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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修一全册教案3.1.3用二分法求方程的近似解


3.1.3

用二分法求方程的近似解

(一)教学目标 1.知识与技能 掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤,会用二分法求方程的近似解. 2.过程与方法 体会通过取区间中点,应用零点存在性定理,逐步缩小零点所属区间的范围,而获得零 点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想,渗透算法思想. 3.情感、态度及价值观 在灵活调整算法,在由特殊到一般的认识过程中,养成良好的学习品质和思维品质,享 受数学的无穷魅力. (二)教学重点与难点 重点:用二分法求方程的近似解; 难点:二分法原理的理解 (三)教学方法 讲授法与合作交流相结合,通过老师恰当合理的讲授,师生之间默切的合作交流,认识 二分法、理解二分法的实质,从而能应用二分法研究问题,达到知能有机结合的最优结果. (四)教学过程 教学环节 教学内容 1 问题:一元二次方程可用 判别式判定根的存在性,可 用求根公式求方程的根.但 对于一般的方程,虽然可用 零点存在性定理判定根的存 在性,而没有公式. 求根: 如何求得方程的根呢? ①函数 f (x) = lnx + 2x – 6 在 区间(2,3)内有零点. ②如果能够将零点所在的范 围尽量缩小,那么在一定精 确度的要求下,我们可以得 到零点的近似值. ③通过“取中点”的方法逐 步缩小零点所在的范围. ④取区间(2,3)的中点 2.5, 用 计 算 器 算 得 f (2.5) ≈ –0.084.因为 f (2.5)· (3)<0, f 所以零点在区间(2.5,3)内. 再 取 内 间 (2.5 , 3) 的 中 点 2.75,用计算器算得 f (2.75) ≈0.512.因为 f (2.5)·f (2.75) <0,所以零点在区间(2.5, 2.75)内. 师生互动 师: 怎样求方程 lnx + 2x – 6 = 0 的根. 引导:观察图形 设计意图

提出问题 引入课题

生:方程的根在(2,3)区间内 师: 能否用缩小区间的方法逼近方程 的根 生:应该可用 师: 我们现用一种常见的数学方法— 二分法,共同探究已知方程的根. 师生合作, 借助计算机探求方程根的 近似值.
区间 中点的值 中点函数近 似值 (2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) 2.5 2.75 2.625 2.5625 –0.084 0.512 0.215 0.066

由旧到新设 疑、析疑导 入课题,实 例分析了解 二分法、进 一步师生合 作尝试二分 法.

? ⑤由于(2,3) ≠ (2.5,3) ? ≠ (2.5,2.75),所以零点所 在的范围确实越来越小了. ⑥例如, 当精确度为 0.01 时, 由于|2.539 062 5 – 2.531 25| = 0.007 812 5<0.01,所以, 我们可以将 x = 2.531 25 作 为函数 f (x) = lnx + 2x – 6 零点的近 似值,也即方程 lnx + 2x – 6 = 0 根的近似值.

(2.5,2.5625) (2.53125,2.5625) (2.53125,2.546875)

2.53125 2.546875 2.5390625

–0.009 0.029 0.010 0.001

(2.53125,2.5390625) 2.53515625

形成概念

1.对于区间[a,b]上连续不 断且 f (a)·(b)<0 的函数 y = f f (x), 通过不断地把函数 f (x) 的零点所在的区间一分为 二,使区间的两个端点逐步 逼近零点,进而得到零点近 似值的方法叫做二分法. 2.给定精确度 ε ,用二分法 求函数 f (x)零点近似值的步 聚如下: (1)确定区间[a,b],验证 f (a)·f (b)<0,给定精确度 ε; (2)求区间(a,b)的中点 c; (3)计算 f (c); ①若 f (c) = 0, c 就是函数 则 的零点; ②若 f (a)· (c)<0, f 则令 b = c(此时零点 x0∈(a,c)); ③若 f (c)· (b)<0, f 则令 a = c(此时零点 x0∈(c,b)). (4)判断是否达到精确度 ε :即若|a – b|< ε ,则得到 零点近似值 a(或 b);否则重 复 2~4.

师生合作回顾实例: 求方程 lnx + 2x – 6 = 0 的近似解(精 确度 0.01)的操作过程.掌握二分法, 总结应用二分法的步骤 师:讲授二分法的定义. 生:总结应用二分法的步骤. 学生交流总结,学生代表口述步骤, 老师完善并板书.

由特殊到一 般 形 成 概 念,归纳总 结应用二分 法的步骤.

应用举例

例 1 借助计算器或计算机用 二分法求方程 2x + 3x = 7 的 近似解(精确度 0.1).

师生合作应用二分法, 遵循二分法的 步骤求解,并借助函数图象检验. 例 1 解:原方程即 2x + 3x –7 = 0,令 f (x) = 2x + 3x –7,用计算器或计算机 作出函数 f (x) = 2x + 3x –7 的对应值 表与图象

尝试体验二 分法,培养 应用二分法 从而固化基 本理论技能

x f(x)=2 +3x–7 x f(x)=2 +3x–7
x x

0 –6 5 40

1 –2 6

2 3 7

3 10 8

4 21

75 142 273

观察图或表可知 f(1)·f(2)<0,说明 这个函数在区间(1,2)内有零点 x0. 取区间(1,2)的中点 x1=1.5,用计算 器算得 f(1.5)≈0.33.因为 f(1)·f(1.5) <0,所以 x0∈(1,1.5). 再取(1,1.5)的中点 x2=1.25,用计算 器 算 得 f(1.25) ≈ –0.87. 因 为 f(1.25)· f(1.5)<0,所以 x0∈(1.25, 1.5). 同 理 可 得 x0 ∈ (1.375 , 1.5) , x0 ∈ (1.375,1.4375) 由于|1.375–1.4375| = 0.0625<0.1, 所 以,原方程的近似解可取为 1.4375. 学生动手尝试练习, 师生借助计算机 合作完成求解. 1.解:由题设可知 f(0)= –1.4<0, f(1)=1.6>0, 于是 f(0)·f(1)<0, 所以,函数 f(x)在区间(0,1)内有一 个零点. 下面用二分法求函数 f(x) = x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4 在区间(0,1)内的零点 取区间(0,1)的中点 x1=0.5,用计算 器 可 算 得 f(0.5)= –0.55. 因 为 f(0.5)·f(1)<0, 所以 x0∈(0.5,1). 再取区间(0.5,1)的中点 x2=0.75,用 计算器可算得 f(0.75)≈0.32. 因为 f(0.5)·f(0.75)<0, 所以 x0∈(0.5,0.75). 同理可得 x0 ∈(0.625,0.75),x0 ∈ (0.625, 0.6875),0∈(0.65625, x 0.6875) 由于|0.6875–0.65625|=0.3125<0.1, 所以原方程的近似解可取为 0.65625.

1.借助计算器或计算机,用 二分法求函数 f(x) = x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4 在区间(0, 1)内的零点(精确度 0.1).

巩固练习

进一步体验 二分法,巩 固应用二分 法的方法与 技巧及注意 事项.

2.借助计算器或计算机,用 二分法求方程 x = 3 – lgx 在 区间(2,3)内的近似解(精确 度 0.1).

2.解原方程即 x + lgx– 3 = 0,令 f(x) = x + lgx– 3,用计算器可算得 f(2)≈ –0.70,f(3)≈0.48, 于是 f(2)· f(3)<0, 所以,这个方程在区间(2,3)内有一 个解. 下面用二分法求方程 x = 3 – lgx 在区 间(2,3)内的近似解. 取区间(2,3)的中点 x1 = 2.5,用计算 器可算得 f(2.5)≈–0.10. 因为 f(2.5)·f(3)<0,所以 x0∈(2.5, 3). 用 再取区间(2.5, 3)的中点 x2 = 2.75, 计 算 器 可 算 得 f(2.75) ≈ 0.19. 因 为 f(2.5)· f(2.75)<0, 所以 x0∈(2.5, 2.75). 同理可得 x0∈(2.5,2.625), x0∈(2.5625,2.625). 由于|2.625–2.5625|=0.0625<0.1, 所以原方程的近似解可取为 2.5625. 学生独立完成 巩固二分法 应用技能

课后练习

3.1 第三课时 习案

备选例题
例 1 用二分法求函数 f (x) = x3 – 3 的一个正实数零点(精确到 0.1). 【解析】 由于 f (1) = –2<0, (2) = 5>0, f 因此可以确定区间[1, 2]作为计算的初始区间, 用二分法逐步计算,列表如下: 端点或中点的横坐标 a0 = 1,b0 = 2
x0 = x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = 1+ 2 = 1.5 2

计算端点或中点的函数值 f(1)= –2,f(2)=5 f (x0) = 0.375>0 f (x1) = –1.0469<0 f (x2) = –0.4004<0 f (x3) = –0.0295<0 f (x4) = 0.1684>0 f (x5)>0 f (x6)>0

定区间 [1,2] [1,1.5] [1.25,1.5] [1.375,1.5] [1.4375,1.5] [1.4375,1.46875] [1.4375,1.453125] [1.4375,1.4453125]

1 + 1.5 = 1.25 2

1.25 + 1.5 = 1.375 2

1.375 + 1.5 = 1.4375 2

1.4375 + 1.5 = 1.46875 2

1.4375 + 1.46875 = 1.453125 2

x6 = 1.4453125

由上表的计算可知区间[1.4375,1.4453125]的左、右端点精确到 0.1 所取的近似值都是 1.4,所以 1.4 可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.


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