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3[1].1.1两角差的余弦1公式


两角差的 余弦公式

问题提出

1.在三角函数中, 1.在三角函数中,我们学习了哪些基本 在三角函数中 的三角函数公式? 的三角函数公式? 2.对于30° 45° 60° 2.对于30°,45°,60°等特殊角的三 对于30 角函数值可以直接写出, 角函数值可以直接写出,利用诱导公式 还可进一步求出150 150° 210° 315°

还可进一步求出150°,210°,315°等 角的三角函数值. 角的三角函数值.我们希望再引进一些公 式,能够求更多的非特殊角的三角函数 比如: 值,比如:750、150 ,那么这些角的三 角函数值怎么求了? 角函数值怎么求了?

探究( 探究(一):两角差的余弦公式

思考1 思考1:设α,β为两个任意角, 你能 为两个任意角, 判断cos(α β)=cosα-cosβ恒成 cos(α- 判断cos(α-β)=cosα-cosβ恒成 立吗? 立吗? cos(30° 30° cos30 cos30° cos30° cos(30°-30°)≠cos30°-cos30°

思考2 我们设想cos(α-β)的值与α 思考2:我们设想cos(α-β)的值与α, cos(α 的值与 的三角函数值有一定关系, β的三角函数值有一定关系,观察下表 中的数据,你有什么发现? 中的数据,你有什么发现?
cos(60°- ( ° 30°) °
3 2 cos(120° ( ° -60°) °

cos60° cos30° sin60° sin30° ° ° ° °

1 1 3 3 2 2 2 2 cos120° cos60° sin120° sin60° ° ° ° °
1 ? 2

1 2

1 2

3 2

3 2

思考3 一般地,你猜想cos(α-β)等 思考3:一般地,你猜想cos(α-β)等 cos(α 于什么? 于什么? cos(α-β)=cosαcosβ+ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

思考4 如图, 思考4:如图,设α,β为锐角,且α> 为锐角, 的终边与单位圆的交点为P β,角α的终边与单位圆的交点为P1, OP= 那么cos(α β)表示哪条 cos(α- ∠P1OP=β,那么cos(α-β)表示哪条 线段长? 线段长?
y P1

cos(α-β)=OM cos(α-
P O M x

思考5 如何用线段分别表示sinβ和 思考5:如何用线段分别表示sinβ和 sinβ cosβ? cosβ?
y

cosβ
A
O

P1 P

sinβ

x

思考6 cosαcosβ=OAcosα, 思考6:cosαcosβ=OAcosα,它表示 哪条线段长? 哪条线段长? sinαsinβ=PAsinα, sinαsinβ=PAsinα,它表示哪条线段 长? y sinα sinαsinβ P
1

A
C
O

P x

B

cosα cosαcosβ

思考7 利用OM=OB+BM=OB+CP可得什 思考7:利用OM=OB+BM=OB+CP可得什 OM 么结论? 么结论? y sinα sinαsinβ
P1

A
C
O P x

B M

cosα cosαcosβ cos(α-β)=cosαcosβ+ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

y 1 A

P1

α
P

C

β

α

α ?β
B M 1 x

O

cosα cos β

+

sin α sin β

思考8 上述推理能说明对任意角α 思考8:上述推理能说明对任意角α,β, 都有 cos(α-β)=cosαcosβ+ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 成立吗? 成立吗? 思考9:根据cosαcosβ+sinαsinβ的 思考9 根据cosαcosβ+sinαsinβ的 cosαcosβ 结构特征, 结构特征,你能联想到一个相关计算原 理吗? 理吗?

思考10:如图,设角α 思考10:如图,设角α,β的终边与单 10 位圆的交点分别为A 位圆的交点分别为A、B,则向量 ΟΑ 、 的坐标分别是什么? ΟB的坐标分别是什么?其数量积是什 y 么? uuu r ΟΑ =(cosα,sinα A =(cosα,sinα) OB=(cosβ,sinβ) =(cosβ,sinβ
B
α β

O

x

uur uuu u r OA ?OB

cos a cos b + sin a sin b

思考11:向量与的夹角θ α βr 有什 思考11:向量与的夹角θ与uur、uuu 11 u 么关系?根据数量积定义, 么关系?根据数量积定义, × OA OB 等于什么?由此可得什么结论? 等于什么?由此可得什么结论?
y

α=2kπ+β+θ或 2kπ+ 2kπ+ β=2kπ+α+θ

A θ B
α β

O

x

cos(α-β)=cosαcosβ+ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

思考12:公式cos(α-β)= 思考12:公式cos(α-β)=cosαcosβ 12 cos(α sinαsinβ称为差角的余弦公式, 称为差角的余弦公式 +sinαsinβ称为差角的余弦公式,记 该公式有什么特点?如何记忆? 作 Cα ?β ,该公式有什么特点?如何记忆?

探究( 探究(二):两角差的余弦公式的变通

思考1 若已知α 思考1:若已知α+β和β的三角函数 如何求cosα的值? cosα的值 值,如何求cosα的值? cosα=cos[(α+β)-β]= cosα=cos[(α+β)-β]= cos(α+ cosβ+sin(α+ cos(α+β) cosβ+sin(α+β)sinβ. 思考2 利用α (α-β)= 思考2:利用α-(α-β)=β可得 cosβ等于什么 等于什么? cosβ等于什么? cosβ=cos[(α-β)-α]= cosβ=cos[(α-β)-α]= cos(α-β)cosα+sin(α- cos(α-β)cosα+sin(α-β)sinα.

思考3 思考3:若cosα+cosβ=a,sinα+ cosα+cosβ= ,sinα+ sinβ= cos(α-β)等于什么 sinβ=b,则cos(α-β)等于什么? 2 2 等于什么? a +b ?2 cos(α ? β ) = 2 思考4:若cosα-cosβ=a,sinα- 思考4 cosα-cosβ= ,sinα- sinβ= cos(α-β)等于什么 等于什么? sinβ=b,则cos(α-β)等于什么?
2 ? a ?b cos(α ? β ) = 2
2 2

理论迁移

利用余弦公式求cos15 的值. cos15° 例1 利用余弦公式求cos15°的值.
5 4 例2 已知sina = ,cosb = - , a ? 13 5
p 骣 ? ,p÷ , ÷ ?2 桫

β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 是第三象限角, cos(α-β)的值. 的值
1 例3 已知 cos(a + b)cosb + sin(a + b)sinb = , 3
? 3π ? α ∈? ,2π ? 且 ? 2 ?

的值. , 求 cos(α ? 4 ) 的值.

π

小结作业

1.在差角的余弦公式的形成过程中, 1.在差角的余弦公式的形成过程中,蕴 在差角的余弦公式的形成过程中 涵着丰富的数学思想、方法和技巧, 涵着丰富的数学思想、方法和技巧,如 数形结合,化归转换、归纳、猜想、 数形结合,化归转换、归纳、猜想、构 换元、向量等, 造、换元、向量等,我们要深刻理解和 领会. 领会. 2.已知一个角的正弦(或余弦) 2.已知一个角的正弦(或余弦)值,求 已知一个角的正弦 该角的余弦(或正弦)值时, 该角的余弦(或正弦)值时, 要注意该 角所在的象限, 角所在的象限,从而确定该角的三角函 数值符号. 数值符号.

3.在差角的余弦公式中, 3.在差角的余弦公式中,α,β既可以 在差角的余弦公式中 是单角,也可以是复角, 是单角,也可以是复角,运用时要注意 角的变换, 2β=(α+β)-(α- 角的变换,如,2β=(α+β)-(α-β) p p a = (a + ) 同时, 6 6 等. 同时,公式的应用具有 灵活性,解题时要注意正向、 灵活性,解题时要注意正向、逆向和变 式形式的选择. 式形式的选择.

作业: 作业: P127练习 练习: P127练习:1,2,3,4.


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