2012年全国高中数学联赛模拟一

2012 年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试
(考试时间：80 分钟 满分：120 分) 姓名：_____________考试号：______________得分：____________ 一、填空题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）
1．不等式
(1 ? 4x
2

1? 2x)

2

? 2 x ? 9 的解集为

．

2．过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________. ①三角形 ②正方形 ③梯形 ④五边形 ⑤六边形 3．直线 kx ? y ? 2 与曲线 1 ? ( y ? 1) ? | x | ? 1 有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围是__ _______.
2

4．复数 z ，使 z ? z ? 2 z
3
a b

2

，则 z 的所有可能值为 _____
a ?1

____． ．
1? c 1? c ? 1? a 1? a 1? b 1? b

5．所有的满足条件 a ? b ? a

?b

b ?1

? a ? b 的正整数对 ( a , b ) 的个数为
? ?

6．设 a , b , c 为方程 x 3 ? k 1 x ? k 2 ? 0 的根（ k 1 ? k 2 ? 1 ） ，则

__.

7．将号码分别为 1、2、?、9 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出一个球，其号码为 a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为 b . 则使不等式 a ? 2 b ? 10 ? 0 成立的事件发生的概率等于 ． 8．已知 A, B, C 为△ABC 三内角, 向量 ? ? (cos
A?B 2
| MC | | AB |

,

3 sin

A? B 2

) , | ? |?

2 .如果当 C 最大时,

存在动点 M, 使得 | MA |, | AB |, | MB | 成等差数列, 则

最大值是__

___.

二、解答题（本大题共 3 小题，第 9 题 16 分，第 10、11 题 20 分，共 56 分）
9．对正整数 n ? 2 ，记 a n ?

?

n ?1

n n?k

? 2

1
k ?1

，求数列{an}中的最大值．

k ?1

10．给定正实数 k，圆心为( a ， b )的圆至少与抛物线 y ? kx 有三个公共点，一个是原点(0, 0)，另两个
2

点在直线 y ? kx ? b 上，求 a ， b 的值（用 k 表示） ．

11．已知函数 f ( x ) ? a (| sin x | ? | cos x |) ? 3 sin 2 x ? 7 , 其中 a 为实数，求所有的数对(a, n)(n∈N*), 使得函数 y ? f ( x ) 在区间 ( 0 , n ? ) 内恰好有 2011 个零点．

2012 模拟卷（1）

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2012 年全国高中数学联赛模拟卷(1)加试
(考试时间：150 分钟 满分：180 分) 姓名：_____________考试号：______________得分：____________ 一、 （本题满分 40 分）在 R t ? A B C 中， C D 是斜边 A B 上的高，记 I 1 , I 2 , I 分别是△ADC, △BCD,
△ABC 的内心， I 在 A B 边上的射影为 O1 ， ? C A B , ? A B C 的角平分线分别交 B C , A C 于 P , Q ， 且 P Q 的连线与 C D 相交于 O 2 ，求证：四边形 I 1O1 I 2 O 2 为正方形． C P Q I1 D O1 I I2 A B

二、 （本题满分 40 分）给定正数 a, b, c, d, 证明：
a ?b ?c
3 3 3

a?b?c

?

b ?c ?d
3 3

3

b?c?d

?

c ?d
3

3

?a

3

c?d ?a

?

d

3

?a ?b
3

3

d ?a?b

? a ?b ?c ?d .
2 2 2 2

三、 （本题满分 50 分）设 k ? N ? ，定义 A1 ? 1 ， A n ? 1 ?

nA n ? 2 ( n ? 1) n?2

2k

， n ? 1, 2 , ?

证明：当 n ? 1 时， A n 为整数，且 A n 为奇数的充要条件是 n ? 1或 2 (mod 4 )

四、 （本题满分 50 分）试求最小的正整数 n , 使得对于任何 n 个连续正整数中，必有一数，其各位数
字之和是 7 的倍数.

2012 模拟卷（1）

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2012 年全国高中数学联赛模拟卷(1)答案
1． 由 1 ? 1 ? 2 x ? 0 得 x ? ? 故原不等式的解集为 ? ?
?
4 3 4 3 1 2 , x ? 0 ，原不等式可变为 1 ?

?

1 ? 2x

?

2

? 2 x ? 9 解得 x ?

45 8

?

1

? ? 45 ? , 0 ? U ? 0, ? 2 8 ? ? ?

2．答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中心对称图形，且②⑤可以截得 3．提示： [ ? 2, ?
)? ( , 2 ] , 曲线为两个半圆，直线过定点（0，?2） ，数形结合可得.

4．答案：0，1， ? 1 ? 2 i , ? 1 ? 2 i

解： z ? z ? 2 z
3
2

2

= 2 z ? z ，∴ z ( z ? 1 ? 2 z ) ? 0
2

当 z ? 0 时，满足条件，当 z ? 0 时， z ? 1 ? 2 z ? 0 设 z ? a ? b i ( a , b ? R ) ,则 a ? b ? 2 a b i ? 1? 2 ( a ? b i )
2 2

∴ ?

? a2 ? b2 ? 1 ? 2a ? 0 ? 2 a b ? 2b ? 0 (2)

(1)

，由(2) 2 b ( a ? 1 ) ? 0
2

1） b ? 0 代入(1) 整理得： ( a ? 1) ? 0 ? a ? 1 2） b ? 0 ，则 a ? ? 1 代入(1) 得： b ? 4 ? b ? ? 2 ，经检验复数 z ? 1 , ? 1 ? 2 i 均满足条件.
2

∴ z 的所有可能值为 0，1， ? 1 ? 2 i , ? 1 ? 2 i . 5．解：显然 a ? b ? 1 ．由条件得 a ? a
a b a ?1

?b

b ?1

? a ?b
a ?1 a ?1

b ?1

? a?b
2

b ?1

? 1 ，从而有 ab ? b ? b
b a b a

即 b ? ab ? b ，再结合条件及以上结果，可得 a
a ? ab ? a ? a
a a ?1

?b

b ?1

? a ? b ? a ? b ? a ? a b ? b ，整理得
a ?1

?b

b ?1

? a

a ?1

??a ? b

b ?1

??a

，从而 a ? a ? a ? a ? 1 ? ? a ? a b ? a

即a

a ?3

? 1 ，所以 2 ? a ? 3 ．当 a ? 2 时， b ? 1 ，不符合；当 a ? 3 时， b ? 2 （ b ? 1 不符合） ．

2 综上，满足本题的正整数对 ? a , b ? 只有 ? 3， ? ，故只有 1 解．

6．答案：

3 ? k1 ? 3 k 2 1 ? k1 ? k 2

，由题意， x 3 ? k 1 x ? k 2 ? ( x ? a )( x ? b )( x ? c ) 由此可得

a ? b ? c ? 0 ， ab ? bc ? ca ? ? k 1 ， a b c ? k 2 以及 1 ? k 1 ? k 2 ? (1 ? a )(1 ? b )(1 ? c )
1? a 1? a ? 1? b 1? b ? 1? c 1? c ? 3 ? ( a ? b ? c ) ? ( a b ? b c ? ca ) ? 3 a b c (1 ? a )(1 ? b )(1 ? c )
? 3 ? k1 ? 3 k 2 1 ? k1 ? k 2

7．提示：甲、乙二人每人摸出一个小球都有 9 种不同的结果，故基本事件总数为 92=81 个，由不等式 a?2b+10>0 得 2b<a+10，于是，当 b=1、2、3、4、5 时，每种情形 a 可取 1、2、?、9 中每一个值， 使不等式成立，则共有 9× 5=45 种；当 b=6 时，a 可取 3、4、?、9 中每一个值，有 7 种；当 b=7 时，a 可取 5、6、7、8、9 中每一个值，有 5 种；当 b=8 时，a 可取 7、8、9 中每一个值，有 3 种； 当 b=9 时，a 只能取 9，有 1 种。于是，所求事件的概率为 8．解: | ? |?
2 ? cos
2

45 ? 7 ? 5 ? 3 ? 1 81

?

61 81

A? B 2

? 3 sin

2

A? B 2

? 2?

1 2

cos( A ? B ) ?

3 2

cos( A ? B ) ? 2
1 2 ,

? cos( A ? B ) ? 3 cos( A ? B ) ? 2 sin A sin B ? cos A cos B ? tan A tan B ?
tan C ? ? tan( A ? B ) ? tan A ? tan B tan A tan B ? 1

? ? 2 (tan A ? tan B ) ? ? 4 tan A tan B ? ? 2 2 ,

2012 模拟卷（1）

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等号成立仅当 tan A ? tan B ? 所以 M 是椭圆 |MC|2＝x2+( y ? 当 y＝ ?
x
2 2

2 2

.令|AB|=2c,因 | MA | ? | MB |? 4 c ,
2 2 c ), 设 M(x,y), 则
2

?
2

y 3c

2 2

? 1 上的动点.故点 C(0,
2

4c

2 2

c ) ＝ 4c ?
2

4 3

y

2

? y
2

2

?

2 cy ?

c

? ?

1 3

y

2

?

2 cy ?
max＝

9c 2

2

, | y |?
2

3c .

2
c , |MC|max＝
10 3

3 c 时, |MC|

max=

7? 2 6 2

6 ?1 2

c. 即

| MC | | AB |

2 3? 4

.
10 3

9．解：经计算知 a 2 ? 2 ， a 3 ? 3 ， a 4 ? a 5 ? 假设 a n ?
10 3

，下面用数学归纳法证明：当 n ? 5 时，有 a n ?
? 1 2 ? n ?1 n?2 ? 1 2
2

? n ? 5 ? ，则 a n ? 1

?
?

n ?1 n
n ?1 n

?
?

n ?1 n ?1

?? ?

n ?1 1

? 2

1
n ?1

n ?1? n n 1 n 1 ? n ?1 n ?1 ? ? ?? ? ? ? ? an ? n?2 ? 2n ? n ? 1 n ? 2 2 1 2 n 2n ?

?

n ?1 n

?

n ?1 2n

?

10 3

?

n ?1 n

?

8 3

?

6 5

?

8 3

?

10 3

所以数列{an}中的最大值是 a 4 ? a 5 ?
2 2 2

10 3
2 2 2

10．解：设⊙O: ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? a ? b , 即 x ? 2 ax ? y ? 2 by ? 0 抛物线与直线 y ? kx ? b 的两个交点坐标为 ( x1 , y 1 , ), ( x 2 , y 2 ) ，
? x1 ? x 2 ? 1 2 ? kx 1 ? kx 1 ? b ? 则? 2 ，即 ? b ? kx 2 ? kx 2 ? b ? x1 x 2 ? ? k ?
2 2 2

①, 这两点亦在圆上，即
2 2 2

o ? x1 ? 2 ax 1 ? y 1 ? 2 by 1 ? x1 ? 2 ax 1 ? ( kx 1 ? b ) 2 ? 2 b ( kx 1 ? b ), ? (1 ? k ) x1 ? 2 ax 1 ? b ? 0

同理 (1 ? k ) x 2
2

2

2a ? ? x1 ? x 2 ? 1 ? k 2 , ? 2 ? 2 ax 2 ? b ? 0 , 即 ? 2 ? x x ? ?b . ? 1 2 1? k2 ?
1 2 (1 ? k ), b ?
2

②

比较①，②知： a ?

1? k k

2

? k ?
k? 2

1 k
?

11．解：首先，函数 f ( x ) 以为 ? 周期，且以 x ?
f ( x ? ? ) ? f ( x ), f ( k ? ?
f( k? 2 ) ? a ? 7, f (k? ?

?
4

( k ? Z ) 为对称轴，即

?
2

? x ) ? f ( x )( k ? Z ) ，其次，
2 a ? 10 , f ( k ? ? 3? 4 )? 2 a ? 4 ，∵ f ( x ) 关于 x ?

?
4

)?

k? 2

?

?
4

( k ? Z ) 对称，

∴ f (x) 在(

) 上的零点个数为偶数， 2 4 2 4 2 2 （ 要使 f ( x ) 在区间 0， n ? ) 恰有 2011 个零点，则上述区间端点必有零点 , , 2

k?

k?

?

?

) 及(

k?

?

?

k?

?

?

（1）若 a ? 7 ，则 f ( 当 x ? (0,
?
2

k? 2

) ? 0, f (

k? 2

?

?
4

) ? 0 ，考虑区间 ( 0 ,

?
2

) 及(

?
2

, ? ) 上的零点个数．

) 时， f ( x ) ? 7 (sin x ? cos x ) ? 3 sin 2 x ? 7 ，
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令 t ? sin x ? cos x ( t ? (1, 2 ]. 则 y ? g ( t ) ? ? 3 t ? 7 t ? 4 ? 0 ，
2

解得 t1 ? 1 （舍） t 2 ? ， 当x?(
?
2

4 3

?

2 sin( x ?

?
4

) ，故在 ( 0 ,

?
2

) 内有两解．

, ? ) 时， f ( x ) ? 7 (sin x ? cos x ) ? 3 sin 2 x ? 7 ，
2

令 t ? sin x ? cos x ( t ? (1, 2 ] ，则 y ? g ( t ) ? 3 t ? 7 t ? 10 ? 0 ， 解得 t1 ? 1 （舍） t 2 ? ? ，
10 3

（舍） ，故在 (

?
2

, ? ) 内无解．因此， f ( x ) 在区间 ( 0 , ? ) 内有三个零点．

故在 ( 0 , n ? )内有 3 n ? ( n ? 1) ? 4 n ? 1 ? 2011 个零点。解得

n ? 503 .

同理可得满足条件 ( a , n ) ? (7 , 5 0 3), (5 2 , 2 0 1 1), (2 2 , 2 0 1 1) ．

加试题
一．证明：不妨设 B C ≥ A C ，由 ? A D C ~ ? C D B 且 I 1 , I 2 分别是其内心，得 且 ? I1 D I 2 ?
1 2
0

AC BC

?

I1 D I2D

? A D B ? 9 0 ? ? A C B ，所以 ? D I 1 I 2 ~ ? C A B 则 ? I 2 I 1 D ? ? C A B

①

设 ? A D C , ? B C D 的内切圆半径分别为 r1 , r2 ， R t ? A B C 的三边长为 a , b , c ， I 1 , I 2 在 A B 边上的射影为
E , F ，并且 A D ? x , B D ? y , C D ? z ，则 r1 ?

x? z?b

所以 D O 1 ? A O 1 ? A D ?

b?c?a 2

?x ?

y? z?a 2

?

2 x? z?b 2

, r2 ?

y? z?a 2

, A O1 ?

b?c?a 2

，

? r2 ? r1 ，

I 1 E ? r1 ? r2 ? ( r2 ? r1 ) ? D F ? D O 1 ? O 1 F ，

E O1 ? r 1 ? ( r 2? r )1? r ? I F 2， 2

因此 ? I 1 E O1 ? ? F O1 I 2 ． ? O 1 I 1 ? O1 I 2 且 ? I 1O 1 I 2 ? ? ? ? I 1O1 E ? ? I 2 O 1 F ? ? ? ? O 1 I 2 F ? ? I 2 O 1 F ? ?

?
2

，②

则 D , O1 , I 2 , I 1 四点共圆 ? ? I 2 O1 F ? ? I 2 I 1 D ? ? C A B（由①知） 所以 O 1 I 2 // A C ， 同理 O1 I 1 // B C ，
1

∴

A I1 I1 P

?

? 2 B O1 1 2

A O1

(b ? c ? a ) ? (c ? a ? b )

b?c?a c?a?b

， 又由角平分线性质得

CQ QA

?

BC BA

?

CQ QA ? CQ

?

BC BA ? BC

? CQ ?

ab a?c

1

同理 C Q ?

ab b?c

，另一方面

QO2 O2P

?

S ?CQO S ?CPO

2

? 2 1 2

C Q ? C O 2 sin ? A C D C P ? C O 2 sin ? B C D

?

b?c b a?c a

，

2

又 O 2 I 1 // C A ?

A I1 I1 P

?

Q O2 O2 P
2

?

b?c?a c?a?b

?

b (b ? c ) a (a ? c )
2 2

C ， P Q I1 D O1 I I2 A B

而 a ( a ? c )( b ? c ? a ) ? b ( b ? c )( c ? a ? b )
? a ( ab ? ac ? a ? cb ? c ? ac ) ? b ( bc ? ba ? b ? c ? ac ? bc )
2

? a ( a b ? b ) ? b (b a ? a ) ? 0 ，
2 2

所以 O 2 I 1 // C A ，

同理 O 2 I 2 // B C ，

所以四边形 I 1O1 I 2 O 2 为平行四边形，由②知四边形 I 1O1 I 2 O 2 为正方形． 二．解：由于问题的对称性, 只要证明对于任何正数 下式成立

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因为如果上式成立, 则原式的左边不小于

不失一般性, 可以在 的假设下证明上述不等式. 如果 , 只要将不等式两边同除 , 令 于是问题转化成下列被修改的问题：给定满足条件 此不等式证明如下： 的正数 证明

三．证明：注意到 ( n ? 2 ) A n ? 1 ? nA n ? 2 ( n ? 1)
2 S (n) n ( n ? 1)
n t

2k

( n ? 1) A n ? ( n ? 1) A n ? 1 ? 2 n
2 k ?1

2k

得 ( n ? 2 )( n ? 1) A n ? 1 ? ( n ? 1) nA n ?1 ? 2 ( n ? 1) 反复运用上式，得 A n ?
n

? 2n
t

2 k ?1

，其中 S ( n ) ? 1 ? 2 ? ? ? n ， t ? 2 k ? 1
t t
t

得 2 S (n) ?

? [( n ? i ) ? i ] ?
t i?0

? [( n ? 1 ? i )
i ?1

从而可知 n ( n ? 1) | 2 S ( n ) ， 因此 A n ( n ? 1) 是整数. ? i ]，
t

（1）当 n ? 1或 2 (mod 4 ) 时，由 S (n ) 有奇数个奇数项知 S (n ) 为奇数，所以 A n 为奇数. （2）当 n ? 0 (mod 4 ) 时， ( ) ? 0 (mod 4 ) ，
t

n

2
n

故 S (n) ?

? [( n ? i )
i?0

2

t

n t t ? i ] ? ( ) ? 0 (mod 4 ) ，所以 A n 为偶数 2

（3）当 n ? 3 (mod 4 ) 时， (
n ?1 2

n ?1 2

) ? 0 (mod 4 ) ，
t

故 S (n) ?

? [( n ? 1 ? i )
i ?1

t

? i ]? (
t

n ?1 2

) ? 0 (mod 4 ) ，所以 A n 为偶数
t

综上所述，命题成立，证毕. 四．解：首先，我们可以指出 12 个连续正整数，例如 994，995，?，999，1000，1001，?，1005， 其中任一数的各位数字之和都不是 7 的倍数，因此， n ? 1 3 . 再证，任何连续 13 个正整数中，必有一数，其各位数字之和是 7 的倍数.对每个非负整数 a ，称如 下 10 个数所构成的集合: Aa ? {1 0 a ,1 0 a ? 1, ? 1 0 a ? 9} 为一个“基本段” ，13 个连续正整数，要么 属于两个基本段，要么属于三个基本段。当 13 个数属于两个基本段时，据抽屉原理，其中必有连 续的 7 个数，属于同一个基本段；当 13 个连续数属于三个基本段 Aa ?1 , Aa , Aa ? 1 时，其中必有连续 10 个数同属于 A a .现在设 a k a k ? 1 ? a1 a 0
a k a k?1 ? a( a0? 1 )? , 1
k k k

a ?a? k k 1

a( ?a 1 0

6) 是属于同一个

基本段的 7 个数，它们的各位数字之和分别是 ? a i , ? a i ? 1, ? , ? a i ? 6, 显然，这 7 个和数被 7
i?0 i?0 i?0

除的余数互不相同，其中必有一个是 7 的倍数.因此，所求的最小值为 n ? 13.

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