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一个自然数阵的若干性质


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性 证 
质 明 

岫  
事 实上 , 该 不等式 可 推广 到 k元 :   定 理  若 3 2 l , 3 2 2 , …, 3 2   ∈R+, k ∈N, n ,   ∈R+,  

鲫  
腻  
k 

>
西北师范大学数 学与信息科学学 院  苏克 义 

≥2 , 且 ∑   一1 , 则  左  边 


文[ 1 ] 提 出的数 阵 { a  } ( i , J ∈N  ) 是一个无 限 自  
然数 阵 , 其 中 


+ 




“ ?

( 1 一  ! )  
。  

+ 

k  

a q 一专[ (   + 歹 )   一3 i - j +2 ] .  
本文 给 出它 的若 干性 质.   性质 1   若  — n ≥1 , 则 a …,   +a  
+口  +   一2 a   , +n   .  
, ,

一  ‘   ①  多  二T

② 

i l l ! 明: 由 幂 半 均 不 等 式 得 
一 a 

+ 

+ . . . +  ≥ 尼 (   }垫 
:  

证明: 由① 可得 
a l ~   + "  : a 1 . 厂   n +a Ⅵ_ - " : 2 a  十 n 。 一 i 。 +  +  ~3 i ~ + 2 +  .  

是  

从 而 l ( 1 一  ) + 2 ( 1 ~  ) + 。 ( 1 一 ; ) + … 
+   ( 1 ~  ) 一1 -( z   + !   + … +  ≤1 ~  1 ≥  )
. ?
. 

从而 性质 1 得 证.  

?

?



~ 1 ~ ) +  ( 1 一  ) +…+  ( 1 ~  ) +  ( 1 ~  ) ]   专[ (   +   ) 。 一3 i 一   +2 +( i +歹 +2 n )   一3 ( 1 ’   ≥  (
--


(   一   ) [  
'  ̄ 2 ( 1 ~ 

+   ( 1 ~ 霸 )   + … +  整 , ( 1 一  ]   ) j  
+  

~  





n : ) 一( j -  ̄ - n ) +2 ] 一2 [ ( i q - j +n ) 。 一3 i -( 歹 +n ) 42  


( 1 ~ 麓 )   + . . . +  

磷 

]  

+(   + + n ) 。 ~3 (   + ) 一 + 2 ]  
1  


≥(   +  +…+   ) 。 ( 应用柯西不 等式)  

寺L (   +   ) 。 - 4 -   ( i T j m2 n ) 2  2 ( i + j q - n ) 。 ]  

. 

: 3 2 1   T 。 Z 2   T   " ' "  ̄ 。 - J 2 k )   一 吉.  
+   x 二 i "   = + … 

性质 3   设   ∈ N, 记 M 一。  + &  

, . . ..  

+ 口   , ,  

+“   +  . .   , 贝 U 有 

( i ) 若 n为 偶数 , 则 M 为偶数 ;   ( i i ) 若 n为奇 数 , 则 M 为奇 数 .   证明: ( i ) 若 n为偶 数 , 设n -2 r n, mEN, 则 
M -a i j + “   一   +  +     ;   ,   +   , J +盘 -a i # +n   , J   J _ 2 卅 +以   + 2 m +以   + 2 聊 ,   十 2  
,  

+ 

;   ’ ’  


函  C — O S —  ̄ X+面蒜   拘  小 值 


2 i   + 2 歹 。+ 4  一6 i ~ 2i- 4 4+ 1 2   。+ 8 mi   +8  歹 一8 m.  
- -

’  

福建 省泉 州 市春县 科 委  孙 建斌 





定 理   设 n , 6 ∈ R + ,   , n E N , x E ( o , 号 ) , 则 当 且  

显 然 M 为偶 数 . 类似 证 ( i i ) .  
参 考 文 献 

l 苏克义. 完 全 数 和 一 个 自然 数 阵 [ J ] . 中学数 学 教学 参考

仅  a r c t a n   丽  : = = 熹+  有 最  
,  

小值 ( 口   +6   )   .   分 析: 由   一   + _  , 知 l一 — 
S i l l   Yc os   z 


令 分 
安徽省枞阳县浮 山中学

羲  推 
+_  
Y si nm  

c os  , 3 2  

又 ] -C O S  ̄ 3 : +s  z  

. 

唐录义  


证 明: 构 造数 字式 2 m + ”一 2 m .1 + 


.1  

李 铁 峰老 师 在《 数 学通 报 》 2 O 0 4年 第 2期 上 发 表  了不 等式 : 若  , Y , 2 ∈R +, 且  + + : = = l , n ∈N, 则 
= :

2   ( 、 y — c   o s   + y — s 兰 ; n } m z )+ /    (   。 S 2 z+s 一 i n … 2     )  
2 m 


a 


2 4   3

- 一 一 ( 1 ~ 

)  

T  两 y 4 +  
( 1 —2   )  

( 1 一;   ) 夕  再  

≥ 

‘   ① 
.  





n Z + n 。 。 S 2   ) + ( 2 m   。 . b q_nsi )  
。   … 


( 下转第 5 8页)  


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