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【校本课程数学竞赛讲义】第4


【校本课程数学竞赛讲义】 知识提要

§2.3

函数迭代

先看一个有趣的问题:李政道博士 1979 年 4 月到中国科技大学,给少年班的同学面试 这样一道题: 五只猴子,分一堆桃子,怎么也平分不了,于是大家同意先去睡觉,明天再说.夜里一 只猴子偷偷起来, 把一个桃子吃掉后正好可以分成 5 份, 收藏起自己的一份后又去

睡觉了. 第 二只猴子起来后,像第一只猴子一样,先吃掉一个,剩下的又刚好分成 5 份,也把自己的一 份收藏起来睡觉去了.第三、第四、第五只猴子也都是这样:先吃掉一个,剩下的刚好分成 5 份.问这堆桃子最少是多少个? 设桃子的总数为 x 个.第 i 只猴子吃掉一个并拿走一份后,剩下的桃子数目为 xi 个,则

且 x0

x1 ? x2 ? x3 ?
x4 ? x5 ?

4 ( xi ?1 ? 1) , i ? 1, 2,3, 4,5 5 4 4 ? x .设 f ( x) ? ( x ? 1) ? ( x ? 4) ? 4 .于是 5 5 4 f ( x) ? ( x ? 4) ? 4 5 4 f ( f ( x)) ? ( ) 2 ( x ? 4) ? 4 5 4 f ( f ( f ( x))) ? ( )3 ( x ? 4) ? 4 5 4 f ( f ( f ( f ( x)))) ? ( ) 4 ( x ? 4) ? 4 5 4 f ( f ( f ( f ( f ( x))))) ? ( )5 ( x ? 4) ? 4 5 xi ?
5

5 由于剩下的桃子数都是整数,所以,5 | x ? 4 .因此,最小的 x 为:x ? 5 ? 4 ? 3121 .

上面的解法,我们利用了一个函数自身复合多次,这就叫迭代.一般地,设 f : D ? D 是一个函数,对 ?x ? D ,记 f
(0)

( x) ? x , f (1) ( x) ? f ( x) , f (2) ( x) ? f ( f ( x)) ,…,

(n) (n) 则称函数 f ( x) 为 f ( x ) 的 n 次迭代, 并称 n 为 f ( x) f ( n?1) ( x) ? f ( f ( n) ( x)) ,n ? N ? , (?n)

的迭代指数.反函数记为 f

( x) .

一些简单函数的 n 次迭代如下:

1

(1)若 f ( x) ? x ? c ,则 f ( n ) ( x) ? x ? nc ; (3)若 f ( x) ? xa ,则 f ( n) ( x) ? xa ; (5)若 f ( x) ? ax ? b ( a ? 1 ),则 f
(n)
n

(2)若 f ( x) ? ax ,则 f ( n) ( x) ? an x ; (4)若 f ( x) ?

x x (n) ,则 f ( x) ? ; 1 ? ax 1 ? nax

( x) ? a n x ?

1 ? an b; 1? a

f ( n ) ( x) 的一般解法是先猜后证法:先迭代几次,观察规律并猜测表达式,证明时常用
数学归纳法.

例题讲解
1.求迭代后的函数值 例 1:已知 f ( x ) 是一次函数,且 f (10) ( x) ? 1024 x ? 1023 ,求 f ( x ) 的解析式.

例 2 :自然数 k 的各位数字和的平方记为 f1 (k ) ,且 f n (k ) ? f1[ f n?1 (k )] ,则 f n (11) ( n ? N )的值域为( (A) N
? ?

) (B) 5 (C) {4,16, 49,169, 256} (D )

{2, 4, 7,13,16}
(第 14 届希望杯) 例 3 : 设 f1 ( x ) ?

2 f ( 2 )? 1 ? , 而 f n?1 ( x) ? f1[ f n ( x)] , n ? N . 记 an ? n ,则 x ?1 f n ( 2 )? 2

a99 ?

. (第 14 届希望杯)

2.不动点法 一般地,若 f ( x) ? ax ? b ,则把它写成

f ( x) ? a ( x ?

b b )? 1? a 1? a

2

因而

f (2) ( x) ? a 2 ( x ?

b b )? 1? a 1? a b b f (3) ( x) ? a 3 ( x ? )? 1? a 1? a
……

f ( n ) ( x) ? a n ( x ?
这里的 不动点.

b b )? 1? a 1? a

b 就是方程 ax ? b ? x 的根.一般地,方程 f ( x) ? x 的根称为函数 f ( x ) 的 1? a

(n) 如果 x0 是函数 f ( x ) 的不动点,则 x0 也是 f ( x) 的不动点.可用数学归纳法证明.利

用不动点能较快地求得函数 f ( x ) 的 n 次迭代式. 例 4:若 f ( x) ? 19 x 2 ? 93 ,求 f ( n ) ( x) .

3.相似法 若存在一个函数 ? ( x) 以及它的反函数 ? ( x) ,使得 f ( x) ? ? ( g (? ( x))) ,我们称
?1 ?1

f ( x) 通过 ? ( x) 和 g ( x) 相似,简称 f ( x) 和 g ( x) 相似,其中 ? ( x) 称为桥函数.
?1 ( n) ?1 ( n) 如果 f ( x ) 和 g ( x) 相似,即 f ( x) ? ? ( g (? ( x))) ,则有: f ( x) ? ? ( g (? ( x))) .

例 6:若 f ( x) ? 2 x ?1 ,求 f
2

(n)

( x) .

例 7:若 f ( x) ? x ? 2 x ?1 ,求 f

(n)

( x) .

课后练习

3

1.若 f ( x ) ? (A) A 5 届希望杯)

x ?1 的定义域为 A , f [ f ( x)] 的定义域为 B ,则( x ?1
B?R
(B) A ? B (C) A ? B

) (D)A ? B (第

2 .在正整数集 N 上定义的函数 f (n) ? ? ( ) (A) 997 2 届希望杯) (B) 998

?

?n ? 3 ? f [ f (n ? 7)]

(n ? 1000) ,则 f (90) 的值是 (n ? 1000)

(C) 999

1000 (D)

(第

3.已知 f ( x ) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,则 f ( x ) 的解析式为

. . (第

3 ,则 a ? 4.已知函数 f ( x ? a) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 | ,且 f [ f (a)] ?
6 届希望杯)

5 . 设 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 且 对 于 任 意 实 数 a , b , 有 f [ af ( b)]? ab ,则

| f (1999) ?|

. 的小数点后第 n 位数字,并且规定 , 求 证 :

6.设函数 f (n) ? k , k 是无理数 ? ? 3.1415926535

f (0) ? 3





F ( n) ? f ( f ( f (

f (n)) ))
10重f

F[

f( ?

1

9? f

9

0 f?

)

F. (

f 5

)

f (

3f

)

]

[

(第 1 届希望杯) 7.给定 n 个数: a1 ? 0.50.5 , ak ? 0.5
ak ?1

( k ? 2,3,

, n )将这 n 个数由大到小地排成一

列 , 定 义 : 第 k 位 上 恰 是 ak 的 数 k ( k ? 2 ) 叫 做 希 望 数 , 试 求 n ? 2999 时 的 希 望 数.
2

(第 11 届希望杯)
1 n n ?1

8.设 f ( x) ? x ? a .记 f ( x) ? f ( x) , f ( x) ? f ( f

( x)) ( n ? 2,3,

), (2006

1 M ? {a ? R | 对任意正整数n,| f n (0) |? 2} .证明: M ? [?2, ] . 4
年全国联赛)

4


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