 项数

学习要求
1.理解数列概念,了解数列的分类; 2.理解数列和函数之间的关系,会用列表法和图象法表示数列; 3.理解数列的通项公式的概念,并会用通项公式写出数列的前几项,会根据简单数列 的前几项写出它的一个通项公式; 4.提高观察、抽象的能力.

【自学评价】
1.数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做叫做数列(sequence of number).

【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不
同,那么它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. 思考:简述数列与数集的区别. 数列强调数列中的项是有顺序的,数列中的项可以是相等的,与数集中的无序性和互异性是 不同的. 2.数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首项) ,第 2 项,…,第 n 项,…. 3.数列的分类: 按项分类:有穷数列(项数有限) ;无穷数列(项数无限) ; 4.数列的通项公式:如果数列 ?an ? 的第 n 项与
-1-

之间的关系可以用一个公式来表

示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式(the formula of general term). 注意:⑴并不是所有数列都能写出其通项公式,如数列 1,1.4,1.41, 1.414,…; ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,…它的通项 公式可以是

1 ? (?1) n ?1 , 2 n ?1 ? |. 也可以是 a n ?| cos 2 an ?
⑶数列通项公式的作用: ①求数列中任意一项; ②检验某数是否是该数列中的一项 5. 数列的图像都是一群孤立的点. * 从映射、函数的观点来看,数列可以看作是一个定义域为正整数集 N (或它的有限子 集{1,2,3,…,n})的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,数列的 通项公式就是相应函数的解析式,因此,数列也可根据其通项公式画出其对应图象. 6.数列的表示形式:列举法,通项公式法和图象法

【精典范例】
【例1】 已知数列的第n项 an 为2n-1,写出这个数列的首项、第2项和第3项. 【解】 首项为a1=2×1-1=1; 第2项为a2=2×2-1=3; 第3项为a3=2×3-1=5? 【例 2】根据下面数列 ?an ? 的通项公式,写出它的前 5 项,并作出它的图象:

(1)an ?

n ;(2)an ? (?1) n ? n n ?1

【解】 (1) n ? 1, 2,3, 4,5.

1 2 3 4 5 a1 ? ; a2 ? ; a3 ? ; a4 ? ; a5 ? ; 2 3 4 5 6 1 n ? 1, 2,3, 4,5.a1 ? ; a2 ? 2; (2) 2

a3 ? ?3; a4 ? 4; a5 ? ?5;
【例 3】写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: (1)

1 1 1 1 ,, ,. 1? 2 2?3 3? 4 4?5

(2)0, 2, 0, 2 分析:写出数列的通项公式,就是寻找 an 与项数 n 的对应关系 an ? f ? n ? 【解】(1) 这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数,且奇数项为正,偶 数项为负,所以它的一个通项公式是: an ? (?1)
n ?1

1 n(n ? 1)

-2-

(2) 这个数列的奇数项为 0,偶数项为 2,所以它的一个通项公式是: an ? 1 ? (?1)n 点评:(1)将数列的整数部分和分数部分进行分别处理,然后再整体合并; (2) 将数列进行整体变形以便能呈现出与序号 n 相关且便于表达的关系.

【追踪训练一】
1.下列解析式中不 是数列 1,-1,1,-1,1,-1…,的通项公式的是 . A. an ? (?1)n C. an ? (?1)n?1 B. an ? (?1)n?1 D. an ? ( A )

n为奇数 ?1?, 1,n为偶数
( B )

2.数列 2,5, 的一个通项公式是 2 2,11?, A. an ? 3n ? 3 C. an ? 3n ? 1 3.数列 B. an ? 3n ?1 D. an ? 3n ? 3

(n ? 2)( n ? 4) 15 24 35 48 63 . , , , , ,? , 的一个通项公式为 n2 ? 1 2 5 10 17 26

【选修延伸】
【例 3】在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式是项数 n 的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式;? (2)88 是否是数列{an}中的项.? 【解】 (1)设 an=An+B,由 a1=2,a17=66 得?

?A ? B ? 2 ?A ? 4 , 解得? ?17A ? B ? 66 ?B ? ?2
45 ? N* 2

∴an=4n-2 (2)令 an=88,即 4n-2=88 得 n=

∴88 不是数列{an}中的项.

思维点拔:已知数列的通项,怎样判断一个含有参数的代数式是否为数列中的项? 例如:已知数列 ?an ? 的通项为 an ? 2n ? 7 ,判断 2m ? 7(m ? N ) 是否为数列中的项?
提示:可把 2m ? 7(m ? N ) 化成通项公式的形式,即 2m ? 7 ? 2(m ? 7) ? 7 ,因为 m ? N , 所以 m ? 7 ? N 满足通项公式的意义,所以 2m ? 7 是数列中的第 m ? 7 项.

【追踪训练二】
1.已知数列 ?an ? , an ? A. 9 B. 10

1 1 (n ? N ? ) ,那么 是这个数列的第 120 n(n ? 2)
D. 12

( B )项.

C. 11

2.数列 ?an ? , an ? f (n) 是一个函数,则它的定义域为 A. 非负整数集 C. 正整数集或其子集 B. 正整数集





-3-

D. 正整数集或 ?1,2,3,4,?, n? 3.已知数列 ?an ? , an ? kn ? 5, 且a8 ? 11 ,则 a17 ? 29 .

【师生互动】

听课随笔

学生质疑

教师释疑

-4-


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