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高中数学竞赛辅导讲义第四讲 几个初等函数的性质【讲义】


第四章
一、基础知识

几个初等函数的性质

1.指数函数及其性质:形如 y=ax(a>0, a ? 1)的函数叫做指数函数,其 定义域为 R,值域为(0,+∞) ,当 0<a<1 时,y=ax 是减函数,当 a>1 时,y=ax 为增函数,它的图象恒过定点(0,1) 。 2.分数指数幂: a = a ,

a = a , a
n n m 1 n m n -n

1 = n ,a n = a

m

1
n

am



3.对数函数及其性质:形如 y=logax(a>0, a ? 1)的函数叫做对数函数, 其定义域为 (0, +∞) 值域为 R, , 图象过定点 (1, 。 0<a<1, 0) 当 y=logax 为减函数,当 a>1 时,y=logax 为增函数。 4.对数的性质(M>0, N>0) ; 1)ax=M ? x=logaM(a>0, a ? 1); 2)loga(MN)= loga M+ loga N; 3)loga( 5)loga
n

M )= loga M- loga N;4)loga Mn=n loga M; , N M = log b 1 loga M;6)aloga M=M; 7) loga b= c (a,b,c>0, a, c ? 1). n log c a

5. 函数 y=x+ (a>0)的单调递增区间是 (- ?,- a ]和 [ a ,+? ) ,单调递减 区间为 [- a ,0)和 (0, a ] 。 (请读者自己用定义证明) 6. 连续函数的性质: a<b, f(x)在[a, b]上连续, f(a)· 若 且 f(b)<0, f(x)=0 则 在(a,b)上至少有一个实根。
a x

二、方法与例题 1.构造函数解题。 例1 已知 a, b, c∈(-1, 1),求证:ab+bc+ca+1>0.

【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1)), f(x)是关于 x 的一次函数。 则 所以要证原不等式成立,只需证 f(-1)>0 且 f(1)>0(因为-1<a<1). 因为 f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0, f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0, 所以 f(a)>0,即 ab+bc+ca+1>0. 例 2 (柯西不等式) a1, a2,…,an 是不全为 0 的实数, 1, b2,…,bn∈R, 若 b 则( ? ai2 )( ? bi2 )≥( ? ai bi )2,等号当且仅当存在 m ? R,使 ai= mbi , ·
i =1 i =1 i =1 n n n

i=1, 2, …, n 时成立。 【证明】
n

令 f(x)= ( ? ai2 )x2-2( ? ai bi )x+ ? bi2 = ? (ai x - bi ) 2 ,
i =1 i =1 i =1 i =1

n

n

n

n

因为 ? ai2 >0,且对任意 x∈R, f(x)≥0,
i =1

所以△=4( ? ai bi )-4( ? ai2 )( ? bi2 )≤0.
i =1 i =1 i =1

n

n

n

展开得( ? ai2 )( ? bi2 )≥( ? ai bi )2。
i =1 i =1 i =1

n

n

n

等号成立等价于 f(x)=0 有实根,即存在 m ,使 ai= mbi , i=1, 2, …, n。

例3

1 ? 1? 设 x, y∈R+, x+y=c, c 为常数且 c∈(0, 2],求 u= ? x + ?? y + ÷ 的最 ? ÷? ÷ è x ?è y?

小值。
x y 1 1 x y 1 ? 1? 【解】u= ? x + ?? y + ÷ =xy+ + + ≥xy+ +2· × ? ÷? ÷ è x ?è y? y x xy xy y x 1 +2. xy ( x + y) 2 c 2 1 c2 = ,设 f(t)=t+ ,0<t≤ . 4 4 t 4

=xy+

令 xy=t,则 0<t=xy≤

? c2 ù c2 因为 0<c≤2,所以 0< ≤1,所以 f(t)在 ? 0, ú 上单调递减。 ? 4 4 è ? c2 c2 4 c2 4 所以 f(t)min=f( )= + 2 ,所以 u≥ + 2 +2. 4 4 c 4 c

当 x=y= 时,等号成立. 所以 u 的最小值为 2.指数和对数的运算技巧。 例4

c 2

c2 4 + +2. 4 c2

设 p, q∈R+且满足 log9p= log12q= log16(p+q),求 的值。 令 log9p= log12q= log16(p+q)=t,则 p=9 t , q=12 t , p+q=16t,
t t
t 2t

q p

【解】
t

4 4 所以 9 +12 =16 ,即 1+ ? ? = ? ? . ? ÷ ? ÷ è3? è3? q 12 t ? 4 ? 1± 5 记 x= = t = ? ÷ ,则 1+x=x2,解得 x = . p 9 2 è3?
t

又 >0,所以 =

q p

q p

1± 5 . 2

例5
1 x

对于正整数 a, b, c(a≤b≤c)和实数 x, y, z, w,若 ax=by=cz=70w,
1 y 1 z 1 ,求证:a+b=c. w

且 + + = 【证明】
1 w

由 ax=by=cz=70w 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
1 x 1 1 1 1 lgb= lg70, lgc= lg70, w y w z ?1 1 1? 1 1 1 1

所以 lga= lg70,
1

相加得 (lga+lgb+lgc)= ? + + ÷ lg70,由题设 + + = , ?x y z÷ w x y z w è ? 所以 lga+lgb+lgc=lg70,所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=2×5×7. 若 a=1,则因为 xlga=wlg70,所以 w=0 与题设矛盾,所以 a>1. 又 a≤b≤c,且 a, b, c 为 70 的正约数,所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例6 已知 x ? 1, ac ? 1, a ? 1, c ? 1. 且 logax+logcx=2logbx,求证

c2=(ac)logab. 【证明】
log a x +

由题设 logax+logcx=2logbx,化为以 a 为底的对数,得

log a x 2 log a x = , log a c log a b

因为 ac>0, ac ? 1,所以 logab=logacc2,所以 c2=(ac)logab. 注:指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。 3.指数与对数方程的解法。

解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。 值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。 例7 解方程:3x+4 x +5 x =6 x.
x x x x x x

1 2 5 1 2 5 设 【解】 方程可化为 ? ? + ? ? + ? ? =1。 f(x)= ? ? + ? ? + ? ? , 则 ? ÷ ? ÷ ? ÷ ? ÷ ? ÷ ? ÷ è2? è3? è6? è2? è3? è6?

f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,因为 f(3)=1,所以方程只有一个解 x=3. 例8
ì x + y = y 12 ?x 解方程组: í x + y (其中 x, y∈R+). 3 ?y =x ?

【解】

两边取对数,则原方程组可化为 í

ì( x + y ) lg x = 12 lg y . ?( x + y ) lg y = 3 glx

①②

把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx,所以[(x+y)2-36]lgx=0. 由 lgx=0 得 x=1,由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得 x+y=6, 代入①得 lgx=2lgy,即 x=y2,所以 y2+y-6=0. 又 y>0,所以 y=2, x=4. 所以方程组的解为 ? í 例9
ì x1 = 1 ? x 2 = 4 ì ;í . ? y1 = 1 ? y 2 = 2 ? ?

已知 a>0, a ? 1,试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取

值范围。
ì( x - ak ) 2 = x 2 - a 2 ? 【解】由对数性质知,原方程的解 x 应满足 í x - ak > 0 .①②③ ?x 2 - a 2 > 0 ?

若①、②同时成立,则③必成立,

故只需解 í

ì( x - ak ) 2 = x 2 - a 2 . ? x - ak > 0

由①可得 2kx=a(1+k2),


a (1 + k 2 ) 1+ k 2 , 代入②得 >k. 2k 2k

当 k=0 时, ④无解; k ? 0 时, 当 ④的解是 x=

若 k<0,则 k2>1,所以 k<-1;若 k>0,则 k2<1,所以 0<k<1. 综上,当 k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时,原方程有解。

三、基础训练题 1.命题 p: “(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命题 q:“x+y≥0” 的_________条件。 2.如果 x1 是方程 x+lgx=27 的根,x2 是方程 x+10x=27 的根,则 x1+x2=_________. 3.已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,点 A(-1,1) ,B(1,3)在它的 图象上,y=f-1(x)是它的反函数,则不等式|f-1(log2x)|<1 的解集为 _________。 4.若 log2a
1+ a2 <0,则 a 取值范围是_________。 1+ a a x

5.命题 p: 函数 y=log2 ? x + - 3 ? 在[2,+∞)上是增函数;命题 q: 函 ? ÷
è ?

数 y=log2(ax2-4x+1)的值域为 R,则 p 是 q 的_________条件。

6.若 0<b<1, a>0 且 a ? 1,比较大小:|loga(1-b)|_________|loga(1+b). 7.已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为 _________。 8.若 x=
1 1 log 1 3 2 + 1 1 log 1 3 5

,则与 x 最接近的整数是_________。

9.函数 y = log 1 ? ?

1 1 ? + ÷ 的单调递增区间是_________。 1- x 1+ x ? 2è x -1 ? é3 ù? ? x ? ê ,2ú ÷ 的值域为_________。 ? ÷ x - 2x + 5 è ?2 ??
2

10.函数 f(x)=

11.设 f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a],其中 n 为给定正整数, n≥ 2, a∈R.若 f(x)在 x∈(-∞,1]时有意义,求 a 的取值范围。 12.当 a 为何值时,方程 四、高考水平训练题 1.函数 f(x)=
8 2 - 1 +lg(x -1)的定义域是_________. x lg 2 x =2 有一解,二解,无解? lg( x + a )

1 2.已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈ ? 0, ? 时恒成立,则 m 的取值范围是 ? ÷ è 2?

_________. 3.若 x∈{x|log2x=2-x},则 x2, x, 1 从大到小排列是_________. 4. 若 f(x)=ln
1- x a+b ? ,则使 f(a)+f(b)= f ? ? ÷ _________. 1+ x è 1 + ab ?

5. 命题 p: 函数 y=log2 ? x + - 3 ? 在[2,+∞)上是增函数;命题 q:函数 ? ÷
è a x ?

y=log2(ax2-4x+1)的值域为 R,则 p 是 q 的_________条件. 6.若 0<b<1, a>0 且 a ? 1,比较大小:|loga(1-b)| _________|loga(1+b)|. 7. 已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3], 则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________. 8.若 x=
1 log 1
2

1 3

+

1 log 1
5

1 3

,则与 x 最接近的整数是_________.

9.函数 y= log 1 ? ?

1 1 ? + ÷ 的单调递增区间是_________. 1- x 1+ x ? 2è x -1 ? é3 ù? ? x ? ê ,2ú ÷ 的值域为_________. ÷ ? x - 2x + 5 è ?2 ??
2

10.函数 f(x)=

11.设 f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a],其中 n 为给定正整数,n≥ 2,a∈R。若 f(x) 在 x∈(-∞,1]时有意义,求 a 的取值范围。 12.当 a 为何值时,方程 四、高考水平训练题 1.函数 f(x)=
8 2 - 1 +lg(x -1)的定义域是__________. x lg 2 x =2 有一解,二解,无解? lg( x + a )

1 2.已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈ ? 0, ? 时恒成立,则 m 的取值范围是 ? ÷ è 2?

________.

3.若 x∈{x|log2x=2-x},则 x2, x, 1 从大到小排列是________. 4.若 f(x)=ln ________. 5.已知 an=logn(n+1),设 ? 则 p·q 的值为_________. 6.已知 x>10, y>10, xy=1000,则(lgx)·(lgy)的取值范围是________. 7.若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,则实数 k 的取值范围是 ________. 8.函数 f(x)= í
ì| lg | x - 1 || ?0 x ?1 的定义域为 R,若关于 x 的方程 x =1
1023

a+b ? 1- x ,则使 f(a)+f(b)= f ? ? ÷ 成立的 a, b 的取值范围是 1+ x è 1 + ab ?

1 q = ,其中 p, q 为整数,且(p ,q)=1, p n = 2 log a n 100

f-2(x)+bf(x)+c=0 有 7 个不同的实数解,则 b, c 应满足的充要条件是 ________. (1)b<0 且 c>0; (2)b>0 且 c<0; (3)b<0 且 c=0; (4)b≥0 且 c=0。 9.已知 f(x)= ? ?
1 1? + ÷ x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t ? 0),则 F(x)是________函 è 2 -1 2 ?
x

数(填奇偶性). 10.已知 f(x)=lg ? ?
1+ x ? ? a+b ? ? a-b ? ÷ ,若 f ? ÷ =1, f ? ÷ =2,其中|a|<1, |b|<1, è1- x ? è 1 - ab ? è 1 - ab ?

则 f(a)+f(b)=________. 11.设 a∈R,试讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的

个数。 12.设 f(x)=|lgx|,实数 a, b 满足 0<a<b, f(a)=f(b)=2f ? ? (1)a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0; (2)3<b<4. 13. a>0 且 a ? 1, f(x)=loga(x+ x 2 - 1 )(x≥1), 1) f(x)的反函数 f-1(x); 设 ( 求 (2)若 f-1(n)<
3n + 3-n (n∈N+),求 a 的取值范围。 2 a+b? ÷ ,求证: è 2 ?

五、联赛一试水平训练题 1.如果 log2[log 1 (log2x)]= log3[log 1 (log3x)]= log5[log 1 (log5z)]=0,那么
2 3 5

将 x, y, z 从小到大排列为___________. 2.设对任意实数 x0> x1> x2> x3>0,都有 log x 1993+ log x 1993+
0 10

x1

x2

log x 1993> klog x 1993 恒成立,则 k 的最大值为___________.
2 0

x3

x3

3.实数 x, y 满足 4x2-5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则 ___________.

1 S max

+

1 S min

的值为

4.已知 0<b<1, 00<α<450,则以下三个数:x=(sinα)logbsina, y=(cosα)
log sina , b

z=(sinα) logbsina 从小到大排列为___________.

5.用[x]表示不超过 x 的最大整数,则方程 lg2x-[lgx]-2=0 的实根个数是 ___________. 6.设 a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1],记 a, b,

c 中的最大数为 M,则 M 的最小值为___________. 7. f(x)(x∈R)是周期为 2 的偶函数, x∈[0,1]时, 若 当 f(x)= x 1998 , f ? 则 ?
? 101 ? ? 104 ? f? ÷, f ? ÷ 由小到大排列为___________. è 17 ? è 15 ?
1

98 ? ÷, è 19 ?

8.不等式 log 2 x - 1 + log 1 x 2 +2>0 的解集为___________.
2

1 2

9.已知 a>1, b>1,且 lg(a+b)=lga+lgb,求 lg(a-1)+lg(b-1).
lg(6 - x) + lg( x - 2) + log 1 ( x - 2)

10. (1)试画出由方程 y=f(x)图象。

10

lg 2 y

=

1 所确定的函数 2

(2) 若函数 y=ax+ 与 y=f(x)的图象恰有一个公共点, a 的取值范围。 求 11.对于任意 n∈N+(n>1),试证明:[ n ]+[ 3 n ]+… +[ n n ]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。 六、联赛二试水平训练题 1.设 x, y, z∈R+且 x+y+z=1,求 u=
3x 2 - x 3 y 2 - y 3z 2 - z + + 的最小值。 1+ x2 1+ y2 1+ z2

1 2

2.当 a 为何值时,不等式 log 1 ( x 2 + ax + 5 + 1) ·log5(x2+ax+6)+loga3≥0
n

有且只有一个解(a>1 且 a ? 1) 。 3.f(x)是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数,满足条 件;对于任何 x, y>1 及 u, v>0, f(x y )≤[f(x)] [f(y)] ①都成立,试确定 所有这样的函数 f(x).
u v
1 4u 1 4v

4. 求所有函数 f:R→R,使得 xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。 5.设 m≥14 是一个整数,函数 f:N→N 定义如下:
ìn - m + 14 f(n)= ? í ? f ( f (n + m - 13)) ? n > m2 n ? m2

,

求出所有的 m,使得 f(1995)=1995. 6.求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数 f: f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)·f(y), x, y∈Q. 7.是否存在函数 f(n),将自然数集 N 映为自身,且对每个 n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。 8.设 p, q 是任意自然数,求证:存在这样的 f(x) ∈Z(x)(表示整系数 多项式集合) ,使对 x 轴上的某个长为 的开区间中的每一个数 x, 有
f ( x) p 1 < 2. q q 1 q

9 . 设 α , β 为 实 数 , 求 所 有 f: R+ → R , 使 得 对 任 意 的 x,y∈R+,
x f f(x)f(y)=y2·f ? ? + x b f ? ? 成立。 ? ÷ ? ÷ è2? è2?


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