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函数的零点的教学设计


《函数的零点》课堂教学设计
设计者:大连理工大学附属高中 赵永新

一.教学内容 本课内容选自经全国中小学教材审定委员会 2004 年初审通过的人教版普通高中课 程标准试验教科书,数学必修①,B 版第二单元《函数》中的《函数的零点》 ,新授课, 第一课时。 1.知识背景 2.4 节《函数与方程》作为新课程改革试验教材中的新增内容,其课程目标是想 通过对本节的学习,使学生学会用二分法求函数零点近似解的方法,从中体会函数与方程 之间的联系,同时达到“方法构建、技术运用、算法渗透”这一隐性的教学目标。建立实 际问题的函数模型,利用已知函数模型解决问题,作为一条主线贯穿了全章的始终,而方 程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解,是在建立和运用函数模型的 大背景下展开的。方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解中均蕴涵 了“函数与方程的思想” ,这也是本章渗透的主要数学思想. 2.本节内容 《函数的零点》通过对二次函数图像的绘制、分析,得到零点的概念,从而进一步 探索一般函数零点存在性的判定,这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上,对函 数图像进行全新的认识,在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。 二.学生分析 1.认知起点 建构主义的基本主张认为学习是一个积极主动的建构过程,学习者不是被动地接 受外在信息,而是根据先前认知结构主动地有选择性地知觉外在信息,建构当前事物的意 义,所以课程实施决不是教师给学生灌输知识、技能,也不是学生只被动地陷于接受、记 忆、模仿和练习等低等而乏味的活动。高中数学课程应该是学生在自主探索、动手实践、 合作交流、阅读自学等学习数学的方式下,师生之间、学生之间进行愉快而有效的多边互 动。所有这些活动都需要学生在知识起点方面有所准备。通过对 2.2 节的学习,学生已经 对一次函数、二次函数的性质与图像有了深刻了解,此时学生对初等函数的本质属性、初 等函数的图像与性质的联系有了较高层次的认识,所以在本节课提出函数零点的概念,不 会显得突然,反而对学生的认知过程有很好的帮助。 2. 学习兴趣 有了良好的知识基础,学生的知识起点会很自然的与本节课的内容进行衔接,这 样学生的学习兴趣会得到保障。另外,在现代化教学设备方面,我们利用《几何画板》 这一具有超强画图功能的软件,可以帮助学生简单、准确地描绘函数图像,所以学生的 兴趣又得到了的提高。 3.学习障碍 本节课的学习障碍为零点概念的认识。零点的概念是在分析了二次函数图像的基 础上,由图像与 x 轴的位臵关系得到的一个全新概念,学生可能会设法画出图像找到所 有任意函数可能存在的所有零点,但是并不是所有函数的图像都能具体的描绘出,所以 在概念的接受上有一点的障碍。 4.学习难度 新教材关注学生的学习兴趣和认知特点,一方面注意控制教材内容总量,精选学

生终身学习必备的基础知识和基本技能,另一方面也适当降低了某些知识的难度要求, 改变了原有教材中原理性知识偏重思辨和过深、过难的现象,本节课就充分体现了这一 点 。难度适中,知识要点突出,层次分明,符合学生的认知特点。 三.设计思想 本节课的设计思想是以多媒体网络教学平台为依托,借助《几何画板》的帮助, 为学生描绘一个数学图形的世界,营造一个探究学习的环境,让他们通过数学实验, 经历回顾旧知、探求新知、发现规律、解决问题、总结规律的全过程。 四.教学目标 知识与技能:(1)通过对二次函数增图像的描绘,理解函数零点的概念,体会我们在 研究和解决问题过程的一般思维方法。 (2)通过对一般函数图像的描绘分析,领会函数零点与相应方程之间的 关系,掌握零点存在的判定条件。 (3)培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。 过程与方法: 通过画函数图像,分析零点的存在性。 情感态度与价值观: 使学生再次领略“数形”的有机结合,渗透由抽象到具体的思想, 理解动与静的辨证关系,体会数学知识之间的紧密联系。 五.教学重点 重点:理解零点的概念,判定二次函数零点的个数,会求函数的零点. 难点:探究发现函数存在零点的方法及函数零点的应用 六.教学程序与环节设计

创设情境

结合描绘的二次函数图像,提出问题,引入课题.

组织探究

二次函数零点和零点的判定. 零售价格 感知数学,以零点存在性为练习重点进行练习.

意义建构

探索研究

建立数学,进一步探索函数零点存在性的判定.

例题研究 题 研 究 尝试练习

应用数学, 零点的存在性判断及零点的确定.

利用《几何画板》描绘某些特殊函数图像,找出零点, 并尝试进行系统的总结. 重点放在零点的确定和应用.

作业反馈

具体流程设计
一、创设情境

画函数 y ? x 2 ? 2x ? 3 的图像,并观察其图象与其对应的一元二次方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的根的关系。
y y

O

x

O

x

O

x

[师生互动] 师:引导学生通过配方,画函数图象,分析方程的根与图象和 x 轴交点坐标的关系。 生:独立画图,独立思考。 设计意图:通过数与形的结合说明函数图像与性质的关系。 再次利用《几何画板》绘制函数 y ? x 2 ? 2x ? 1 、 y ? x2 ? 2x ? 3 的图像,并观察它们 的图像与对应的一元二次方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 、 x2 ? 2 x ? 3=0 的根的关系。 [师生互动] 师:引出零点的概念,将上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样? 生:完成解答,观察、思考、总结、概括得出结论,并进行交流. 设计意图:利用《几何画板》的帮助,使学生的认知起点与新知识平顺对接,形成零 点概念的初步认识。几个特殊的函数与方程又具有很强的概括性,包括方程有两不相 等的根、两相等的根、无根的情况,研究它们有利于培养学生思维的完整性,为学生 归纳方程与函数的关系铺好了台阶。
二、组织探究

对于函数 y ? f ( x)(x ? D) , 把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点 (zero point). 函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根, 亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的 横坐标.即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零 点. [师生互动] 师:引导学生仔细体会理解零点的概念,进而感悟其中的思想方法 生:结合图像认真理解函数零点的意义,并对零点出现的条件进行思考,根据函数零 点的意义探索其求法. 设计意图:通过函数零点概念的形成过程,让学生对零点的概念由初步的认识到 掌握,并且对一般概念的形成过程有一个更深刻的认识

三、意义构建

函数零点的求法: 求函数 y ? f ( x) 的零点: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系 ○ 起来,并利用函数的性质找出零点. [师生互动] 师:引导学生就将由图象得到的概念进一步深化,得到函数零点的求法。 生:得到函数零点的求解方法,第一:代数法,即求解函数对应的方程; 第二:几何法,画出函数图像,找出零点。 设计意图:深刻认识图象与函数性质的关系,并掌握用几何法求函数的零点。 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 零点个数的判定方法: 判别式 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0?
2

二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0?
2

有两个不相等的实根 有两个零点 ? ? b2 ? 4ac ? 0 2 有两个相等的实根 (重根) 有一个二重的零点或有二阶零点 ? ? b ? 4ac ? 0 2 没有实根 没有零点 ? ? b ? 4ac ? 0 [师生互动] 师:引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况. 生:根据函数零点的意义,探索研究二次函数的图像的性质,完全独立完成对二次 函数零点情况的分析 ,总结概括形成结论,并进行交流。 设计意图:让学生对特殊的函数零点产生直观认识,深化零点概念
四、探索研究

(Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 的图象 1 ] 有 零 点 ______ ; f (?3) ? ______ , ① 在 区 间 [? 3 , 上 y
f (1) ? _______, f (?3) ? f ?1? _____0( ? 或 ? ) .

O

x

②在区间 [2, 4] 上有零点______; f (2) 〃 f (5) ____0( ? 或 ? ) . 结论:二次函数零点的性质 (1)当函数的图象通过零点时(不是二重零点)函数的值变号. (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

(Ⅱ)观察下面函数 y ? f ( x) 的图象 ① 在 区 间 [a, b] 上 ______( 有 / 无 ) 零 点 ; y f (a ) 〃 f (b) _____0( ? 或 ? ) . ② 在 区 间 [b, c] 上 ______( 有 / 无 ) 零 点 ; f (b) 〃 f (c) _____0( ? 或 ? ) . a c d b O x ③ 在 区 间 [c, d ] 上 ______( 有 / 无 ) 零 点 ; f (c) 〃 f ( d ) _____0( ? 或 ? ).

结论:零点存在性定理

如果函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a , b? 上的图象是连续不间断的一条

曲线,并且有 f ? a ? ? f ?b ? ? 0 ,那么,函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a , b? 内至少存在一个零点, 即存在 c ? ? a , b? ,使得 f ? c ? ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ? x ? ? 0 的根. 注意: (1)此性质成立的前提:函数图象是连续不间断的一条曲线; (2)零点 c 并不一定是唯一的,但一定存在; (3) f ?a ? ? f ?b? ? 0 是函数 y ? f ( x) 在区间 ?a, b ? 内有零点的充分条件。但是若函 数 y ? f ( x) 是一次、二次函数时,则 f ?a ? ? f ?b? ? 0 是函数 y ? f ( x) 在区间 ?a, b ? 内 有零点的充要条件。 [师生互动] 师:引导学生结合教师所提出的问题及函数图像,分析函数在区间端点上的函数值的符 号情况,与函数零点是否存在之间的关系。 生:结合函数图象,思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评 析。 设计意图:如何由函数零点的概念过度到函数零点的判定方法是本节课的难点,这 样设计,有得于营造气氛,调动学生的积极性,内容由浅入深,既展现了知识的形 成过程,又体现了能力的培养,符合素质教育的思想。
五、例题研究

例题 1:求函数 y ? ? x2 ? 2 x ? 3 的零点,并指出 y ? 0 , y ? 0 时, x 的取值范围. y 解:由 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 得, x1 ? ?3, x2 ? 1 ∴函数 y ? ? x2 ? 2 x ? 3 的零点为-3,1.

y ? ? x2 ? 2 x ? 3 = ? ? x ? 1? ? 4 ,画出图象,
2

由图象观察可得:当 ?3 ? x ? 1 时, y ? 0 当 x ? ?3 或 x ? 1 时, y ? 0 ,∴函数的零点为-3 ,1
y ? 0 时, x 的取值范围是 ? ?3,1? y ? 0 时, x 的取值范围是 ? ?? , ?3? ? ?1, ? ? ? .

O

x y 8 6 4 2 -4 -2 O -2 -4 -6 2 4 6 x

例题 2:求函数 y ? x3 ? 2x2 ? x ? 2 的零点,并画出它的图象. ∵ x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ? x 2 ? x ? 2? ? ? x ? 2?
? ? x ? 2 ? ? x 2 ? 1?

? ? x ? 2?? x ?1?? x ?1?
∴函数的零点为-1,1,2 三个零点把 x 轴分成四个区间: ? ?? , ? 1? , ??1,1? , ?1, 2 ? , ?2, ? ?? 列表 ?描点 ?连线
x y

??? ???

-1.5 -4.38

-1 0

-0.5 1.88

0 2

0.5 1.13

1 0

1.5 -0.63

2 0

2.5 2.63

??? ???

说明:求三次函数的零点关键是能正确地进行因式分解,而作它的图象,可先由零点分析 出函数值的正负变化情况,再进行适当的取点。 因式分解的方法主要有:提取公因式法,分组分解法,公式法,十字相乘法等. [师生互动] 师:引导学生探索判断函数零点的方法,指出可以借助计算机画函数的图象,结合图象对 函数有一个零点形成直观的认识. 生:借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的区间,然后利用函数 单调性判断零点的个数. 设计意图:体现零点存在的判定思想,让学生自己动手做数学,玩数学,体会数学, 感受成功,在这些综合性、趣味性强的练习中,充分体现了尝试教学和愉快教学。
六、尝试练习

1.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根: ( 1) ? x 2 ? 3 x ? 5 ? 0 ; (2) 2 x( x ? 2) ? ?3 ; ( 3) ? 9 ? x 2 ? 6 x ; ( 4) 5 x 2 ? 2 x ? 3 x 2 ? 5 2.求出下列函数的零点,并画出函数的草图:
(1) f ( x) ? ? x 3 ? 3x ? 3 ; (2) y ? x( x ? 1)( x ? 2) ; (3) y ? ( x ?1)( x ? 1) ( x ? 3) ;
2

(4) f ( x) ? 3( x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? x .

[师生互动] 师:结合图象考察零点所在的大致区间与个数,结合函数的单调性说明零点的个数, 并再次明确学习目标 生:认识到函数的图象及基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中的重要作用, 并总结出确定函数零点的一般步骤。 设计意图:拓展学生思维,培养思考能力,突出数形结合的思想。
七、作业反馈 1. 教材 P77 练习 A 第 1、2 题; 2. 求下列函数的零点: (1) y ? ? x ? x ? 30 ;
2

(2) f ( x) ? ( x ? 2)(x ? 3x ? 2) .
2 2


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