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2012江苏四星高中高考模拟试卷


高三模拟测试数学试卷必做题
一、填空题(本大题共有 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 1. 已知:A= ( x, y ) x + y = 0 ,B= ( x, y ) x ? y = 2 ,则 A∩B= 2.复数 z1 = 3 + i , z2 = 1 ? i ,则 z1 ?

{

}

{

/>
}





1 = z2





3.将圆 x 2 + ( y + 1) 2 = 3 绕直线 kx ? y ? 1 = 0 旋转一周,所得几何体的体积是 4.椭圆





x2 y 2 x2 y 2 + 2 = 1 与双曲线 2 ? = 1 有相同的焦点,则 a = 4 a a 2
1 40 2 41 3 43 4 43 5 44 6 46 7 47 8 48





5.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次,得到如下表所示的数据. 观测次数 i 观测数据 ai

在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图 (其中 a 是这 8 个数据的平均数) ,则输出的 S 的值是___▲___. 6.已知直线 l : ax + by = 1 ,点 P ( a, b) 在圆 C : x + y = 1 外,
2 2

则直线 l 与圆 C 的位置关系为





7.在直角△ ABC 中, AC ⊥ BC , D 在边 AC 上,已知 BC = 2 ,

CD = 1 , ∠ABD = 45o ,则 AD =





8.抛掷一颗骰子的点数为 a ,得到函数 f ( x) = sin( “ y = f ( x) 在 [0, 4] 上至少有 5 个零点”的概率是

aπ x) ,则 3 ▲ .

9.过点 P (2,1) 作直线 l,与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,则使|PA|·|PB|取得最小值时的直线 l 的方程是 ▲ . uuur uuu r uuur 1 uuu 1 uuu r r 10.已知 ?OAB 中 ,若 C 为线段 AB 的中点, AC = CB ,则 OC = OA + OB ;若 C 为线 2 2 uuur uuu r uuur 1 uuu 2 uuu r r 段 AB 上的靠近 B 点的一个三等分点, AC = 2CB ,则 OC = OA + OB ,依此推理,若 C 为 3 3 uuur uuu r uuur 直线 AB 上的一点, AC = λ CB(λ ≠ ?1) ,则 OC = ▲ .

? x ≥ 0, ? 11.设不等式组 ? y ≥ 0, 在直角坐标系中所表示的区域的面积为 S ,则当 k > 1 时, ? y ≤ ? kx + 4k ?
kS 的最小值为 k ?1
▲ .

2 12.若函数 f ( x ), g ( x ) 分别是 R 上的奇函数和偶函数,且满足 f ( x ) + g ( x) = x + x ,则使

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得不等式 g ( x ? 1) < log a x 在区间 (1, 2) 上恒成立的 a 的取值范围是





13.在平面斜坐标系中, ∠xOy = 60o ,平面上任意一点 P 在斜坐标系中的斜坐标是这样定 义的:若 OP = xe1 + ye2 (其中 e1 , e2 分别与 x 轴、y 方向相同的单位向量) ,则 P 点的斜坐 标为(x,y) .则以 O 为圆心,2 为半径的圆在斜坐标系中的方程为
2 14.设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和,若不等式 a n + 2 Sn 2





n

≥ ma12 对任意等差数列 { a n } 及任意正

整数 n 都成立,则实数 m 的最大值为





二、解答题(本大题共有 6 小题,共计 90 分) 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 1 + (1)求角 A;
tan A 2c . = tan B b

(2)若 m = (0, ?1) , n = cos B, 2 cos 2 C ,试求| m + n |的最小值. 2

ur

r

(

)

ur r

16. (本小题满分 14 分)

已知四棱锥 P-ABCD, 底面 ABCD 是 ∠A = 60 o 、 边长为 a 的菱形, PD ⊥ 底ABCD , 又 且 PD=CD,点 M、N 分别是棱 AD、PC 的中点. (1)证明:DN//平面 PMB; (2)证明:平面 PMB ⊥ 平面 PAD; (3)求点 A 到平面 PMB 的距离.
D M A B P

N

C

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17. (本小题满分 14 分) 某学校要建造一个面积为 10000 平方米的运动场,如图,运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD、BC 为直径的两个半圆组成.跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道,运动场除跑道 外,其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方米造价为 150 元,草皮每平方米造价为 30 元. (1)设半圆的半径 OA= r (米),试建立塑胶跑道面积 S 与 r 的函数关系 S( r ) (2)由于条件限制 r ∈ [30, 40] ,问当 r 取何值时,运动场造价最低?(精确到元)

18. (本小题满分 16 分) 如图,设抛物线 C1 : y 2 = 4mx ( m > 0) 的准线与 x 轴交于 F1 ,焦点为 F2 ;以 F1 , F2 为焦 点, 离心率 e =

1 的椭圆 C2 与抛物线 C1 在 x 轴上方的交点为 P , 延长 PF2 交抛物线于点 Q , 2

M 是抛物线 C1 上一动点,且 M 在 P 与 Q 之间运动.
(1)当 m = 1 时,求椭圆 C2 的方程; (2)当 ?PF1 F2 的边长恰好是三个连续的自然数时,求 ?MPQ 面积的最大值.
y

P

O M Q

X

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19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) = x ? 1 ? ln x . (1)求函数 f (x ) 的最小值; (2)求证:当 n ∈ N 时, e
?

1 1 1 1+ + +L+ 2 3 n

> n + 1;

(3)对于函数 h(x) 和 g (x ) 定义域上的任意实数 x ,若存在常数 k, b ,使得不等式

h( x ) ≥ kx + b 和 g ( x) ≤ kx + b 都成立,则称直线 y = kx + b 是函数 h(x) 与 g (x ) 的“分界
线”.设函数 h( x) =

1 2 x , g ( x ) = e[ x ? 1 ? f ( x )] ,试问函数 h(x) 与 g (x ) 是否存在“分界 2

线”?若存在,求出常数 k, b 的值;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 已知等差数列 {an } 的首项为 a,公差为 b,等比数列 {bn } 的首项为 b,公比为 a,其中 a, b 都是大于 1 的正整数,且 a1 < b1 , b2 < a3 . (1)求 a 的值; (2)若对于任意的 n ∈ N + ,总存在 m ∈ N + ,使得 am + 3 = bn 成立,求 b 的值; (3)令 Cn = an +1 + bn ,问数列 {Cn } 中是否存在连续三项成等比数列?若存在,求出所有 成等比数列的连续三项;若不存在,请说明理由.

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