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上海市2013年高考一模数学试题金山数学


金山区 2012 学年第一学期期末考试 高三数学试卷(一模)
(满分:150 分,完卷时间:120 分钟) 一、填空题(本大题共有 14 小题,满分 56 分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 f(x)=3x–2 的反函数 f –1(x)=________. 2.若全集 U=R,集合 A={x| –2≤x

≤2},B={x| 0<x<1},则 A∩ UB= 3.函数 y ? sin( 2 x ? .

?
3

) 的最小正周期是_________.


2n 2 ? 2 )= 4.计算极限: lim( 2 n ?? n ? n ? 1

5.已知 a ? (1, x) , b ? (4,2) ,若 a ? b ,则实数 x ? _______. 6.若复数(1+2i)(1+ai)是纯虚数,(i 为虚数单位),则实数 a 的值是 7.在 ( x ? ) 的二项展开式中,常数项等于
6



2 x

.(用数值表示)

8.已知矩阵 A= ?

?1 2? ? 4 2? ? ,矩阵 B= ? ? ,计算:AB= ?3 4? ?3 1?



9.若直线 l:y=kx 经过点 P(sin

2? 2? , cos ) ,则直线 l 的倾斜角为 α = 3 3



10.A、B、C 三所学校共有高三学生 1500 人,且 A、B、C 三所学校的高三学生人数成等差 数列,在一次联考后,准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为 120 的样本,进 行成绩分析,则应从 B 校学生中抽取_________人. 11.双曲线 C:x2 – y2 = a2 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A、 B 两点, | AB |? 4 3 ,则双曲线 C 的方程为__________. 12.把一颗骰子 投掷两次,第一次出现的点数记为 m ,第二次出现的点数记为 n ,方程组

?m x ? ny ? 3 只有一组解的概率是_________. (用最简分数表示) ? ?2 x ? 3 y ? 2
13.若函数 y=f(x) (x∈R)满足:f(x+2)=f(x),且 x∈[–1, 1]时,f(x) = | x |,函数 y=g( x)是定义在 R 上的奇函数,且 x∈(0, +∞)时,g(x) = log 3 x,则函数 y=f(x)的图像与函数 y=g(x)的图像的交

点个数为_______. 14. 若实数 a、 c 成等差数列, P(–1, 0)在动直线 l: b、 点 ax+by+c=0 上的射影为 M, N(0, 3), 点 则线段 MN 长度的最小值是 .

二、选择题(本大题有 4 题,满分 20 分) 每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相 应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律的零分. 15.若

1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是 a b
2 2





(A) a ? b (C)

(B) ab ? b (D)

2

开始

b a ? ?2 a b

b ?1 a
)

S=0 k=1 k>2011
否 是

16.右图是某程序的流程图,则其输出结果为(

2010 2011 2011 (C) 2012
(A)

1 2011 1 (D) 2012
(B)

S ?S?

1 k (k ? 1)
输出 S

17.已知 f(x )=x2–2x+3,g(x)=kx–1,则“| k |≤2”是“f(x) ≥g(x)在 R 上恒成立”的 (A) 充分但不必要条件 (C) 充要条件 ( )

k ← k+1 第 16 题图

结束

(B) 必要但不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

18.给定方程: ( ) ? sin x ? 1 ? 0 ,下列命题中:(1) 该方程没有小于 0 的实数解;(2) 该
x

1 2

方程有无数个实数解;(3) 该方程在(–∞,0)内有且只有一个实数解;(4) 若 x0 是该方程的实 数解,则 x0>–1.则正确命题的个数是 (A) 1 (C) 3 (B) 2 (D) 4 ( )

三、解答题(本大题共有 5 个小题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分)

已知集合 A={x| | x–a | < 2,x?R },B={x| (1) 求 A、B; (2) 若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

2x ?1 <1,x?R }. x?2

20. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

) ? sin(2 x ? ) ? 3 cos 2 x ? m ,x∈R,且 f(x)的最大值为 1. 3 3

?

(1) 求 m 的值,并求 f(x)的单调递增区间; (2) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边 a、b、c,若 f ( B) ? 3 ?1,且 3 a ? b ? c ,试判 断△ABC 的形状.

21. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 已知函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a , x ? (0,2] ,其中常数 a > 0. x

(1) 当 a = 4 时,证明函数 f(x)在 (0,2] 上是减函数; (2) 求函数 f(x)的最小值.

22. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左、右焦点分别为 F1、F2,线段 OF1、 OF2 的中点分别为 B1、B2,且△AB1B2 是面积为 4 的直角三角形.过B1 作直线 l 交椭圆于 P、 Q 两点.

(1) 求该椭圆的标准方程; (2) 若 PB2 ? QB2 ,求直线 l 的方程; (3) 设直线 l 与圆 O:x2+y2=8 相交于 M、N 两点,令| MN|的长度为 t,若 t∈ [4, 2 7] ,求 △B2PQ 的面积 S 的取值范围.

23. (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 已知数列{an}满足 a1 ? ?

6 , 1 ? a1 ? a2 ? ?? an ? ?an?1 ? 0 (其中 λ≠0 且 λ ≠–1,n∈N*), 7

S n 为数列{an}的前 n 项和.
2 (1) 若 a2 ? a1 ? a3 ,求 ? 的值;

(2) 求数列{an}的通项公式 an ; (3) 当 ? ?

1 时, 数列{an}中是否存在三项构成等差数列, 若存在, 请求出此三项; 若不存在, 3

请说明理由.

金山区 2012 学年第一学期高三期末考试试题评分标准
一、填空题 1.

x?2 (定义域不写不扣分) 2. {x|–2≤x≤0 或 1≤x≤2} 3

3. ?

4. 2

5. –2

6.

1 2

7.–160

? 10 4 ? 8. ? ? ? 24 10 ?
13.4

5? 9. 6
14 . 4 ? 2

10.40

x2 y2 ? ?1 11. 4 4

12.

17 18

二、选择题 15.D 三、简答题 19.解:(1) 由| x–a | < 2,得 a–2<x<a+2,所以 A={x| a–2<x<a+2}?????????3 分 由 16.C 17.A 18.C

2x ?1 x?3 <1,得 <0,即 –2<x<3,所以 B={x|–2<x<3}.??????????6 分 x?2 x?2

(2) 若 A?B,所以 ?

?a ? 2 ? 2 ,??????????????????????10 分 ?a ? 2 ? 3

所以 0≤a≤1.??????????????????????????????12 分 20.解:(1) f (x) ? sin 2x ? 3 cos2x ? m ? 2sin(2 x ?

?
3

) ? m ????????3 分

因为 f ( x)max ? 2 ? m, 所以 m ? 1 ,??????????????????????4 分 令–

? ? ? 5? ? , k? ? ] (k∈Z)???6 分 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ 得到:单调增区间为 [ k? ? 12 12 2 3 2

( 无(k∈Z)扣 1 分 ) (2) 因为 f ( B) ? 3 ?1 ,则 2sin(2 B ?

?
3

6 1 5? ? A) 又 3a ? b ? c ,则 3 sin A ? sin B ? sin C , 3 sin A ? ? sin( 2 6 ? ? 1 化简得 sin( A ? ) ? ,所 以 A ? ,???????????????????12 分 3 6 2
所以 C ?

) ? 1 ? 3 ? 1 ,所以 B ?

?

??????8 分

?

2

,故△ABC 为直角三角形.???????????????????14 分

[来源:学科网]

21.解:(1) 当 a ? 4 时, f ( x) ? x ? 任取 0<x1<x2≤2,则 f(x1) –f(x2)= x1 ?

4 ? 2 ,????????????????1 分 x

[来源:Z#xx#k.Com]

4 4 ( x ? x2 )(x1 x2 ? 4) ? x2 ? ? 1 ??????3 分 x1 x2 x1 x2

因为 0<x1<x2≤2,所以 f(x1)–f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2)???????????????5 分

所以函数 f(x)在 (0,2] 上是减函数;?????????????????????6 分 (2) f ( x) ? x ? 当且仅当 x ? 当0 ?

a ? 2 ? 2 a ? 2 ,????????????????????7 分 x

a 时等号成立,???????????? ??????????8 分

a ? 2 ,即 0 ? a ? 4 时, f (x) 的最小值为 2 a ? 2 ,?????????10 分

当 a ? 2 ,即 a ? 4 时, f (x) 在 (0,2] 上单调递减,?????????????11 分 所以当 x ? 2 时, f (x) 取得最小值为

a ,??????????????????13 分 2

综上所述: f ( x) min

?2 a ? 2 ? ? ?a ? ?2

0 ? a ? 4, a ? 4.
???????????????14 分

22.解: (1)设所求椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,右焦点为 F2 (c,0) . a2 b2

因△AB1B2 是直角三角形,又|A B1|=|AB2|,故∠B1AB2=90?,得 c=2b????1 分
2 在 Rt△AB1B2 中, S?AB1B2 ? b ? 4 ,从而 a ? b ? c ? 20.??????3 分
2 2 2

因此所求椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ????????????????4 分 20 4

(2)由(1)知 B1 (?2,0), B(2,0) ,由题意知直线 l 的倾斜角不为 0,故可设直线 l 的方程为:

x ? my ? 2 ,代入椭圆方程得 ? m 2 ? 5 ? y 2 ? 4my ? 16 ? 0 ,??????????6 分
设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 y1、y2 是上面方程的两根,因此 y1 ? y2 ?

y1 ? y 2 ? ?

???? ? ???? ? 16 ,又 B2 P ? ? x1 ? 2, y1 ? , B2Q ? ? x2 ? 2, y2 ? ,所以 m2 ? 5

4m , m2 ? 5

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

B2 P ? B2Q ? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y2 ? ? ???? ???? ? ?

16m 2 ? 64 ????????????8 分 m2 ? 5

由 PB2 ? QB1 ,得 B2 P ? B2Q =0,即 16m ? 64 ? 0 ,解得 m ? ?2 ;
2

所以满足条件的直线有两条,其方程分别为:x+2 y+2=0 和 x–2y+2=0????????10 分 (3) 当斜率不存在时,直线 l : x ? ?2 ,此时 | MN |? 4 , S ?

16 5 ??????11 分 5

当斜率存在时,设直线 l : y ? k ( x ? 2) ,则圆心 O 到直线的距离 d ?

| 2k | k 2 ?1



因此 t= | MN |? 2 8 ?

1 4k 2 ? 2 7 ,得 k 2 ? ???????????????13 分 2 3 k ?1

? y ? k ( x ? 2), ? 联立方程组: ? x 2 得 (1 ? 5k 2 ) y 2 ? 4ky ? 16k 2 ? 0 ,由韦达定理知, y2 ? 1, ? ? ? 20 4
y1 ? y 2 ?
4k 4 ? k 2 4k 16k 2 , y1 y 2 ? ? ,所以 | y1 ? y 2 |? 4 5 , (1 ? 5k 2 ) 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

因此 S ?

1 4k 4 ? k 2 . ? 4? | y1 ? y2 |? 8 5 2 (1 ? 5k 2 ) 2
2

设 u ? 1 ? 5k ,u ?

8 8 5 1 3 25 16 5 ,所以 S ? ,所以 S ? [ 35, ) ?15 分 ?( ? )2 ? 3 5 5 u 2 4

综上所述:△B2PQ 的面积 S ? [ 35,
网]

16 5 ] ?????????????????16 分 5

[来源:学&科&

23.解:(1) 令 n ? 1 ,得到 a 2 ?

1 1 1 ? 2 。????2 分 ,令 n ? 2 ,得到 a3 ? 7? 7? 7? 7 2 由 a2 ? a1 ? a3 ,计算得 ? ? ? .????????????????????4 分 6
(2) 由题意 1 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? ?an ?1 ? 0 ,可得:

1 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an?1 ? ?an ? 0(n ? 2) ,所以有

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

(1 ? ? )an ? ?an?1 ? 0 (n ? 2) ,又 ? ? 0, ? ? ?1 ,????????5 分
得到: a n ?1 ? 又因为 a 2 ?

1? ?

1 1 1 ? ? n?2 ( ) ???????????8 分 ,所以 n≥2 时, a n ? 7? 7? ? ? 6 n ? 1, ?? 7 ? 所以数列{an}的通项 a n ? ? ?????????????10 分 1 1 ? ? n?2 ? ( ) n ? 2. ? 7? ? ?

?

a n (n ? 2) ,故数列 {an } 从第二项起是等比数列。?????7 分

(3) 因为 ? ?

1 3

? 6 n ? 1, ?? 7 ? 所以 a n ? ? ??????????????11 分 ? 3 ? 4 n ? 2 n ? 2. ?7 ?

假设数列{an}中存在三项 am、ak、ap 成等差数列, ① 不防设 m>k>p≥2,因为当 n≥2 时,数列{an}单调递增,所以 2ak=am+ap 即 :2?(

3 3 m–2 3 p–2 k-p m–p )?4k–2 = ?4 + ?4 ,化简得:2?4 = 4 +1 7 7 7

即 22k–2p+1=22m–2p+1,若此式成立,必有:2m–2p=0 且 2k–2p+1=1, 故有:m=p=k,和题设矛盾????????????????????????14 分 ② 假设存在成等差数列的三项中包含 a1 时, 不妨设 m=1,k>p≥2 且 ak>ap,所以 2ap = a1+ak , 2?(

3 6 3 )?4p–2 = – + ( )?4k–2,所以 2?4p–2= –2+4k–2,即 22p–4 = 22k–5 – 1 7 7 7

因为 k > p ≥ 2,所以当且仅当 k=3 且 p=2 时成立???????????????16 分 因此,数列{an}中存在 a1、a2、a3 或 a3、a2、a1 成等差数列???????????18 分


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