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第七章直线和圆的方程(复习)


第七章直线和圆的方程 1 直线的倾斜角与斜率的关系 倾斜角的范围( 0 ? ? ? 180 )
? ?

(1)倾斜角的计算① l : Ax +By +C=0 ? k ? ?

y ? y1 A ②k=tan ? ( ? 为倾斜角) ③ k AB ? 2 B x2 ? x1

(A( x1 , y1 ) ;B(

x 2 , y 2 ) ) (2)图形 (3)已知直线 l 的倾斜角 ? 的范围,求斜率的取值范围 例 1(1)已知直线 l 的倾斜角 ? 的范围,求斜率 k 的取值范围 ① 45 ? ? ? 60 ② 135 ? ? ? 150 ③ 60 ? ? ? 135
? ? ? ? ? ?

(2)已知直线 l 的斜率 k 满足如下条件,求倾斜角 ? 的范围 ①

3 3 3 ? k ? 1 ② ? 3 ? k ? ?1③ ? ? k ? 1 ④ k ? 3或k ? ? 3 3 3

例 2 求直线 3x ? y sin ? ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是___。 例 3 直线 y ? sin ? ? x ? 1 的倾斜角的取值范围是___。 例 1 已知两点 A(-3,4),B(4,2),求点 P(3,-2)的直线 l 与线段 AB 有公共点 ①求直线 l 的斜率 k 的取值范围②求直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围 2 直线斜率公式的简单应用 (1)证明不等式 例 1 已知 a,b,m ? R ,且 a<b,求证 (2)用斜率确定某些参数的取值范围
?

a?m a ? b?m b

? 直线分有向线段 P 1P 2 所成的比
l :y=kx+b, P , P2 ( x 2 , y 2 ) ,? =? 1 ( x1 , y1 )

kx1 ? b ? y1 kx2 ? b ? y 2

例 1 已知两点 p(2,-3) ,Q(3,2)直线 ax+y+2=0 与线段 PQ 相交,求 a 的取值范围 例 2 用两种方法证明三点 A(-2,12),B(1,3),C(4,-6)在一条直线上 2 直线方程的几种形式

点斜式:y ? y 0 ? k?x ? x 0 ? (k存在) 适用于倾斜角 ? ? 90? ,斜率存在
斜截式:y ? kx ? b ;适用于倾斜角 ? ? 90? ,斜率存在
两点式:

y ? y1 x ? x1 ? ? ;适用于倾斜角 ? ? 90 , ? ? 0 ? y 2 ? y1 x2 ? x1

截距式:

x y ? ? 1 ;适用于倾斜角 ? ? 90? , ? ? 0? 且直线不过原点 a b

一般式:Ax ? By ? C ? 0 ①A,B 不同时为零②x 的系数为正③x 的系数,y 的系数,
常数项不能为分数④按 x,y,常数项的顺序进行展开 横截距:在直线方程中,令 y=0,解得 x 的值 纵截距:在直线方程中,令 x=0,解得 y 的值 3 求直线的方程 (1)直接根据条件,求直线的方程 例 1 经过 A(2,5)斜率是 4(2)经过 B(3,-1)倾斜角是 30 (3)经过点 D(0,3)倾 斜角 0 (4)倾斜角是 135 ,在 y 轴上的截距是 4(5)在 x 轴上的截距是 2,在 y 轴上的 截距是 3(6)经过点 p1 (2,1), p2 (0,?3) (7)经过点 D(1,3) ,倾斜角是 90 (2)由其它条件,求直线的方程 例 1 一直线过点 A(-1,-3) ,其倾斜角 ? 等于直线 y=2x 的倾斜角 ? 的两倍,求直线 l 的方 程。
? ? ?

?

1 ,且和坐标轴围成面积为 3 的三角形,求该直线的方程 6 例 3 已知三角形 ABC 的顶点坐标分别为 A(-3,0),B(9,5),C(3,9),直线 l 过点 C 且把三角形的 面积分成 1:2 两部分,求直线 l 的方程 例 4 过点 p(2,1)作直线 l 交 x,y 轴正半轴于 A,B 两点,当|PA||PB|取得最大值时,求直 线 l 的方程 例 5 过点 p(1,2)作直线 l ,交 x,y 轴的正半轴于 A,B 两点,求使三角形 AOB 面积取得 最小值时,直线 l 的方程
例 2 已知直线的斜率为 例 6 已知一直线 l 被两平行线 3x+4y-7=0 和 3x+4y+8=0 所截线段长为 3 2 , 且 l 过点 (2, 3) , 求 l 的方程。 例 7 在三角形 ABC 中,已知 A(3,3),B(2,-2),C(-7,1)求 ? A 的平分线 例 8 已知一条直线过点 p(1,2) ,且与直线 x+y+6=0 的夹角为

? ,求这条直线的方程 4 ? 例 9 已知一条直线过点 p(1,2) ,且与直线 x+y+6=0 的夹角为 ,求这条直线的方程。 4
4 与不等式相联系 例 1 已知两点 A(3,0),B(0,4),P(x,y)为直线 AB 上一动点,则 xy 的最大值___。 例 2 如果点 M(x,y)在直线 x+2y+1=0 上移动,那么函数 f(x,y)= 2 ? 4 的最小值是
x y

___。 例 3 若点 p(x,y)在直线 x+y-4=0 上,则 x ? y 的最小值___。
2 2

5 直线过定点 例 1(1)求直线 y=ax+2 经过某一定点

(2)求直线(2a-1)x-(a+3)y-(a-11)=0 恒过定点,并求出此定点的坐标 例 2 证明直线(a-2)y=3(a-1)x-1 对于 a 的任意值都经过第一象限 例 3 证明不论 k 为何值,直线(2+k)x-(1+k)y-2(3+2k)=0 与点 p(-2,2)的距离都不 大于 4 2 例 4 已知集合 A={ (x, y) |

y ?3 ? a ? 1} ,B={(x,y)|( a 2 ? 1) x ? (a ? 1) y ? 15} , 若 A? B ? ? , x?2

求实数 a 的值。 6 点在直线上点的设法 例 1 已知三角形 ABC 中,点 A 的坐标(1,3) ,AB,AC 边上的中线所在直线方程分别为 x-2y+1=0 和 y-1=0,求三角形 ABC 各边所在直线的方程 7 注意斜率不存在 7.2 两条直线的位置关系 1 常见重要公式 (1) l1到l 2的到角公式: tan? ?

k 2 ? k1 1 ? k1k 2

l1 与l2 的夹角公式: tan ? ?

k 2 ? k1 1 ? k1k 2 Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2
| c1 ? c2 | A2 ? B 2

(2)

点P?x0,y0 ?到直线l:Ax ? By ? C ? 0的距离d ?

(3)两平行直线 l1 :Ax+By+ c1 =0 与 l 2 : Ax+By+ c2 =0 之间的距离 d= 2 对称

(1)①A(a,b)关于 x 轴对称点 A (a,-b)②A(a,b)关于 y 轴对称点 A (-a,b)③A(a,b)关 于 y=x 对称点 A (b,a)④A(a,b)关于 y=-x 对称点 A (-b,-a)⑤A(a,b)关于 x=m 对称点
' '

'

'

A ' (2m-a,b)⑥A(a,b)关于 y=n 对称点 A ' (a,2n-b)⑦A(a,b)关于直线 l : Ax+By+C=0 的对
称点 A 求法
'

y0 ? b A ? (? ) ? ?1 ' x0 ? a B 令 A ( x0 , y0 ) ,则 { x ?a y ?b A 0 ?B 0 ?c ?0 2 2
(2)直线关于直线对称,设直线 l : Ax ? By ? c ? 0 ① l 关于 x 轴的对称直线是:Ax+B(-y)+c=0② l 关于 y 轴的对称直线是:A(-x)+By+c=0③ l 关于 y=x 的对称直线是:Bx+Ay+c=0④ l 关于 y=-x 的对称直线是:A(-y)+B(-x)+c=0

例 1 以直线 x+2y+1=0 为对称轴。直线 x-y-2=0 的对称轴图形的方程是___。 例 2(对称的应用) (1)已知 A(-3,5),B(2,15)试在直线 l :3x-4y+4=0 上找一点 p,使|PA|+|PB|最小,并求出最小 值 (2)已知 A(4,1),B(0,4)试在直线 l :3x-y-1=0 上找一点 p,使|PA|-|PB|的绝对值最大,并求 出最大值 3 常见的直线系 (1)过定点的直线系①直线 y=kx+b(其中 k 为参数,b 为常数) ,它表示过定点(0,b) 的直线系, 但不包含 y 轴 (即 x ? 0) ②经过定点 M ( x0 , y0 ) 的直线系: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (k 为参数)它表示经过定点( x0 , y0 )的直线系,但不包含平行 y 轴的那一条(x ? x0 ) (2)已知斜率的直线系①直线 y=kx+b(其中 k 为参数,b 为常数) ,它表示斜率为 k 的平 行直线系②若已知直线 l : Ax ? By ? c ? 0 与 l 平行的直线系为 Ax+By+m=0(m 为参数, 且 m ? c)③若已知直线 l : Ax ? By ? c ? 0 与 l 垂直的直线系为 Bx-Ay+n=0(n 为参数) (3)经过两直线交点的直线系:经过 l1 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 l 2 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交 点的直线系方程为 A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (但不包含 l 2 ) 例求经过直线 2x+y+8=0 和 x+y+3=0 的交点,且与直线 2x+3y-10=0 垂直的直线方程 解法 1: 解法 2: 7.3 简单的线性规划 1 确定二元一次不等式表示的区域 (1)在平面直角坐标系中作出直线 Ax+By+c=0 (2)在直线的一侧任取一点 p( x0 , y0 ) ,特殊地,当 c ? 0 时,常把原点作为特殊点 (3)将 p( x0 , y0 )代 Ax+By+c 求值 (4)若 Ax0 ? By0 ? c 则包含此点 p 的半平面为不等式 Ax+By+c>0 所表示的平面区域,不 包含此点 p 的半平面为不等式 Ax+By+c<0 表示的平面区域

x? y?0
例 1 若不等式组 {

2x ? y ? 2 y?0 x? y ?a

表示的区域是一个三角形,则 a 的取值范围是()

Aa ?

4 3

B0 ? a ?1

C1 ? a ?

4 3

D 0 ? a ? 1或a ?

4 3

2 利用线性规划求最值

x ? 2y ? 7 ? 0 例 1 已知 x,y 满足线性约束条件{ 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 分别求(1)u=4x-3y 的最大值与最小值 x ? 2y ? 3 ? 0
(2) z ? x 2 ? y 2 的最大值与最小值(3)
2

y 的取值范围 x

例 2 设方程 x ? ax ? 2b ? 0 的两根 x1 , x2且0 ? x1 ? 1,1 ? x2 ? 2 则 例 3 若 x,y 满足|x|+|y|<1,则 u= 7.4 圆的方程 1 圆的方程的几种形式

b?2 的取值范围 a ?1

x 的取值范围是___。 y?3

(1)圆的标准方程:以点 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . 特例:圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程是: x 2 ? y 2 ?r 2 . (2)圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
? D E? ,? ? ,半径 r ? 2? ? 2 D 2 ? E 2 ?4 F . 2

当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程表示一个圆,其中圆心 C ? ? 当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程表示一个点 ? ?
? D E? ,? ? . 2? ? 2

当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程无图形(称虚圆). ? x ? a ? r cos? 注:①圆的参数方程: ? ( ? 为参数). ? y ? b ? r sin? ② 方 程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 : B ? 0 且 A ? C ? 0 且
D 2 ? E 2 ?4 AF ? 0 .

③圆的直径或方程: 已知 A( x1 , y 1 ) B( x 2 , y 2 ) ? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y 1 )( y ? y 2 ) ? 0 (用向量可证) . 2 求圆的方程(待定系数法) ( 1 ) 圆 的 方 程 的 形 式 ① 标 准 方 程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? R
2 2 2

② 一 般 方 程

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 ) ③参数方程 {
2 2

x ? R cos? y ? R sin ?

④过直线与圆

的交点的圆系方程:设 l : Ax ? By ? c ? 0 与圆 c: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,设直线 设 l : Ax ? By ? c ? 0 与 圆 c : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 相 交 , 则 方 程
2 2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? c) ? 0 表示过直线 l 与圆 c 的交点的圆系方程
(2)两圆交点的圆系方程,

圆 1 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 ;圆 2 x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0

x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0
特别地;当 ? =-1 时,①当两圆相交时,是两圆相交的公共弦所在的直线方程②当两圆相切 时为过切点的公切线方程③两圆相离时,为两圆连心线的垂直平分线方程 注:特殊圆的方程:① 与 x 轴相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?b 2 ② 与 y 轴相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?a 2 ③ 与 x 轴 y 轴都相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? a) 2 ?a 2
[r ? b , 圆心(a, b)或(a,?b)]

[r ? a , 圆心(a, b)或(?a, b)]

[r ? a , 圆心(?a,?a)]

例 1 求圆心在直线 5x-3y=8 上,且与两坐标轴相切的圆的方程 例 2(根据几何条件)经过点 A(0,2) ,B(3,1)且圆心在直线 x+y=0 上的圆的方程 例 3 求 圆 心 在 直 线 x+y=0 上 , 且 过 两 圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 10y ? 24 ? 0 ,

x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 8 ? 0 的交点的圆的方程
解法 1 解法 2 例 3 若实数 x,y 满足 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 2 ? 0 ,求 x- 3 y 的最大值和最小值 例 4 已知 p(x,y)是圆 x ? y ? 2 y 上的动点,
2 2

(1)求 2x+y 的取值范围 (2)若 x+y+c ? 0 恒成立求实数 c 的取值范围 例 5 曲线{

x ? 1? t (t 为参数)的长度 y? t
2 2

例 6 求过直线 2x+y+4=0 和圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的交点及原点的圆的方程 例 7 经过点 A(0,2) ,B(3,1)且圆心在直线 x+y=0 上的圆的方程 例 8 已知圆 p 满足①截 y 轴所得弦长为 2②被 x 轴分成两段弧, 其弧长的比为 3: 1③圆心到 直线 l :x-2y=0 的距离为

5 ④圆心在第一象限,求圆 p 的方程 5

例 9 求与 x 轴相切于点(5,0) ,并在 y 轴上截取的弦长为 10 的圆的方程 例 10 圆 0 的方程为 x ? y ? 1 ,圆 M 与直线 y=-3 相切,又与 y 轴相切,还与圆 o 相切,
2 2

求圆 M 的方程 例 11 自点(-3,3)发出的光线 l 射在 x 轴上,被 x 轴反射,其反射线所在直线与圆

x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求光线 l 所在直线的方程。

3 点,直线和圆的关系 (1)点在圆外,圆上,圆内 给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . ①M 在圆 C 内 ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 ② M 在圆 C 上 ? (x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 ③ M 在圆 C 外 ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2

例 1 若点(a,2a+1)在圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 的内部,则 a 的取值范围是___。 例 2 已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 9 ? 0 ,点 A(6,2) ,则点 A 到圆上的点的最小 距离是___。 (2)直线和圆相交(d<R) ,相切(d=R),相离(d>R) 例 1 如果实数 x,y 满足等式 ( x ? 2) ? y ? 3, 那么
2 2

y 的最大值是___。 x

例 2 直线 y ? ? 围是___。

3 则 m 的取值范 x ? m与圆 x 2 ? y 2 ? 1 在第一象限内有两个不同的交点, 3

例 3 由直线 y=x+1 上的一点向圆 ( x ? 3) ? y ? 1 引切线,则切线长的最小值为___。
2 2
2 例 4 若直线 y=x+k 与曲线 x ? 1 ? y 恰有一个公共点,则 k 的取值范围是___。

4 圆的弦长的求法 (1)几何法: (垂径定理)|AB|=2 R 2 ? d 2 (d 为圆心到直线的距离) 例 1 直线 y ? ? 3( x ? 1) 被圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 所截得的弦长为___。 例 2 已知直线过点 p(-4,-3)且被圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 25截得的弦长为 8,则直线方
2 2

程是___。 (2)代数法(一般不采用,因为充分利用集合性,有垂径定理) 已知直线 l 的方程 y=kx+m,圆 c 的方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将直线方程代入圆方
2 2

程中得: ax ? bx ? c ? 0 ,设 x A , x B 是方程的根
2
2 2 |AB|= 1 ? k | x A ? x B |? 1 ? k

( x A ? xB ) 2 ? 4x A xB

例直线 2x+y+2=0 被圆 x ( y ? 1) ? 1 所截得的弦长为___。
2 2

例 3 已知圆 C: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25 ,直线 l: (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m ? R ) (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 圆恒交于两点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度及此时 l 的方程 5 圆的切线方程 (1)过圆上一点 p( x0 , y0 )的圆的切线方程 ①若圆 c 的方程为 x 2 ? y 2 ? r 2 ,点 p( x0 , y0 )是圆上的一点,则过点 p 的圆的切线方 程为 x0 x ? y0 y ? r 2 ②若圆 c 的方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 点 p( x0 , y0 )是圆上的一点,则过点 p 的圆的 切线方程为 ( x0 ? a)(x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2 (2)过圆外一点 p( x0 , y0 )的圆外一点的切线方程 例 1 过点(3,2)且与圆 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 相切的直线方程 6 常见轨迹的求法 (1)直接法 例已知动点 M 到定点 A(9,0)的距离是 M 到 B(1,0)的距离的 3 倍,则 M 的轨迹方 程是? (2)参数法 若斜率为 1 的一条直线与两直线 2x+y-1=0 和 x+2y-2=0 分别交于 A,B 两点, 求线段 AB 的中 点的轨迹方程? (3)交轨法(消参) 已知点 p 在直线 x=2 上移动,直线 l 过原点,并且与射线 op 垂直,通过点 A(1,0)及点 p 的直线 m 和直线 l 交于点 Q,求点 Q 的轨迹方程 (4)转移法 例 1 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 内, 内接三角形 ABC, 它的一边 BC 与长轴重合, A 在椭圆上运动, 16 9

试求三角形 ABC 的重心轨迹 (5)定义法 例 1 若动圆 p 过点 N(-2,0) ,且与矩形 ABCD 的外接圆外切,求动圆 p 的圆心轨迹方程 例 2 三角形 ABC 中,底边 BC=12,另两边 AB,AC 上的中线之和为 30,求重心 G 的轨迹 方程 (6)充分利用几何性质 例过点 p(2,4)作互相 垂直的直线 l1 , l 2 ,若 l1 交 x 轴于 A, l 2 交 y 轴于 B,求线段 AB 中点的轨迹方程 7 韦达定理 例已知圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 与直线 x+2y-3=0 相交于 P,Q 两点,o 为坐标原点,若
2 2

OP ? OQ,求 m 的值。


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