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江西省宜春市上高二中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科) Word版含解析


江西省宜春市上 2014-2015 学年高二中 2015 届高三上学 期第二次月考数学试卷(文科)
一、选择题(10×5 分=50 分) 1.设集合 A.a?A ,则( B.a?A ) C.{a}∈A D.{a}?A

考点:元素与集合关系的判断. 专题:计算题. 分析:通过比较 与 2 的大小,判断出 a 与集合 A 的关系即可.

解答: 解:∵| |= <2 ∴a∈A,{a}?A. 故选 D. 点评:本题考查元素与集合的关系:通过判断元素是否满足集合的公共属性. 2.在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次.设命题 p 是“甲落地站稳”, q 是“乙落地站稳”, 则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( ) A.p∨q B.p∨(¬q) C. (¬p)∧(¬q) D. (¬p)∨(¬q) 考点:复合命题. 专题:简易逻辑. 分析:命题“至少有一位队员落地没有站稳”表示“甲落地没有站稳”与“乙落地没有站稳至少 一个发生”. 解答: 解:设命题 p 是“甲落地站稳”,q 是“乙落地站稳”, 则命题“至少有一位队员落地没有站稳”表示¬p 与¬q 至少一个发生, 即¬p 与¬q 至少一个 发生, 表示为(¬)p∨(¬q) . 故选:D 点评:本题考查用简单命题表示复合命题的非命题,属于基础题 3.如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为 5,那么 f(x)在区间[﹣7,﹣3] 上是( ) A.增函数且最小值为﹣5 B.增函数且最大值为﹣5 C.减函数且最大值是﹣5 D.减函数且最小值是﹣5 考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据奇函数的图象关于原点对称,故它在对称区间上的单调性不变,结合题意从而得 出结论. 解答: 解:由于奇函数的图象关于原点对称,故它在对称区间上的单调性不变.

如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为 5,那么 f(x)在区间[﹣7,﹣3]上 必是增函数且最小值为﹣5, 故选 A. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用, 奇函数的图象和性质, 属于中档题. 4.已知函数 f(x)的定义域是(0,1) ,那么 f(2 )的定义域是( ) A. (0,1) B. (﹣∞,1) C. (﹣∞,0) D. ( 0,+∞) 考点:函数的定义域及其求法. 专题:计算题;整体思想. x x 分析:根据函数 f(x)的定义域是(0,1) ,而 2 相当于 f(x)中的 x,因此得到 0<2 <1, 利用指数函数的单调性即可求得结果. 解答: 解:∵函数 f(x)的定义域是(0,1) , x ∴0<2 <1, 解得 x<0, 故选 C. 点评:此题主要考查了函数的定义域和指数函数的单调性,体现了整体代换的思想,是一道 基础题. 5.设 f(log2x)=2 (x>0) ,则 f(2)的值是( A.128 B.16 C .8 考点:对数的运算性质. 专题:计算题. 分析:根据题意令 log2x=2,求出对应的函数的自变量的值,再代入函数解析式求解. 解答: 解:由题意,令 log2x=2,解得 x=4, x 4 则 f(log2x)=2 =2 =16, 故选 B. 点评: 本题考查了对数的运算和求函数的值, 对于复合函数需要根据解析式求出原函数对应 的自变量的值,再代入解析式求函数的值.
x x

) D.256

6.若幂函数 是( ) A.m=﹣2

的图象不过原点,且关于原点对称,则 m 的取值

B.m=﹣1

C.m=﹣2 或 m=﹣1

D.﹣3≤m≤﹣1

考点:幂函数的性质. 分析: 根据函数为幂函数, 可知函数的系数为 1, 从而可求 m 的取值, 再根据具体的幂函数, 验证是否符合图象不过原点,且关于原点对称即可. 2 解答: 解:由题意,m +3m+3=1 2 ∴m +3m+2=0 ∴m=﹣1 或 m=﹣2 当 m=﹣1 时,幂函数为 y=x ,图象不过原点,且关于 y 轴对称,不合题意; ﹣3 当 m=﹣2 时,幂函数为 y=x ,图象不过原点,且关于原点对称,符合题意;
﹣4

故选 A. 点评:本题以幂函数性质为载体,考查幂函数的解析式的求解.函数为幂函数,可知函数的 系数为 1 是解题的关键.

7.设 a,b,c 均为正数,且 2 = A.a<b<c B.c<b<a

a

, C.c<a<b

, D.b<a<c

,则(

)

考点:对数值大小的比较. 专题:数形结合. 分析:比较大小 可以借助图象进行比较,观察题设中的三个数 a,b,c,可以借助函数图 象的交点的位置进行比较. 解答: 解:分别作出四个函数 y= y=2 ,y=log2x 的图象,观察它们的交点情况. 由图象知: ∴a<b<c. 故选 A.
x



点评:本题考点是对数值大小的比较,本题比较大小时用到了对数函数和指数函数的图象, 比较大小的题在方法上应灵活选择,依据具体情况选择合适的方法. 8.若 log4(3a+4b)=log2 ,则 a+b 的最小值是( A.6+2 B.7+2 C.6+4 考点:基本不等式;对数的运算性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用对数的运算法则可得 解答: 解:∵3a+4b>0,ab>0, ∴a>0.b>0 >0,a>4,再利用基本不等式即可得出 ) D.7+4

∵log4(3a+4b)=log2 , ∴log4(3a+4b)=log4(ab) ∴3a+4b=ab,a≠4,a>0.b>0 ∴ ∴a>4, 则 a+b=a+ + +7 =a+ =a+3+ +7=4 =(a﹣4) 取等号. >0,

+7,当且仅当 a=4+2

故选:D. 点评:本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质,属于中档题. 9.函数 的图象不可能是( )

A.

B.

C.

D. 考点:函数的图象. 专题:数形结合. 分析:函数 的图象是一个随着 a 值变化的图,讨论 a 值的不同取值从而得到

不同的图象,从这个方向观察四个图象. 解答: 解:当 a<0 时,如取 a=﹣1,则 f(x)= 数,图象是 A.故 A 正确; 当 a>0 时,如取 a=1,则 f(x)= 正确; 当 a=0 时,则 f(x)= ,其定义域为:x≠0,它是奇函数,图象是 C,C 正确; ,其定义域为:R,它是奇函数,图象是 B.故 B ,其定义域为:x≠±1,它是奇函

故选 D. 点评:由于函数的解析式中只含有一个参数,这个参数影响图象的形状,这是本题的关键. 10.对于函数 f(x)=﹣3x +k,当实数 k 属于下列选项中的哪一个区间时,才能确保一定 存在实数对 a,b(a<b<0) ,使得当函数 f(x)的定义域为[a,b]时,其值域也恰好是[a, b]( ) A.[﹣2,0) B.[﹣2,﹣ ) C. (﹣ ,+∞) D. (﹣ ,0)
2

考点:函数的定义域及其求法;函数的值域. 专题:函数的性质及应用. 分析: 函数 f (x) =﹣3x +k 的图象开口向下, 对称轴为 y 轴, 若存在实数对 a, b (a<b<0) , 2 2 2 此时函数单调递增,由题意得﹣3a +k=a,﹣3b +k=b,所以方程 3t +t﹣k=0 有两个不等的负 根 a,b,进而可求实数 k 的区间. 2 解答: 解:由题意,函数 f(x)=﹣3x +k 的图象开口向下,对称轴为 y 轴,函数图象在 y 轴右侧递减,左侧递增, 若存在实数对 a,b(a<b<0) ,使得当函数 f(x)的定义域为[a,b]时,其值域也恰好是[a, b], 则满足
2 2


2

即﹣3a +k=a 且﹣3b +k=b. 2 ∴方程 3t +t﹣k=0 有两个不等的负根 a,b



,∴

,即



故选 D. 点评:本题主要考查函数的定义域与值域的关系,考查方程根的讨论,解题的关键是将问题 转化为方程 3t +t﹣k=0 有两个不等的负根 a,b,利用根与系数之间的关系确定条件即可. 二、填空题(5×5 分=25 分) 2 2 11.“?a∈R,使函数 f(x)=x ﹣ax 是偶函数”的否定是?a∈R,使函数 f(x)=x ﹣ax 不是偶 函数. 考点:命题的否定. 专题:简易逻辑. 分析:直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 解答: 解:特称命题的否定是全称命题, 2 2 所以命题“?a∈R,使函数 f(x)=x ﹣ax 是偶函数”的否定是:?a∈R,使函数 f(x)=x ﹣ax 不是偶函数. 2 故答案为:?a∈R,使函数 f(x)=x ﹣ax 不是偶函数. 点评:本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.
2

12.集合 M={x||x ﹣2x|+a=0}有 8 个子集,则实数 a 的值为﹣1. 考点:函数的零点;子集与真子集. 专题:集合思想;函数的性质及应用. 2 分析:根据集合 M 有 8 个子集,可以判断出集合 M 中共有 3 个元素,即|x ﹣2x|+a=0 有 3 2 个根,转化为 y=|x ﹣2x|与 y=﹣a 的图象有三个交点,画出图象即可解得 a 的值. 2 n 解答: 解:∵集合 M={x||x ﹣2x|+a=0}有 8 个子集,根据集合中有 n 个元素,则集合有 2 个子集, n ∴2 =8,解得,n=3, 2 2 ∴集合 M={x||x ﹣2x|+a=0}中有 3 个元素,即|x ﹣2x|+a=0 有 3 个根, 2 ∴函数 y=|x ﹣2x|与 y=﹣a 的图象有三个交点, 2 作出 y=|x ﹣2x|与 y=﹣a 的图象如右图所示, ∴实数 a 的值 a=﹣1. 故答案为:﹣1.

2

点评:本题考查了集合的子集个数以及函数的零点.如果集合中有 n 个元素,则集合有 2 个子集. 对于方程的根问题, 可以运用数形结合的思想转化为两个图象的交点的问题进行解 决.属于中档题. 13.若不等式 x +ax+1≥0 对于一切 x∈(0, )恒成立,则 a 的取值范围是 a≥﹣ .
2

n

考点:一元二次不等式的解法. 专题:计算题;压轴题. 分析:将参数 a 与变量 x 分离,将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题,这是解决恒成 立问题的常用解法. 解答: 解:x +ax+1≥0 对于一切 x∈(0, )成立,
2

?a≥

对于一切 x∈(0, )成立,

?a≥﹣x﹣ 对于一切 x∈(0, )成立, ∵y=﹣x﹣ 在区间(0, 〕上是增函数

∴﹣x﹣ < ﹣2=﹣ , ∴a≥﹣ . 故答案为:a≥﹣ 点评:本题以不等式恒成立为平台,考查学生会求一元二次不等式的解集.要求学生掌握不 等式恒成立时所取的条件. 14.已知函数 f(x)=lnx+2 ,若 f(x ﹣4)<2,则实数 x 的取值范围(﹣ ) . 考点:函数单调性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析: 解法一: 不等式即 ln (x ﹣4) +
t 2 x 2

,﹣2)∪(2,

<2, 令 t=x ﹣4>0, 不等式即 lnt+2 <2 ①. 令
2

2

t

h(t)=lnt+2 ,由函数 h(t)的单调性可得 x ﹣4<1,从而求得 x 的范围. x 解法二:根据函数 f(x)=lnx+2 在定义域(0,+∞)上式增函数,f(1)=2,由不等式可 2 得 x ﹣4<1,从而求得 x 的范围. 解答: 解:解法 一:∵函数 f(x)=lnx+2 ,∴f(x ﹣4)=ln(x ﹣4)+ ∴不等式即 ln(x ﹣4)+
2 t 2 x 2 2



<2.

令 t=x ﹣4>0,不等式即 lnt+2 <2 ①. t 令 h(t)=lnt+2 ,显然函数 h(t)在(0,+∞)上是增函数,且 h(1)=2, 2 2 ∴由不等式①可得 t<1,即 x ﹣4<1,即 x <5. 由 解得﹣ <x<﹣2,或 2<x< ,

故答案为: (﹣ ,﹣2)∪(2, ) . x 解法二:由于函数 f(x)=lnx+2 ,∴f(1)=2, x 2 2 再根据函数 f(x)=lnx+2 在定义域(0,+∞)上式增函数,∴由 f(x ﹣4)<2 可得 x ﹣4 <1, 求得﹣ <x<﹣2,或 2<x< , 故答案为: (﹣ ,﹣2)∪(2, ) . 点评:本题主要考查函数的单调性的应用,体现了转化的数学思想,属于基础题. 15. 函数 f (x) 对于任意实数 x 满足条件 f (x+2) = , 若f (1) =﹣5, 则 f[f (5) ]= .

考点:函数的周期性. 专题:计算题;压轴题.

分析:由已知中函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)=

,我们可确定函数

f(x)是以 4 为周期的周期函数,进而根据周期函数的性质,从内到外依次去掉括号,即可 得到答案. 解答: 解:∵函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)= ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]= = =f(x) , ,

即函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∵f(1)=﹣5 ∴f[f(5)]=f[f(1)]=f(﹣5)=f(3)= 故答案为: 点评:本题考查的知识点是函数的周期性,函数的值,其中根据已知中函数 f(x)对于任 意实数 x 满足条件 f(x+2)= 答本题的关键. 三、解答题 16.已知函数 f(x)=2(log2x) ﹣2a(log2x)+b,当 x= 时有最小值﹣8, (1)求 a,b 的值; (2)当 x∈[ ,8]时,求 f(x)的最值.
2

=

,判断出函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数,是解

考点:函数的最值及其几何意义. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)利用换元法将函数转化为一元二次函数,利用一元二次函数的性质建立条件关系 即可求 a,b 的值; (2)求出当 x∈[ ,8]时,t 的取值范围,根据一元二次函数的单调性的性质即可求 f(x) 的最值. 2 解答: 解: (I)令 t=log2x,则 t∈R,得 y=2t ﹣2at+b, 当 x= 时有最小值﹣8,即此时 t=log2 =﹣1, 当 t= 时,函数有最小值,解得 a=﹣2, =b﹣2=﹣8,

此时函数的最小值为 b﹣

解得 b=﹣6,即 a=﹣2,b=﹣6. (II)∵x∈[ ,8]时,t=log2x∈[﹣2,3],

∴当 t=﹣1 时,函数 f(x)取得最小值为﹣8, 当 t=3 时,函数 f(x)取得最大值为 24. 点评:本题主要考查复合函数单调性和最值的求解,利用换元法,结合一元二次函数的单调 性的性质是解决本题的关键. 17.已知定义在 R 上函数 f(x)= (Ⅰ)求 a+b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的值域. 考点:函数奇偶性的判断;函数的值域. 专题:函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)根据函数是奇函数,建立方程关系即可求 a+b 的值; (Ⅱ)利用判别式法,将函数转化为一元二次方程,可求函数 f(x)的值域. 解答: 解: (Ⅰ)由 f(x)为 R 上的奇函数,知 f(0)=0,f(﹣1)=﹣f(1) , 即 f(0)=b=0, 由此解得 a=0,b=0,故 a+b=0. (Ⅱ)f(x)= ,设 y= ,则等价为方程 yx ﹣x+y=0 有根,
2

为奇函数.



当 y=0 时,根为 x=0 符合; 2 当 y≠0 时,则△ =1﹣4y ≥0, 于是 综上 ≤y≤ 且 y≠0; ≤y≤ , , ].

综上,值域为[

点评:本题主要考查函数奇偶性的应用,以及函数值域的求解,利用判别式法是解决本题的 关键和技巧. 18.已知函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象关于 y 轴对称,且 f(x)=2x +4x﹣2. (Ⅰ)求函数 y=g(x)的解析式; (Ⅱ)当 时,解不等式 .
2

考点:其他不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)设 y=g(x)图象上任意一点 P(x,y) ,根据函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象 关于 y 轴对称,则求出 P 关于 y 轴的对称点 P′,代入 f( (x)即可得函数 y=g(x)的解析式; (Ⅱ)将不等式“移项,通分”,然后化简等价转化为(x﹣1) (x+1) (k(x+1)﹣1)>0, 根据 k 的正负和根的大小进行分类讨论,分别求解不等式,即可得到但. 解答: 解: (Ⅰ)设函数 y=g(x)图象上任意一点 P(x,y) , ∴点 P(x,y)关于 y 轴对称点为 P′(﹣x,y) ,

∵函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象关于 y 轴对称, ∴P′(﹣x,y)一定在函数 y=f(x)图象上, 又∵f(x)=2x +4x﹣2, 2 2 则代入 y=2x +4x﹣2,可得 y=2x ﹣4x﹣2, 2 故函数 y=g(x)的解析式为 g(x)=2x ﹣4x﹣2; 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=2x +4x﹣2,g(x)=2x ﹣4x﹣2, ∴不等式 整理可得,不等式即为 ,
2

即等价于(x﹣1) (x+1) (k(x+1)﹣1)>0, 2 ①当 k=0 时,不等式即为(x﹣1) <0,解得 x∈(﹣1,1) ; ②当 时,不等式即为 ; ③当 k<0 时,不等式即为 . 综合①②③,可得当 k=0 时,解集为(﹣1,1) , 当 时,解集为 . , ,解得 ,解得

当 k<0 时,解集为

点评:本题考查了函数解析式的求解,分式不等式的解法,高次不等式的解法.本题解题的 关键是如何进行合理的分类讨论.对于分式不等式,一般是“移项,通分”,将分式不等式转 化为各个因式的正负问题.高次不等式一般选用“穿根法”进行求解,“穿根法”要注意先确定 各因式的根,在数轴上按照从小到大标出来,确定各因式的系数为正值,根据“奇穿偶不穿” 的原则,即可得到不等式的解集.属于中档题. 19.已知 p:关于 x 的方程 2 +m﹣1=0 有实数解;q:函数 f(x)=|x﹣m|+1 在(﹣∞,2) 上为减函数.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围. 考点:复合命题的真假. 专题:探究型. 分析:先求出命题 p,q 为真时的等价条件,然后利用 p 或 q 为真,p 且 q 为假,确定实数 m 的取值范围. x x 解答: 解:若关于 x 的方程 2 +m﹣1=0 有实数解,则 2 =1﹣m>0,解得 m<1,即 p:m <1. 若函数 f(x)=|x﹣m|+1 在(﹣∞,2)上为减函数.则 m≥2,即 q:m≥2. 若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,则 p,q 一真一假. ①若 p 真,q 假,则 m<1. ②若 p 假,q 真,则 m≥2. 综上:m<1 或 m≥2.
x

点评:本题主要考查复合命题真假关系的应用,综合性性较强. 20.设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件: ①当 x∈R 时,f(x)的最小值为 0,且 f(x﹣1)=f(﹣x﹣1)恒成立; ②当 x∈(0,5)时,x≤f(x)≤2|x﹣1|+1 恒成立. (I)求 f(1)的值; (Ⅱ)求 f(x)的解析式; (Ⅲ)求最大的实数 m(m>1) ,使得存在实数 t,只要当 x∈[1,m]时,就有 f(x+t)≤x 成 立. 考点:函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法;二次函数的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)由当 x∈(0,5)时,都有 x≤f(x)≤2|x﹣1|+1 恒成立可得 f(1)=1; 2 (2)由 f(﹣1+x)=f(﹣1﹣x)可得二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为 x=﹣1,于是 b=2a,再由 f(x)min=f(﹣1)=0,可得 c=a,从而可求得函数 f(x)的解析 式; (3)可由 f(1+t)≤1,求得:﹣4≤t≤0,再利用平移的知识求得最大的实数 m. 解答: 解: (1)∵x∈(0,5)时,都有 x≤f(x)≤2|x﹣1|+1 恒成立, ∴1≤f(1)≤2|1﹣1|+1=1, ∴f(1)=1; (2)∵f(﹣1+x)=f(﹣1﹣x) , 2 ∴f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为 x=﹣1, ∴﹣ =﹣1,b=2a.
2 2

∵当 x∈R 时,函数的最小值为 0, ∴a>0,f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为 x=﹣1, ∴f(x)min=f(﹣1)=0, ∴a=c. 2 ∴f(x)=ax +2ax+a.又 f(1)=1, ∴a=c= ,b= . ∴f(x)= x + x+ = (x+1) . (3)∵当 x∈[1,m]时,就有 f(x+t)≤x 成立, ∴f(1+t)≤1,即 (1+t+1) ≤1,解得:﹣4≤t≤0. 而 y=f(x+t)=f[x﹣(﹣t)]是函数 y=f(x)向右平移(﹣t)个单位得到的, 显然,f(x)向右平移的越多,直线 y=x 与二次曲线 y=f(x+t)的右交点的横坐标越大, ∴当 t=﹣4,﹣t=4 时直线 y=x 与二次曲线 y=f(x+t)的右交点的横坐标最大. ∴ (m+1﹣4) ≤m, ∴1≤m≤9, ∴mmax=9.
2 2 2 2

点评:本题考查二次函数的性质,难点在于(3)中 m 的确定,着重考查二次函数的性质与 函数图象的平移,属于难题. 21.已知函数 f(x)=(ax +x﹣1)e ,其中 e 是自然对数的底数,a∈R. (1)若 a=1,求曲线 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若 a<0,求 f(x)的单调区间; (3)若 a=﹣1,函数 f(x)的图象与函数 g(x)= x + x +m 的图象有 3 个不同的交点, 求实数 m 的取值范围. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;根的存在性及根的个数判断. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)把 a=1 代入,可求得 f(1)=e,f′(1)=4e,由点斜式可得方程; (2)求导数, 分 a= , , <a<0,三种情况讨论; (3)原问题等价于 f(x)﹣g(x)的图
2 x 3 2 3 2 2 x

象与 x 轴有 3 个不同的交点,即 y=m 与 y=(﹣x +x﹣1)e ﹣ x ﹣ x 的图象有 3 个不同 的交点,构造函数 F(x)=(﹣x +x﹣1)e ﹣ x ﹣ x ,求导数可得极值点,数形结合可 得答案. 解答: 解:∵f(x)=(ax +x﹣1)e ,∴f′(x)=(2ax+1)e +(ax +x﹣1)e =(ax +2ax+x) x e, (1)当 a=1 时,f(1)=e,f′(1)=4e,故切线方程为 y﹣e=4e(x﹣1) , 化为一般式可得 4ex﹣y﹣3e=0; (2)当 a<0 时,f′(x)=(ax +2ax+x)e =[x(ax+2a+1)]e , 若 a= 若 ,f′(x)=﹣ x e ≤0,函数 f(x)在 R 上单调递减, ,当 x∈(﹣∞,﹣2﹣ )和(0,+∞)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减,
2 x 2 x x 2 x x 2 x 2 2 x 3 2

当 x∈(﹣2﹣ ,0)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 若 <a<0,当 x∈(﹣∞,0)和(﹣2﹣ ,+∞)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减,

当 x∈(0,﹣2﹣ )时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; (3)若 a=﹣1,f(x)=(﹣x +x﹣1)e ,可得 f(x)﹣g(x)=(﹣x +x﹣1)e ﹣ x ﹣ x ﹣m, 原问题等价于 f(x)﹣g(x)的图象与 x 轴有 3 个不同的交点, 即 y=m 与 y=(﹣x +x﹣1)e ﹣ x ﹣ x 的图象有 3 个不同的交点, 构造函数 F(x)=(﹣x +x﹣1)e ﹣ x ﹣ x , 则 F′(x)=(﹣2x+1)e +(﹣x +x﹣1)e ﹣x ﹣x
x 2 x 2 2 x 3 2 2 x 3 2 2 x 2 x 3 2

=(﹣x ﹣x)e ﹣x ﹣x=﹣x(x+1) (e +1) ,令 F′(x)=0,可解得 x=0 或﹣1, 且当 x∈(﹣∞,﹣1)和(0,+∞)时,F′(x)<0,F(x)单调递减, 当 x∈(﹣1,0)时,F′(x)>0,F(x)单调递增, 故函数 F(x)在 x=﹣1 处取极小值 F(﹣1)= 要满足题意只需∈( 故实数 m 的取值范围为: ( ,﹣1)即可. ,﹣1) ,在 x=0 处取极大值 F(0)=﹣1,

2

x

2

x

点评:本题考查函数与导数的综合应用,涉及根的个数的判断,属中档题.


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