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竞赛辅导-面积法与等积变换


面积法与等积变换
主要知识点

思考1,2,

思考3

思考4

教程练习

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面积法与等积变换
主要知识:(见教程 P417 ) 1.面积公式 1 1 S△ ABC ? aha ? ab sin C ? 2 R2 sin A sin

B sin C 2 2 S△ ABC ? p( p ? a )( p ? b)( p ? c ) ? pr (p 是周长的一半) 2.面积定理 等底等高的三角形的面积相等. 等高(比)的两个三角形的面积之经等于底(高)之比. 3.等积变换 一个图形经过变形,但面积保持不变,这种变形称为 等积变换.
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思考 1.(教程 P428 14 ) △ABC 内有一点 P ,直线 AP , BP , CP 分别与对边交于 D, E , F ,试确定点 P ,使 △DEF 的面积尽可能大.

( S△ DEF )max

1 ? S△ ABC 4

3

思考2

思考 2.设有边长为 1 的正方形,试在这个正方形 的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面 积最小的,并求出这两个面积.(要说明理由).

Smin

3 ? , Smax ? 2 3 ? 3 4

4

思考3

思考 3.如图,在四边形 ABCD 中, △ABD,△BCD,△ABC 的 面 积 比 是 3:4:1, 点 M , N 分 别 在 AC , CD 上 , 满 足 AM : AC ? CN : CD ,并且 B, M , N 共线,求证: M 与 N 分 别是 AC 和 CD 的中点.(1983 年全国高中联赛题)

AM CN 提示:设 ? ?r?0 AC CD 利用面积得图中的一些线段比. 对△DEC 运用梅涅劳斯定理可得 关于 r 的方程,解方程即可.

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思考4

思考 4.如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD,BC=DC,过 AC,BD 的交点 O 引 EF,GH,其中 EF 交 AB,CD 于 E,F,GH 交 DA,BC 于 G,H.EH,GF 分别交 BD 于 P,Q, 则 OP=OQ.(1990 年 CMO 选拨试题)

提示:分别作点 G、F 关于直线 AC 的对称点 G?、F ? ,连结 F ?G? 只 要 证 F ?G?, EH , BO 三 线 共 点 即可,这可运用塞瓦定理来证.

G?

F?

6

练习

练习: 1.(教程 P426 3)如图,M 在 AC 上,N 在 BC 上,AN 与 BM 相交于 点 O,已知 S△OMA ? 3, S△OAB ? 2, S△OBN ? 1, 则 S△CMN =____.

2.(教程 P427 10)如图,

? ABCD 的面积是

60,E,F 分别是 )

AB,BC 的中点,AF 分别交 ED,BD 于 G,H,则 S 阴影等于( (A)10 (B)6 (C)7 (D)8

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3. 如 图 , 在 锐 角 △ ABC 的 BC 边 上 有 两 点 E,F, 满 足 ?BAE ? ?CAF , 作 FM ? AB于M , 作 FN ? AC 于N , 延 长 AE 交△ABC 的外接圆于点 D,求证:四边形 AMDN 与△ABC 的面积相等.(2000 全国高中联赛题)

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