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高一数学典型例题分析:函数(1)


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函数?典型例题分析

例1

与函数 y=x 表示相同函数的是

[

]

则、值域不同,排除 C.而

评注 判断两个函数是否相同,要看函数的三要素:定义域,值域,对应法 则.其中对应法则不能仅仅从解析式上考虑,要分析其对应法则的本质. 例2 求下列函数的定义域

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(5)设 f(x)的定义域为[0,2],求函数 f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域.

∴定义域是空集,函数是虚设的函数 (2)由函数式可得

∴函数的定义域是{x|x=-1},定义域是一个孤立的点(-1,0)的横坐标 (3)∵x2-4≠0 ∴x≠±2 ∴函数定义域为(-∞,-2)∪(-2,+2)∪(2,+∞) (4)从函数式可知,x 应满足的条件为

∴函数的定义域为

(5)∵f(x)定义域为[0,2] 所以 f(x+a)+f(x-a)中 x 应满足

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又∵a>0,若 2-a≥a,则 a≤1 即 0<a≤1 时,f(x+a)+f(x-a)的定义域为{x|a≤x≤2-a} 当 a>1 时,x∈? 评注 求 f(x)的定义域就是求使函数 f(x)有意义的 x 的取值范围,定义域表 示法有:不等式法,集合法,区间表示法等. 例3 求下列函数的值域



(1)由原式可化为

(2)将函数变形,整理可得: 2yx -4yx+3y-5=0
2

当 y=0 时,-5=0 不可能,故 y≠0 ∵x∈R ∴Δ =(-4y)2-4?2y?(3y-5)≥0 即 y(y-5)≤0 解得 0≤y≤5 而 y≠0 ∴0<y≤5
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故函数值域为(0,5]

此二次函数对称轴为 t=-1

评注 求函数值域方法很多,此例仅以三个方面给出例子.学习时要分析函 数式的结构特征,从而确定较简单的求值域的方法. 例4 (1)已知 f(x)=x2,g(x)为一次函数,且 y 随 x 值增大而增大.若 f[g(x)]=4x2-20x+25,求 g(x)的解析式



(1)∵g(x)为一次函数,且 y 随 x 值增大而增大

故可设 g(x)=ax+b(a>0) ∵f[g(x)]=4x2-20x+25 ∴(ax+b)2=4x2-20x+25 即:a2x2+2abx+b2=4x2-20+25 解得 a=2,b=-5

故 g(x)=2x-5

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于是有 t 的象是 t2-1,即 f(t)=t2-1(t≥1) 故 f(x)=x2-1(x≥1) ∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x≥0) f(x )=x4-1(x≤-1 或 x≥1)
2

评注 对于(1)是用待定系数法求函数的解析式,要根据题意设出函数的形 式,再利用恒等式的性质解之.求函数解析式的常用方法还有拼凑法,代换法(如 (2)),解方程组等. 例 5 如图 1-7,灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽及两边坡总长度为 a,边 坡的倾角为 60°.

(1)求横断面积 y 与底宽 x 的函数关系式;

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评注 本题是有关函数的实际问题,其方法是把实际问题用数学的形式表示 出来,建立变量之间的函数关系. 例6 设 x≥0 时,f(x)=2,x<0 时,f(x)=1 又



当 0<x<1 时,x-1<0,x-2<0

当 1≤x<2 时,x-1≥0,x-2<0

当 x≥2 时, g(x)=2

评注 同函数.

分段函数关键是在 x 的不同条件下计算方法不同,不要认为是三个不

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