高一数学典型例题分析：函数(1)

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函数?典型例题分析

例1

与函数 y=x 表示相同函数的是

[

]

则、值域不同，排除 C．而

评注 判断两个函数是否相同，要看函数的三要素：定义域，值域，对应法 则．其中对应法则不能仅仅从解析式上考虑，要分析其对应法则的本质． 例2 求下列函数的定义域

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(5)设 f(x)的定义域为[0，2]，求函数 f(x+a)+f(x-a)(a＞0)的定义域．

∴定义域是空集，函数是虚设的函数 (2)由函数式可得

∴函数的定义域是{x|x=-1}，定义域是一个孤立的点(-1，0)的横坐标 (3)∵x2-4≠0 ∴x≠±2 ∴函数定义域为(-∞，-2)∪(-2，+2)∪(2，+∞) (4)从函数式可知，x 应满足的条件为

∴函数的定义域为

(5)∵f(x)定义域为[0，2] 所以 f(x+a)+f(x-a)中 x 应满足

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又∵a＞0，若 2-a≥a，则 a≤1 即 0＜a≤1 时，f(x+a)+f(x-a)的定义域为{x|a≤x≤2-a} 当 a＞1 时，x∈? 评注 求 f(x)的定义域就是求使函数 f(x)有意义的 x 的取值范围，定义域表 示法有：不等式法，集合法，区间表示法等． 例3 求下列函数的值域

解

(1)由原式可化为

(2)将函数变形，整理可得： 2yx -4yx+3y-5=0
2

当 y=0 时，-5=0 不可能，故 y≠0 ∵x∈R ∴Δ =(-4y)2-4?2y?(3y-5)≥0 即 y(y-5)≤0 解得 0≤y≤5 而 y≠0 ∴0＜y≤5
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故函数值域为(0，5]

此二次函数对称轴为 t=-1

评注 求函数值域方法很多，此例仅以三个方面给出例子．学习时要分析函 数式的结构特征，从而确定较简单的求值域的方法． 例4 (1)已知 f(x)=x2，g(x)为一次函数，且 y 随 x 值增大而增大．若 f[g(x)]=4x2-20x+25，求 g(x)的解析式

解

(1)∵g(x)为一次函数，且 y 随 x 值增大而增大

故可设 g(x)=ax+b(a＞0) ∵f[g(x)]=4x2-20x+25 ∴(ax+b)2=4x2-20x+25 即：a2x2+2abx+b2=4x2-20+25 解得 a=2，b=-5

故 g(x)=2x-5

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于是有 t 的象是 t2-1，即 f(t)=t2-1(t≥1) 故 f(x)=x2-1(x≥1) ∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x≥0) f(x )=x4-1(x≤-1 或 x≥1)
2

评注 对于(1)是用待定系数法求函数的解析式，要根据题意设出函数的形 式，再利用恒等式的性质解之．求函数解析式的常用方法还有拼凑法，代换法(如 (2))，解方程组等． 例 5 如图 1-7，灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽及两边坡总长度为 a，边 坡的倾角为 60°．

(1)求横断面积 y 与底宽 x 的函数关系式；

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评注 本题是有关函数的实际问题，其方法是把实际问题用数学的形式表示 出来，建立变量之间的函数关系． 例6 设 x≥0 时，f(x)=2，x＜0 时，f(x)=1 又

解

当 0＜x＜1 时，x-1＜0，x-2＜0

当 1≤x＜2 时，x-1≥0，x-2＜0

当 x≥2 时， g(x)=2

评注 同函数．

分段函数关键是在 x 的不同条件下计算方法不同，不要认为是三个不

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