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2高三数学专题复习(三角函数、解三角形、平面向量)


专题二

三角函数、解三角形、平 面向量

第5讲 第6讲 第7讲

三角函数的图像与性质 三角恒等变换与解三角形 平面向量

核 心 知 识 聚 焦 考 点 考 向 探 究

第5讲 三角函数的图像与性 质

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第5讲

三角函数的图像与性质

核 心 知 识 聚 焦

体验高考 1.[2013· 广东卷改编] 已知sin ?5π ? 1 ① ? ? = ,那么 cos α = + α ? 2 ? 5 ? ? ________.
1 [答案] 5
[解析] 1 cos α =5.

主干知识
? 任意角的 三角函数 关键词:定 义、单位圆、诱导 公式如①、象限 角.

?5π sin ? ? 2 ?

? ?π ? ? +α? =sin ? 2 ? ?

? ? +α ? = ?

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第5讲

三角函数的图像与性质

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
已知α
? 同角三角 函数关系 关键词:平方 关系如②、商数关 系.

2.[2013· 全国卷改编] 是第二象限角,sin cos α =________.


5 α = 13 ,则

12 [答案] - 13

[解析] cos α =- 1-sin2α 12 =-13.

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第5讲

三角函数的图像与性质

核 心 知 识 聚 焦

体验高考 3 . [2014· 浙江卷改编 ] 为了得 到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像, 可以将函数 y = 2cos 3x 的图像 ③ 向 平行移动 ________ 个 单位长度. π [答案] 右 12
? π ? cos?3x- 4 ? ? ? ?= ?

主干知识
? 三角函数 的图像 关键词:图像 特征如④、图像变 换如③.

[ 解 析 ] y = sin 3x + cos 3x = 2

π 2cos3x-12,故将函数 π y= 2cos 3x 的图像向右平移12个单位 可以得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图 像.
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第5讲

三角函数的图像与性质

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

4 . [2014· 江苏卷 ] 已知函数 y = cos x 与 y = sin(2x + π φ)(0≤φ<π ),它们的图像有一个横坐标为 3 的 交点④ ,则 φ 的值是________. π [答案] 6 ? ? π π ? [解析] 将 x= 3 分别代入两个函数, 得到 sin?2× +φ? ?= 3 ? ? π 5π 1 2 2 , 解得 π +φ= +2kπ (k∈Z)或 π +φ= +2kπ (k∈Z), 2 3 6 3 6 π π 化简解得 φ =- 2 + 2k π (k∈Z) 或 φ = 6 + 2k π (k∈Z) .又 π φ∈[0,π ),故 φ= 6 .
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第5讲

三角函数的图像与性质

核 心 知 识 聚 焦

体验高考 5. [2014· 陕西卷改编] 函数 f(x) ? π? ⑤ ? = cos ?2x+ ? 的 最小正周期 是 4? ? ? ________.

主干知识
? 三角函数 的性质 关键词:单调 性如⑥、对称性、 周期性如⑤、 最值、 奇偶性.

[答案] π

2π [解析] T= =π . 2

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第5讲

三角函数的图像与性质

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

6 . [2014· 四川卷改编] 函数 单调递增区间 为________.


? π ? f(x) = sin ?3x+ 4 ?

? ? ?的 ?

2kπ π 2kπ ? ? [答案] ,k∈Z + , + 3 12 3 ? ? π π π [解析] 由- +2kπ ≤3x+ ≤ +2kπ ,k∈Z,得 2 4 2 π 2k π π 2kπ - + ≤x≤ + ,k∈Z, 4 3 12 3 所 以 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 ? π 2k π π 2 k π ? ? ? - + , + ? ?,k∈Z. 4 3 12 3 ? ?
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? π ? ?- 4 ?

第5讲

三角函数的图像与性质

—— 教师知识必备 ——
知识必备 三角函数
定义 基本 问题 三 角 函 数 三角函 数的性 质与图 像 y=sin x (x∈R) [-1,1] y 任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y)时,sin α=y,cos α=x,tan α=x

同角三角 sin α sin2α+cos2α=1,cos α=tan α 函数关系 诱导 公式 360° ± α,180° ± α,-α,90° ± α,270° ± α,“奇变偶不变,符号看象限” 值域 周期
? ? ? ?

单调区间

奇偶性 对称中心

对称轴

增区间 ? π π -2+2kπ,2+2kπ? ?, ? π 2kπ, (kπ,0), x=kπ+ , k∈Z; 2 奇函数 k∈Z 减区间 k∈Z k∈Z ?π ? 3π ? ? , ? +2kπ, 2 +2kπ? ?2 ? k∈Z

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第5讲

三角函数的图像与性质

—— 教师知识必备 ——
三角 函数 的性 y=tan x ? ? π ? 图像 ? ?x≠kπ+2,k∈Z? ? ? 质与 三 角 函 数 图像 变换 伸缩变换 平移变换 R 上下 平移 左右 平移 x 轴方 向 y 轴方 向 中心对 称 kπ k∈ Z 增区间 y=cos x (x∈R) [-1, 1] 2k π k∈ Z
?-π+2kπ,2kπ? k∈Z; 偶函 ? ?, ?2kπ,2kπ+π? 数 减区间? ?, ? ? π ? ? ?kπ+2,0? ? ?

k∈ Z 增区间 奇函 ? ? π π ? ? k∈ Z 数 ?-2+kπ,2+kπ?, ? ?

k∈ Z
?kπ ? ? ? , 0 ?2 ? ? ?

x=kπ k∈ Z



k∈ Z

y=f(x)的图像平移|k|得 y=f(x)+k 的图像,k>0 向上平移,k<0 向下平移 y=f(x)的图像平移|φ|得 y=f(x+φ)的图像,φ>0 向左平移,φ<0 向右平移 y=f(x)的图像上各点横坐标变为原来的 ω 倍得
?1 ? ? y=f? ?ωx?的图像 ? ?

y=f(x)的图像上各点纵坐标变为原来的 A 倍得 y=Af(x)的图像 y=f(x)的图像关于点(a,b)对称的图像的解析式是 y=2b-f(2a -x )

对称变换

轴对称 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称的图像的解析式是 y=f(2a-x)

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第5讲

三角函数的图像与性质

?考点一 三角函数的化简与求值 三角函数的概念 ——1.三角函数的概念;2.概念的应用 ——1.由一函数值求其他函数值; 2.确定 角的范围 ——1.化简;2.符号判断;3.求三角函数 值;4,求角 分值:5 分 热点:求值

同角三角函数基 本关系式
考 点 考 向 探 究

诱导公式

题型:选择,填空 难度:基础

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第5讲

三角函数的图像与性质

考 点 考 向 探 究

(1)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正 2 5 半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上的一点,且 sin θ=- , 5 则 y=________. ?3π ? sin θ+cos θ (2) 若 = 2 , 则 sin(θ - 5π)sin ? 2 -θ? = sin θ-cos θ ? ? ________. 例1

[答案] (1)-8

3 (2) 10

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第5讲

三角函数的图像与性质

考 点 考 向 探 究

[解析] (1)由题意可知, 点 P 到原点的距离 r= 16+y2. 2 5 因为 sin θ=- 5 , 2 5 y 所以 2=- 5 ,解得 y=-8. 16+y sinθ+cosθ (2)由 =2 得 tanθ=3, sinθ-cosθ ?3π ? ?π ? 所 以 sin(θ - 5π)sin ? 2 -θ? = sin(π - θ)sin ?2-θ? = ? ? ? ? sinθcosθ tanθ 3 sinθcosθ= 2 = = . 2 2 10 sin θ+cos θ 1+tan θ

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第5讲

三角函数的图像与性质

[小结]三角函数的定义是求三角函数值的基础,同 角三角函数的基本关系式、诱导公式在三角函数的化 简与计算的过程中起着重要的作用,解题时不仅要合 理选取公式,还要注意角的范围.
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第5讲

三角函数的图像与性质

? π? 10 变式题 (1)已知 2sin x-cos x= 2 ,x∈?0,2?,则 ? ? tan x=________. 1 (2)若 sin(π+x)+cos(π+x)=2, 则 sin 2x=________.

考 点 考 向 探 究

[答案] (1)3

3 (2)- 4

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第5讲

三角函数的图像与性质

考 点 考 向 探 究

10 [解析] (1)由 2sin x-cos x= 得 cos x=2sin x- 2 10 6 2 2 2 将其代入 sin x+cos x=1 得 5sin x-2 10sin x+4= 2 , ? π? 3 10 10 0,结合 x∈?0,2?,解得 sin x= 10 ,cos x= 10 ,所以 ? ? tan x=3. 1 (2)sin(π+x)+cos(π+x)=-sin x-cos x= ,∴cos x 2 1 1 3 +sin x=-2,平方得 1+sin 2x=4,∴sin 2x=-4.

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第5讲

三角函数的图像与性质

? 图像

考点二

三角函数的图像

——1.图像的判断;2.图像的变换

解析式
考 点 考 向 探 究

——1.根据图像求解析式中的参数;2.根据图像变 换求解析式 分值:5 分 热点:图像与解析式

题型:选择,填空 难度:中等

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第5讲

三角函数的图像与性质
? π? π ? ? f(x)=sin 2x+6 的图像向右平移6个单 ? ?

例 2 (1)将函数

位长度,所得图像的一条对称轴是( π A.x=6 π C.x=3
考 点 考 向 探 究

) π B.x=4 π D.x=2 的部 )

(2)函数

? π? f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2? ? ?

分图像如图 51 所示,则函数 y=f(x)的解析式为(

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第5讲

三角函数的图像与性质

考 点 考 向 探 究

图 51
? π? A.f(x)=sin?x+6? ? ? ? π? C.f(x)=sin?2x-3? ? ? ? π? B.f(x)=sin?x+3? ? ? ? π? D.f(x)=sin?2x+6? ? ?

[答案] (1)C

(2)D
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第5讲

三角函数的图像与性质

[解析] (1)将函数 f(x)的图像向右平移6个单位长度,得到函
数 g(x)=sin
? ? π? π? π ?2?x- ?+ ?=sin2x- 的图像,当 6? 6? 6 ? ?

π

π x=3时,f(x)取最

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π 大值 1,故一条对称轴是 x=3. 3 11 π 3 (2)由图像知,A=1,4T=12π-6=4π,即 T=π,所以 2π ω= T =2,∴f(x)=sin(2x+φ). ?π ? ?π ? π ? ? ? ? , 1 + φ 又 f(x)的图像过点 6 ,∴1=sin 3 ,解得 φ=2kπ+6, ? ? ? ? ? π? π π ? k∈Z,又∵|φ|<2,∴φ=6,故 f(x)的解析式为 f(x)=sin 2x+6?. ? ?

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第5讲

三角函数的图像与性质

[小结] 根据三角函数图像求函数的解析式,主要考 虑两点:一是根据函数图像得出函数的最小正周期,求 出ω的值;二是根据函数图像上特殊点的坐标,得出三 角函数的关系式,求出 φ 值.
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第5讲

三角函数的图像与性质

变式题 (1)若
?2π? f? 3 ?=( ? ?

?π ? f(x) =tan(2x +φ)的图像过点?6,1?,则 ? ?

)

考 点 考 向 探 究

B.0 C.2 D.1 ?π ? 5π (2)已知直线 x=12和点?6,0?恰好是函数 f(x)= ? ? 2sin(ωx+φ)的图像上相邻的对称轴和对称中心,则函数 f(x)的解析式可以是( ) ? ? π? π? A.f(x)= 2sin?2x-6? B.f(x)= 2sin?2x-3? ? ? ? ? ? ? π? π? C.f(x)= 2sin?4x+3? D.f(x)= 2sin?4x+6? ? ? ? ?

A.-1

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第5讲

三角函数的图像与性质

[答案] (1)D

(2)B

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1 5 π π 2π (2)由题意可知4T=12π-6=4, 所以 T=π, 所以 ω= T = ?π ? ? π ? +φ?=0,解得 2,又该函数图像过点?6,0?,于是有 2sin?2× 6 ? ? ? ? π φ=-3+kπ(k∈Z),故选 B.

?π ? [解析] (1)由已知得,tan?3+φ?=1, ? ? ?2π? ? 2 ? ? ? ?π ? π π+φ?=tan?π+ +φ?=tan? +φ?=1. 所以 f? 3 ?=tan?2× 3 ? ? ? 3 ? ? ? ?3 ?

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第5讲

三角函数的图像与性质

考点三 三角函数的性质 性质 ——1.单调性;2.对称性;2.奇偶性;3.周期性; 4.最值 题型:选择,填空,解答 分值:5-10 分 难度:中等 热点:单调性、周期性与最值
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?

例 3 (1)已知函数 f(x)=sin(2x+φ), φ∈(0, 2π], 其中 f(x) ? ?π?? ?π? ≤?f?6??对 x∈R 恒成立,且 f?2?<f(π),则 f(x)的单调递增区间 ? ? ? ? ?? 是( ) ? ? π 2π? π? A.?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z) B.?kπ,kπ+2?(k∈Z) ? ? ? ? ? ? ? π π? π ? ? C.?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z) D.?kπ-2,kπ?(k∈Z) 3 6? ? ? ?
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第5讲

三角函数的图像与性质

(2)[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 在函数①y = cos|2x| ,②y = ? ? π? π? |cos x|,③y=cos?2x+6?,④y=tan?2x-4?中,最小正周期为 ? ? ? ? π 的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③
考 点 考 向 探 究

[答案] (1)C
[解析] (1) 由 又由

(2)A
? ?π?? ?π? f(x)≤?f?6??得 f?6?=± 1,即 ? ? ? ? ?? ? π? sin?φ+3?=± 1①. ? ?

? π? π 因为 φ∈(0,2π],由①②可得 φ= ,所以 f(x)=sin?2x+6?. 6 ? ?
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?π? f?2?<f(π),得 ? ?

sin(π+φ)<sin(2π+φ),即 2sinφ>0②,

第5讲

三角函数的图像与性质

考 点 考 向 探 究

π π π π π 由- 2 + 2kπ≤2x + 6 ≤ 2 + 2kπ(k∈Z) ,得- 3 + kπ≤x≤ 6 + ? π π? kπ(k∈Z),故 f(x)的增区间为?kπ-3,kπ+6?(k∈Z). ? ? (2)函数 y=cos|2x|=cos 2x,其最小正周期为 π,①正确; 函数 y=cos x 位于 x 轴上方的图像不变,将位于 x 轴下方的 图像对称地翻转至 x 轴上方,即可得到 y=|cos x|的图像,所 ? π? 以其最小正周期也为 π,②正确;函数 y=cos?2x+6?的最小 ? ? ? π? π ? ? 正周期为 π,③正确;函数 y=tan 2x-4 的最小正周期为2, ? ? ④不正确.

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第5讲

三角函数的图像与性质

[小结]三角函数的性质主要是单调性、周期性和奇偶 性,要明白以下两点:一是涉及函数 y=Asin(ωx+φ)的性 质时,一般利用函数 y=sin x 的性质,即把 ωx+φ 看成一 个整体 x 处理,但是一定要 ω>0,否则易出错;二是一定 要结合图像分析处理.
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第5讲

三角函数的图像与性质

sin(x+π) 变式题(1)已知函数 f(x)= ,则下列结论中 cos(π-x) 正确的是( ) A.f(x)的最小正周期是 2π B.f(x)在区间[4,5]上单调递增 π C.f(x)的图像关于直线 x= 对称 2 ?3π ? D.f(x)的图像关于点? 2 ,0?对称 ? ?

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第5讲

三角函数的图像与性质
? π? 3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)?|φ|<2?,且其 ? ?

(2)设函数 f(x)=

图像关于直线 x=0 对称,则(

)

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? π? A.y=f(x)的最小正周期为 π,且在区间?0,2?上为增函数 ? ? ? π? π B.y=f(x)的最小正周期为 ,且在区间?0,4?上为增函数 2 ? ? ? π? C.y=f(x)的最小正周期为 π,且在区间?0,2?上为减函数 ? ? ? π? π D.y=f(x)的最小正周期为2,且在区间?0,4?上为减函数 ? ?

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第5讲

三角函数的图像与性质

[答案] (1)D

(2)C

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sin(x+π) -sin x [解析] (1)f(x)= = =tan x,故选 D. cos(π-x) -cos x ? π? (2)f(x)= 3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin?2x+φ+6?. ? ? ∵其函数图像关于直线 x=0 对称, ∴函数 f(x)为偶函数, π π 又|φ|< ,∴φ= ,∴f(x)=2cos 2x,故选 C. 2 3

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第5讲

三角函数的图像与性质

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? 考点四 三角函数图像与性质的综合应用 图像与性质 ——1.根据图像得性质;2.根据图像与性质求 解析式;3.求角;4.求最值 题型:选择,填空,解答 分值:5-10 分 难度:中等 热点:图像与性质的综合 ωx 例 4 函数 f(x)=6cos2 2 + 3sin ωx-3???ω>0??? 在一个周期内的图像如图 52 所示, A 为图 像的最高点,B,C 为图像与 x 轴的交点, 且△ABC 为正三角形. (1)求函数 f???x???的解析式; (2) 求函数 f ???x??? 的单调递增区间和对称 中心.
图 52
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第5讲

三角函数的图像与性质
? π? 3sin?ωx+3?. ? ?

解:(1)f x =3cos ωx+ 3sin ωx=2

? ? ? ? ? ?

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又△ABC 为正三角形,且高为 2 3,则 BC=4.所以函数 ?π π? 2π π f(x)的最小正周期为 8, 即 ω =8, ω=4, 故 f(x)=2 3sin?4x+3?. ? ? π π π π (2) 由 2kπ-2≤4x+3≤2kπ+2,k∈Z, 10 2 得 8k- 3 ≤x≤8k+3,k∈Z, ? 10 2? ? 所以函数 f(x)的单调递增区间为 8k- 3 ,8k+3?,k∈Z. ? ? π π 4 由4x+3=kπ,k∈Z,得 x=4k-3,k∈Z, ? ? 4 所以函数 f(x)的对称中心为?4k-3,0?,k∈Z. ? ?
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第5讲

三角函数的图像与性质

[小结]三角函数的综合应用常表现为依据解析式 y= Asin(ωx+φ),研究该函数的周期、单调区间及最值等.

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第5讲

三角函数的图像与性质

变式题 y=Asin

如图 53 所示,点

? A? P?0, 2 ?是函数 ? ?

?2π ? ? x+φ?(其中 ?3 ?

A>0,φ∈[0,π))的图像与 y 轴的

交点,点 Q,点 R 是它与 x 轴的两个交点.
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图 53 (1)求 φ 的值; (2)若 PQ⊥PR,求 A 的值.
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第5讲

三角函数的图像与性质

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1 解:(1)∵函数图像经过点 φ=2. π 又∵φ∈[0,π),且点 P 在递增区间上,∴φ=6. ?2π π? (2)由(1)可知 y=Asin? 3 x+6?. ? ? ?2π π? 令 y=0,得 Asin? 3 x+6?=0, ? ? 2π π 3 1 ∴ 3 x+6=kπ,k∈Z,解得 x=2k-4,k∈Z. 3 又由图像可知,xR-xQ=2,且 xR>0,xQ<0, 5 1 ∴xR=4,xQ=-4,

? A? P?0, 2 ?,∴sin ? ?

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第5讲

三角函数的图像与性质

? 1 ? ?5 ? ∴Q?-4,0?,R?4,0?, ? ? ? ? ? ? 1 A? A? → ?5 A? → ∵P?0, 2 ?,∴PQ=?-4,- 2 ?,PR=?4,- 2 ?, ? ? ? ? ? ?

→ ·PR → =- 5 +1A2=0,又 A>0,解 ∵PQ⊥PR,∴PQ 16 4
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5 得 A= 2 .

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第5讲

三角函数的图像与性质

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 灵活考查三角函数的定义,定义与三 角函数性质充分结合;例 2 综合考查对三角函数图像的认 识以及图像变换;例 3 综合考查三角函数的周期性、对称 性、单调性;例 4 涉及三角函数的图像与性质、正余弦定 理、解三角形,是一道综合性试题. 例 1. [配例 1 使用] 已知 A(xA,yA)是单位圆(圆心在坐标 原点 O)上任意一点,将射线 OA 绕 O 点逆时针旋转 30°到 OB,交单位圆于点 B(xB,yB),则 xA-yB 的最大值为( ) 3 1 A. 2 B. 2 C.1 D.2

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第5讲

三角函数的图像与性质

[答案] C
[解析]设∠xOA=α,根据三角函数定义 xA=cos α,yB= sin(α+30° ), 3 1 所以 xA-yB=cos α-sin(α+30° )=- sin α+ cos α= 2 2 sin(α+150° ),故其最大值为 1.

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三角函数的图像与性质

例 2. [配例 2 使用] 如图为函数 y=sin(ωx+φ) ? ? π 5π? π? ?ω>0,0<φ< ?在区间?- , ?上的图像, 将该图像向右 2? 6? ? ? 6 π 平移 m(m>0)个单位长度后,所得图像关于直线 x= 对称, 4 则 m 的最小值为( ) π π π π A.12 B.6 C.4 D.3

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三角函数的图像与性质

[答案] B
[解析] 由题意可知,函数 y=sin(ωx+φ)的解析式为 y
? ? π ?? =sin?2?x+6??,该函数图像向右平移 m 个单位长度后得到的 ?? ? ? ? ? π ?? ? 图像解析式为 y=sin?2 x-m+6??.如果该函数的图像关于直 ?? ? ? ?π π? π π π k ? 线 x= 对称,则 2 4-m+6?=kπ+ (k∈Z),所以 m= - 4 2 6 2 ? ?

π π(k∈Z).又 m>0,故当 k=0 时,m 最小,此时 m= . 6

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第5讲

三角函数的图像与性质

例 3. [配例 3 使用] 同时具有性质: ①最小正周期是 π, ? π π? π ②图像关于直线 x=3对称,③在区间?-6,3?上是增函数的 ? ? 一个函数是( )
? x π? A.y=sin?2+6? ? ? ? π? C.y=cos?2x+3? ? ? ? π? B.y=sin?2x-6? ? ? ? π? D.y=sin?2x+6? ? ?

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三角函数的图像与性质

[答案] B
[解析] 数 函数
? x π? y=sin?2+6?的最小周期为 ? ?

4π,故 A 错;函

? ? π? π 5π? ? ? ? y=cos 2x+3 的递增区间为 kπ+3,kπ+ 6 ?(k∈Z),故 ? ? ? ?

? π? π 1 π C 错;当 x=3时,函数 y=sin?2x+6?的值为2,即 x=3不 ? ? 是其对称轴,故 D 错.

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第5讲

三角函数的图像与性质

例 4. [配例 4 使用] 将函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, π 0 < φ < π) 的图像向右平移 个单位长度后得到 g(x) 的图 4 像.已知函数 g(x)的部分图像如图所示,该图像与 y 轴相交 于点 F(0,1),与 x 轴相交于点 P,Q,点 M 为最高点,且 π △MPQ 的面积为 . 2 (1) 求函数 g(x)的解析式; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边, 且 g(A)=1,a= 5,求△ABC 面积的最大值.

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第5讲

三角函数的图像与性质
? ? ? π? 解:(1)由题意可知,g(x)=2sin?ω?x-4?+φ?.

1 π T π 由于 S△MPQ=2× 2· |PQ|=2,则|PQ|= 2 =2,∴T=π,即 ω=2.
? π? π π π π π 2π ? 又 g(0)=2sin φ-2?=1, 且-2<φ-2<2, ∴φ-2=6, ∴φ= 3 , ? ? ? ? ? π? 2π? π? ? ? ? ? ? 即 g(x)=2sin 2 x-4 + 3 =2sin 2x+6?. ? ? ? ? ? ? ? π? π ?π 13π? ? ? (2)∵g(A)=2sin 2A+6 =1,2A+6∈?6, 6 ?, ? ? ? ?

? ?

?

?

π 5π π ∴2A+6= 6 ,∴A=3. π 由 a2=b2+c2-2bccos A,a= 5,A=3,得 5=b2+c2-bc, 即 bc≤5,当且仅当 b=c= 5时,等号成立, 1 5 3 5 3 ∴S△ABC=2bcsin A≤ 4 ,故 S△ABC 的最大值为 4 .
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第6讲 三角恒等变换与解三 角形

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第6讲

三角恒等变换与解三角形

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体验高考 1. [2014· 新课标全国卷Ⅱ]函数 f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x① 的最大值为________.

主干知识
? 两角和(差) 公式 关键词: sin(α± β)如①、 cos(α± β)、tan(α± β).

[答案] 1
[解析] f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x =sin xcos φ+cos xsin φ-2sin φcos x= sin xcos φ-cos xsin φ=sin(x-φ)≤1.

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三角恒等变换与解三角形

体验高考
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主干知识
?二倍角公式 关键词:sin2α 如③、cos2α如②、 tan 2α.

α 2.[2013· 江西卷改编]若sin 2 = 3 ② ,则 cos α = ________. 3
1 [答案] 3

α 1 [解析] cos α=1-2sin = . 2 3
2

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第6讲
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三角恒等变换与解三角形

体验高考 3.[2014· 新课标全国卷Ⅰ改编] sin 2α③ _______0.(填“>”或“<”)

若tanα>0,则

[答案] >

[解析] sin 2α=

2sin α cos α 2tan α = 2 2 2 >0. sin α+cos α 1+tan α

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三角恒等变换与解三角形

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

主干知识
? 解三角形 关键词:正弦 定理如⑤、余弦定 理如④、解三角 形,解三角形的实 际应用如⑥.

4.[2014· 北京卷改编] 在△ABC 1 中,a=1,b=2,cos C= ,则 c=④ 4 ________.
[答案] 2

[解析]由余弦定理得c2=a2+b2- 1 2abcosC=1+4-2× 2× 1×4 =4,即c= 2.

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三角恒等变换与解三角形

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体验高考 5.[2013· 湖南卷改编] 在锐角△ABC中,角A,B ⑤ 所对的边长分别为a,b.若2asin B= 3 b,则 角A 等于 ________.
π [答案] 3

[解析] 由正弦定理可得2sin Asin B= 3sin B.又 3 π sin B≠0,所以sin A= 2 .因为A为锐角,故A=3.

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三角恒等变换与解三角形

体验高考
核 心 知 识 聚 焦

6.[2014· 四川卷改编] 如图61所示,从气球A上测 得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75° ,30° ,此 ⑥ 时气球的高是60 m,则河流的 宽度BC 等于________.

图61
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三角恒等变换与解三角形

核 心 知 识 聚 焦

[答案] 120( 3-1) m
60 [解析] 由题意可知,AC=sin 30° =120. ∠BAC=75° -30° =45° ,∠ABC=180° -45° -30° = 105° ,所以sin∠ABC=sin105° =sin(60° +45° )=sin 60° cos 45° 6+ 2 +cos 60° sin 45° = 4 . AC BC 在△ABC中,由正弦定理得 = , sin∠ABC ∠BAC 2 120× 2 240 2 于是BC= = =120( 3-1)(m). 2+ 6 2+ 6 4
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三角恒等变换与解三角形

—— 教师知识必备 ——
知识必备 三角恒等变换、解三角形
和差角公式 正弦 sin(α± β)=sin acos β± cos αsin β 三 角 恒 等 变 换 正弦 定理 正切 定理 变形 类型 变换 公式 余弦 cos(α± β)=cos αcosβ?sin αsin β 2tan α sin 2α= 1+tan2α sin 2α=2sin αcos α 1-tan2α cos 2α= 2 1+tan2α cos 2α = cos α - sin2α = 2cos2α - 1 = sin2α=1-cos 2α 2 1-2sin2α 1+cos 2α 2 2tan α cos α = tan 2α= 2 1-tan2α 倍角公式

tan α± tan β tan(α± β)= 1?tan αtan β a b c = = sin A sin B sin C=2R(R 为△ABC 外接圆半经)

射影定理: a=bcos C+ccos B a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C(R 为△ABC 外接圆半径) b=acos C+ccos A c=acos B+bcos A 三角形两边和一边对角、三角形两角与一边

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第6讲

三角恒等变换与解三角形

—— 教师知识必备 ——
2 2 2 2 2 2 2 2 2 余 定理 a =b +c -2bccos A,b =a +c -2accos B,c =a +b -2abcos C 弦 b2+c2-a2 (b+c)2-a2 变形 cos A= -1 等 2ab = 2bc 定 理 类型 两边及一角(一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程)、三边 1 1 1 1 1 1 面 基本 S= a· h h h a= b· b= c· c= absin C= bcsin A= acsin B(ha,hb ,hc 分别为边 2 2 2 2 2 2 积 公式 BC,AC,AB 上的高) 公 导出 abc 1 S= 4R (R 为三角形外接圆半径);S=2(a+b+c)r(r 为三角形内切圆半径) 式 公式 基本 把要求解的量归入到可解三角形中.在实际问题中,往往涉及多个三角形, 思想 只要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中即可 视线在水平线以上时,在视线所在的垂直平面内,视线与水平线所成 仰角 实 的角 际 视线在水平线以下时,在视线所在的垂直平面内,视线与水平线所成 应 常用 俯角 的角 用 术语 方向角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始 方向角 方向旋转到目标的方向线所成的角(一般是锐角,如北偏西 30° )

解 三 角 形

方位角 从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角

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三角恒等变换与解三角形

?考点一 三角恒等变换 两角和与 ——1.求角;2.求函数值;3.求角的范围 差的公式

二倍角 公式
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——1.由α求2α的问题;2.由2α求α的问题;3.范围 问题

题型:选择,填空,解答 分值:5-10分 难度:基础 热点:两角和(差)的基本公式的应用,二倍角公式

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三角恒等变换与解三角形

例1

[2014· 江苏卷]

?π ? 已知α∈?2,π?,sin ? ?

5 α= 5 .

?π ? (1)求sin?4+α?的值; ? ? ?5π ? (2)求cos? 6 -2α?的值. ? ?

考 点 考 向 探 究

?π ? 解:(1)因为α∈?2,π?,sin ? ?

5 α= 5 , 2 5 2 所以cos α=- 1-sin α=- 5 . ?π ? π π ? ? + α 故sin 4 =sin cos α+cos sin α= 4 4 ? ? 2 ? 2 5 10 5? ? 2 ? × + × =- . - 5 ? 2 5 2 ? 10 ? ?
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三角恒等变换与解三角形

考 点 考 向 探 究

5 ? 4 5? ? 2 ? (2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2× 5 × ?- 5 ?=-5, ? ? ? 5? ? ?2 3 2 cos 2α=1-2sin α=1-2× ? 5 ? =5, ? ? ?5π ? 5π 5π ? ? 所以cos 6 -2α =cos 6 cos 2α+sin 6 sin 2α= ? ? ? 4+3 3 4? 3? ? ? 3 1 ? ? ? +2× -5 =- 10 . ?- 2 ?× 5 ? ? ? ?

[小结]本题给出的是角α的正弦值,要求由α与特殊 角构成的复角的三角函数值和由α的倍角与特殊角构成 的复角的三角函数值,最关键的是先求出角α的余弦值 ,再结合两角和差、二倍角公式求解.在使用平方关 系求角α余弦值时一定要注意角α的范围.
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三角恒等变换与解三角形

变式题

(1)已知cos )

? π? ?α- ? 6? ?

4 +sin α= 5

3 ,则

? π? sin?α+6?的值是( ? ?

考 点 考 向 探 究

4 3 4 3 C. 15 D.- 15 2 A-B 2 A+B (2)在△ABC中,若3cos +5sin =4,则 2 2 tan Atan B=( ) 1 1 A. 4 B. C.-4 D.- 4 4
[答案] (1)A (2)B
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4 A.5

4 B.-5

第6讲

三角恒等变换与解三角形

考 点 考 向 探 究

π π α=cos αcos +sin αsin + 6 6 ? π? 4 3 3 sin α= 2 sin α+ 2 cos α= 3 sin ?α+6? = 5 3 ,所以 ? ? ? π? 4 sin?α+6?= . ? ? 5 1+cos(A-B) 2 A-B 2 A+B (2)因为3cos 2 +5sin 2 =3· 2 1-cos(A+B) 3 5 +5· =4+2(cos Acos B+sin Asin B)-2 2 (cos Acos B-sin Asin B)=4, 1 所以4sin Asin B=cos Acos B,所以tan Atan B= . 4 [解析]
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? π? (1)cos?α-6?+sin ? ?

第6讲

三角恒等变换与解三角形

? 考点二 正、余弦定理在解三角形中的应用 正、余弦——1.求三角形中的角;2.求三角形中的边; 定理 3.与面积有关的问题;4.边与角的范围问题 题型:选择,填空,解答 分值:5-10分 难度:中等 热点:求解三角形中的角与边
考 点 考 向 探 究

? 考向一 求解三角形中的角 例2 [2014· 天津卷] 在△ABC中,内角A,B,C所对 6 的边分别为a,b,c.已知 a-c= b,sin B= 6sin C. 6 (1)求cos A的值; ? π? (2)求cos?2A-6?的值. ? ?
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第6讲

三角恒等变换与解三角形

考 点 考 向 探 究

b c 解:(1)在△ABC中,由 = ,及sin B= sin B sin C 6 6sin C,可得b= 6c.又由a-c= 6 b,有a=2c. b2+c2-a2 6c2+c2-4c2 6 所以cos A= 2bc = =4. 2 6c2 6 10 (2)在△ABC中,由cos A= 4 ,可得sin A= 4 .于 1 15 2 是cos 2A=2cos A-1=- ,sin 2A=2sin Acos A= . 4 4 ? π? π π ? ? 所以cos 2A-6 =cos 2Acos 6 +sin 2Asin 6 = ? ? 15- 3 . 8
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第6讲

三角恒等变换与解三角形

[小结] 本题条件中,可看作是关于三边的两个关系 式,相当于由三边求角,所以选用余弦定理.余弦定理 求角的特点表现为可不知三边的具体值,但只要知道三 边间的关系即可.
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三角恒等变换与解三角形

变式题 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C ? ? 2 2 π 的对边,且满足cos 2A+2sin (π+B)+2cos ?2+C? -1= ? ? 2sin Bsin C. (1)求角A的大小; (2)若b=4,c=5,求sin B的值.
考 点 考 向 探 究
?π ? 解:(1)∵cos2A+2sin2(π+B)+2cos2?2+C?-1=2sinBsin C,

∴sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C, 由正弦定理得b2+c2-a2=bc. b2+c2-a2 1 π 由余弦定理得cos A= 2bc =2. ∵0<A<π,∴A=3. 1 (2)∵a2=b2+c2-2bccos A=16+25-2× 4× 5× 2=21,∴a= 21. 2 7 a b 由sin A=sin B,得sin B= 7 .
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?

?

第6讲

三角恒等变换与解三角形

? 考向二 求解三角形的边与面积 例3 [2014· 山东卷] △ABC中,角A,B,C所对的边分 6 π 别为a,b,c.已知a=3,cos A= ,B=A+ . 3 2 (1)求b的值; (2)求△ABC的面积.
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3 解:(1)在△ABC中,由题意知,sin A= 1-cos A= . 3 ? π? π 6 ? ? 又因为B=A+2,所以sin B=sin A+2 =cos A= 3 . ? ? 6 3× 3 asin B 由正弦定理可得,b= = =3 2. sin A 3 3
2

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三角恒等变换与解三角形

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? π? π 3 (2)由B=A+ 得cos B=cos?A+2?=-sin A=- . 2 3 ? ? 由A+B+C=π,得C=π-(A+B), 所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cos Asin B 3 ? 6 6 1 3? ? ? =3× ?- 3 ?+ 3 × 3 =3. ? ? 1 1 1 3 2 因此△ABC的面积S=2absin C=2× 3× 3 2× 3= 2 .

[小结] 使用余弦定理求边,一般是已知其中三角形的 两边及其夹角.使用正弦定理求边,必须知道两角及其中 一边,并要注意解的多样性与合理性.

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三角恒等变换与解三角形

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变式题 已知向量m=(sin (A-B),2cos A),n= ? ?π ?? ?1,cos? -B?? ,且m· n=-sin 2C,其中A,B,C分 ?2 ?? ? 别为△ABC的三边a,b,c所对的角. (1)求角C的大小; 2 3 (2)若sin A+sin B= 3 sin C,且S△ABC=4 3, 求c.
解:(1)∵m=(sin(A-B),2cos A), ? ?π ?? n=?1,cos?2-B??, ? ?? ? ?π ? ? ∴m· n=sin(A-B)+2cos A· cos 2-B?=sin(A+B). ? ? 又∵m· n=-sin 2C,∴sin(A+B)=-sin 2C.
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三角恒等变换与解三角形
∵sin(A+B)=sin C,∴sin C=-sin 2C=-2sin Ccos C. 1 ∵0<C<π,∴sin C≠0,∴cos C=-2, 2π ∴C= 3 . 2 3 (2)∵sin A+sin B= 3 sin C,∴由正弦定理得a+b=

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2 3 3 c.① 1 1 3 ∵S△ABC=2absin C=2ab·2 =4 3,∴ab=16.② 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得c2=a2+b2+ab,③ 由①②③可得c=4 3.

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第6讲

三角恒等变换与解三角形

?

考点三

正、余弦定理的实际应用

正余弦定 ——1.实际问题中的高度;2.实际问题中的距离 理的实际 应用
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题型:选择,填空 难度:基础

分值:5分 热点:求实际物体的高度

例4 [2014· 浙江卷] 如图62所示,某人在垂直于水平 地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面 的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为 了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小
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第6讲

三角恒等变换与解三角形

(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角).若AB=15 m,AC= 25 m,∠BCM=30° ,则tan θ的最大值是( )

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A.

30 5

B.

30 10

图62 4 3 C. 9

D.

5 3 9

[答案] D
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三角恒等变换与解三角形

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[解析] 由勾股定理得BC=20m. 如图,过P点作PD⊥BC于D,连接 AD,则由点A观察点P的仰角θ= PD ∠PAD,tan θ= AD .设PD=x,则DC = 3 x,BD=20- 3 x,在Rt△ABD 中,AD= 152+(20- 3x)2 = 625-40 3x+3x2 ,所以tanθ= 1 x = = 2 625-40 3x+3x 625 40 3 x2 - x +3 1 5 3 5 3 ≤ ,故 tan θ 的最大值为 ,故选 ?1 20 3? 9 9 ?2 27 625? ?x - 625 ? +25 ? ? D.
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三角恒等变换与解三角形

小结:解三角形的实际应用主要体现在解决一些实际 问题中的测高和测距的问题,这样就需要将实际问题中的 角度、距离以及待求的距离等融合到一个或几个三角形 中,再结合正余弦定理求解.
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第6讲

三角恒等变换与解三角形

变式题 如图63所示,设A,B两点在河的两岸,一 测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C,测出AC的距 离为50 m,∠ACB=45° ,∠CAB=105° ,则A,B两点间 的距离为( )

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图63 25 2 A. 2 m B.25 2 m C.50 2 m D.50 3 m
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三角恒等变换与解三角形

[答案] C
[解析] 在三角形ABC中,AC=50 m,∠ACB=45° , AC ∠CAB=105° ,所以∠B=30° .由正弦定理得 sin B = AB ,所以AB=50 2 m. sin∠ACB

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第6讲

三角恒等变换与解三角形

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例1从整体的观点认识单角与复角之间的 转换,培养学生的观察能力和整体意识;例2是以向量为 载体综合考查解三角形、三角恒等变换、三角函数的性 质以及极值等知识;例3求三角形面积的最值问题,在正 余弦定理的基础上还涉及基本不等式求最值的知识.
?π ? π π 例1. [配例1使用] 若0<α< 2 ,- 2 <β<0,cos ?4+α? ? ? ?π β? ? β? 1 3 = ,cos?4-2?= ,则cos?α+2?=( ) 3 3 ? ? ? ? 3 3 5 3 6 A. 3 B.- 3 C. 9 D.- 9

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三角恒等变换与解三角形

[答案] C
?π ? 1 π π 3π ? ? + α [解析] 由cos 4 = , < +α< ,可得 4 ? ? 3 4 4 ?π ? 2 2 ? ? sin 4+α = 3 . ? ? ?π β? 3 π π β π 由cos?4-2?= 3 ,4<4-2<2,可得 ? ? ?π β? 6 ? ? sin 4-2 = 3 ,所以 ? ? ??π ? ? ?π β?? ?π ? ?π β? β? cos ?α+2? =cos ??4+α?-?4-2?? =cos ?4+α? · cos ?4-2? + ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?π ? ?π β? 1 3 2 2 6 5 3 ? ? sin 4+α sin?4-2?= × + × = . 3 3 9 ? ? ? ? 3 3
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三角恒等变换与解三角形

例2. [配例2使用] 在△ABC中,a,b,c分别是内角 A,B,C的对边,向量m=(a+b,c),n=(a+b,-c), ? ? 且m· n=?? 3+2??ab. (1)求角C; 1 2 (2)函数f(x)=2sin(A+B)cos ωx-cos(A+B)sin 2ωx- 2 π 的相邻两个极值点分别为x0- ,x0,求f(x)的单调递减区 2 间.
解:(1)因为m=(a+b,c),n=(a+b,-c),m· n= 3 ( 3+2)ab,所以a2+b2-c2= 3ab,所以cosC= 2 .∵0<C<π, π ∴C=6.
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第6讲

三角恒等变换与解三角形

1 (2)f(x)=2sin(A+B)cos2ωx-cos(A+B)sin 2ωx- 2 1 2 =2sin Ccos ωx+cos Csin 2ωx- 2 ? π? 3 1 2 =cos ωx+ 2 sin 2ωx-2=sin?2ωx+6?, ? ? π 因为相邻两个极值点分别为x0- ,x0,所以f(x)的最小 2 ? π? 正周期T=π,所以ω=1,所以f(x)=sin?2x+6?. ? ? π π 3π 由2kπ+2≤2x+6≤2kπ+ 2 ,k∈Z, π 2π 得kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 6 3 ? π 2 ? ? 所以f(x)的单调递减区间为 kπ+6,kπ+3π?,k∈Z. ? ?
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第6讲

三角恒等变换与解三角形

[配例3使用] 在△ABC中,内角A,B,C所对的 sin A 3cos B 边分别为a,b,c,且 a = b . (1)求角B的大小; (2)如果b=2,求△ABC面积的最大值.
sin A 3cos B sin A 3cos B 解:(1)由 a = b ,得sin A= sin B , π ∴tan B= 3,又0<B<π,∴B=3. a2+c2-4 1 (2)∵cos B= 2ac =2,∴a2+c2=ac+4. 又∵a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时等号成立,所以ac≤4. 1 ∴S△ABC= acsin B≤ 3,∴ 当△ABC为正三角形时,三角 2 形ABC的面积取得最大值 3.
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例3.

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第7讲 平面向量

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第7讲

平面向量

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体验高考 1. [2014· 辽宁卷改编 ] 命题 p: a∥b,b∥c,则a∥c① ,则命题 p 为 ________命题.(填真、假)

主干知识
? 向量的概念 与应用 关键词:共线向 量如①、单位向量.

[答案] 真
[解析]取b=0,易知命题p为假命 题.

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平面向量

体验高考
核 核 心 心 知 知 识 识 聚 聚 焦 焦

主干知识
?向量的运算 关键词:线性 运算如②、坐标表 示如③.

2. [2014· 福建卷改编] 设 M 为 平行四边形 ABCD 对角线的交点, O 为平行四边形 ABCD 所在平面内 → +OB → +OC → +OD → 任意一点. 若 OA → ② ,则 λ=________. =λOM [答案] 4

[解析]因为M为AC的中点, → + OC → =2 OM → .同理 OB →+ 所以 OA → =2OM → ,所以OA → +OB → +OC → OD → =4OM → ,故λ=4. +OD
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平面向量

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体验高考 3.[2014· 北京卷改编] 已知向量 a=(2,4),b= (-1,1),则 2a-b③ =________.

[答案] (5,7)
[解析] 2a-b=2(2,4)-(-1,1)=(5,7).

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平面向量

体验高考
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主干知识
? 向量的数 量积 关键词:夹角 如④、模如⑤.

4.[2014· 山东卷改编] 已知向量 a = (1, 3 ) , b = (3, 3 ) , 则 向 量 ④ a,b的夹角 为________.
π [答案] 6 a· b [解析 ] cos 〈a,b〉= = |a||b| (1, 3)· (3, 3) 3 = ,所以 2 2× 2 3 π 向量 a,b 的夹角为6.

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平面向量

体验高考 5.[2014· 江西卷] 已知单位向量 e1,e2 的夹角为 α, 1 ⑤ 且 cos α=3.若向量 a=3e1-2e2,则 |a|= ________.

[答案] 3
?2 ?a? = 9|e |2 + 4|e |2 - 12e · [ 解析 ] 因为 ? ? ? 1 2 1 e2 = 9 + 4 - ? ?a?=3. 12cos α=9,所以? ? ?

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第7讲

平面向量

—— 教师知识必备 ——
知识必备 平面向量
向量

重要 概念

平 面 向 量 重要 法则 定理

既有大小,又有方向的量叫作向量,表示向量的有向线段的长度叫作该向 量的模 零向量 长度为0,方向任意的向量 方向相同或相反的两个非零向量叫作平行向量,也叫共线向量(0与任一非 平行向量 零向量共线) 向量夹角 同起点的两个向量所成的角,范围是[0,π].a,b的夹角记为〈a,b〉 ? 投影 〈a,b〉=θ,? ?b?cos θ叫作向量b在a方向上的投影(注意:投影是数量) 基本定理 一般表示 a,b(b≠0) 存在唯一实数λ,使a=λb 共线 a⊥b a· b=0 法则 运算律 平行四边形法则、三角形法则 a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c) 坐标表示 (x1,y1)=λ(x2,y2)? x1y2=x2y1 (x1,y1)· (x2,y2)=0? x1x2+y1y2=0 a+b=(x1+x2,y1+y2) 与加法运算有同样的坐标 表示

各种 运算

加法 运算

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平面向量

—— 教师知识必备 ——
减法 运算 法则 分解 三角形法则 → =ON → -OM → MN a-b=(x1-x2,y1-y2) → =(xN-xM,yN-yM) MN

平 面 向 量

λ· a为向量,当λ>0时,λa方向与a的方 概念 向相同;当λ<0时,λa方向与a的方向 λa=(λx,λy) 各 数乘 ? ? ?? ? 相反.? ?λa?=?λ??a?. 种 运算 λ(μa)=(λμ)a,(λ+μ)a=λa+μa, 与数乘运算有同样的坐标表 运算律 运 λ(a+b)=λa+λb 示 算 ?? ? 概念 a· b=? a· b=x1x2+y1y2 ?a??b?cos 〈a,b〉 数量 积 主要 性质 运算律 2 ? ?? ? b? a· a = a ,? ?a· ?≤?a??b?
? ? ? ?

a· b=b· a,(a+b)· c=a· c+b· c, (λa)· b=a· (λb)=λ(a· b)

a = x2+y2 ? ? 2 2 2 2 ?x1x2+y1y2?≤ x1+y1· x2+y2 与上面的数量积、数乘等具 有同样的坐标表示方法
? ? ? ?

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第7讲

平面向量

?考点一 平面向量的概念与线性运算 向量的有 ——1.零向量;2.共线向量;3.单位向量 关概念 线性运算 ——1.向量的和差运算;2.向量的表示;3.求参量
考 点 考 向 探 究

坐标运算 ——1.向量运算的坐标表示;2.向量共线的坐标表 示的应用 题型:选择,填空 难度:基础 分值:5分 热点:向量的线性运算与坐标表示

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第7讲

平面向量

考 点 考 向 探 究

例 1 (1) 设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB → +FC → =( 的中点,则EB ) 1→ 1→ → → A.AD B.2AD C.2BC D.BC (2) 若向量 a=(2,3),b=(x,-6),且 a∥b,则实数 x= ________.

[答案] (1)A

(2)-4

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第7讲

平面向量

→ + FC → = EC → [解析] (1)据向量加法的三角形法则有 EB 1→ 1→ → → → → → +CB+FB+BC=EC+FB=2AC+2AB.又D为BC中点, 1 → 1→ → 所以AD=2AC+2AB,故选A. (2)因为a∥b,所以2× (-6)-3x=0,解得x=-4.
考 点 考 向 探 究

[小结] 若P为AB的中点,则对平面上任一点O,有 1→ 1→ → OP=2OA+2OB.

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第7讲

平面向量

考 点 考 向 探 究

→ = 变式题 (1)已知平行四边形ABCD中, AD → =(-3,4),则AC → 的坐标为( (2,8),AB ) A.(-1,-12) B.(-1,12) C.(1,-12) D.(1,12) → +OB → +2OC →= (2)O,A,B,C四点共面,若OA 0,则△AOC的面积与△ABC的面积之比为( ) 1 2 1 1 A.3 B.3 C.2 D.4

[答案] (1)B

(2)D
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第7讲

平面向量

考 点 考 向 探 究

→ [解析] (1)根据向量加法的平行四边形法则,有 AC → +AD → =(-3,4)+(2,8)=(-1,12). =AB (2)如图所示,以OA,OB为邻边作平行四边形 → + OB → = OD → .又 OA →+ OADB,E为OD与AB的交点,则 OA → +2 OC → =0,所以 OD → =-2 OC → ,所以C,O,E,D四 OB 1 点共线,且|OC|=|OE|,所以S△AOC=S△AOE= S△ABC. 4

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第7讲

平面向量

? 考点二 平面向量的数量积 数量积公式——求两向量的数量积 夹角 向量的模
考 点 考 向 探 究

——1.求夹角;2.两向量垂直及应用 ——求向量的模 分值:5分 热点:数量积公式的应用

题型:选择,填空 难度:基础

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第7讲

平面向量

例2 (1)[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设向量a,b满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则a· b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 (2)已知向量a,b的夹角为45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10 ,则 |b|=________.
考 点 考 向 探 究

[答案] (1)A (2)3 2 [解析] (1)由已知得|a+b|2=10,|a-b|2=6,两式相 减得a· b=1. (2)将|2a-b|= 10 两边平方,得4a2-4a· b+b2= 10,即4-4× 1× |b|× cos 45° +|b|2=10,解得|b|=3 2(- 2舍去).

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第7讲

平面向量

[小结] 对含有向量的形如|2a-b|= 10 的等式两边 平方,是解决向量的数量积、模、夹角等很重要的一 种变换方式.
考 点 考 向 探 究

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第7讲

平面向量

变式题 (1)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3, 4),若λ为实数,(b+λa)⊥c,则λ的值为( ) 3 11 1 3 A.-11 B.- 3 C.2 D.5 ? ? ? ? ? ? ? ? ⊥a,则向量a与 b - a a (2) 已知? ? =1,b=(1, 3), ? ? 向量b的夹角为________.
考 点 考 向 探 究

π [答案] (1)A (2) 3 [解析](1)b+λa=(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ),c=(3,4), 又(b+λa)⊥c,所以(b+λa)· c=0,即(1+λ,2λ)· (3,4)=3+3λ+ 3 8λ=0,解得λ=-11. (2)b=(1, 3 )?|b|=2,(b-a)⊥a?a· b=a2=1,所以cos θ a· b 1 π = = ,故向量a与向量b的夹角为3. |a||b| 2
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第7讲

平面向量

? 考点三 平面向量的综合运用 综合运用——1.用平面几何方法;2.用解析几何方法;3.用 函数方法 题型:选择、填空、解答 分值:4-14分 难度:中等 热点:用代数和几何方法综合解决平面向量
考 点 考 向 探 究

例4 (1)[2014· 浙江卷] 设θ为两个非零向量a,b的夹 角.已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1( ) A.若θ确定,则|a|唯一确定 B.若θ确定,则|b|唯一确定 C.若|a|确定,则θ唯一确定 D.若|b|确定,则θ唯一确定
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第7讲

平面向量

→ · → (2)设点G是△ABC的重心,若∠BAC=120° , AB AC → |的最小值是( =-1,则|AG ) 3 2 2 3 A. 3 B. 3 C.3 D.4

[答案] (1)B
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(2)B

[解析] (1)|b+ta|≥1,则a2t2+2|a||b|tcos θ+b2的最小值 为1,这是关于t的二次函数,故最小值为 4a2b2-4(|a||b|cos θ)2 =1,得到4a2b2sin2θ=4a2,故|b|sin 2 4a θ=1.若|b|确定,则存在两个θ满足条件,且两个θ互补;若 θ确定,则|b|唯一确定.故选B. → ||AC → |cos 120° (2)由已知得|AB =-1,
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第7讲

平面向量

考 点 考 向 探 究

2 → → → 所以|AB||AC|=2.又因为G是△ABC的重心,所以AG= 3 → (M为BC的中点). AM 1 → → 1 → → → → → |2 又AM= (AB+AC),所以AG= (AB+AC).于是|AG 2 3 1 →2 →2 →· → )=1(|AB → |2+|AC → |2-2)≥1(2|AB → ||AC →| =9(|AB | +|AC| +2AB AC 9 9 2 2 → → → -2)= 9 (当且仅当| AB |=| AC |时取等号),从而| AG |≥ 3 , 2 → 即|AG|的最小值是 3 .

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第7讲

平面向量

[小结] 解决平面向量综合问题的常用方法: (1)用平面几何法:结合图形,合理运用平行四边形 法则或三角形法则进行运算;(2)用解析几何法:建立直 角坐标系,通过坐标运算求解;(3)用函数法:建立目标 函数,用函数方法解决最值问题.
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第7讲

平面向量

变式题 如图71所示,在等腰直角三角形ABC中,AB 1 =AC=3,点D在边BC上且BD=2DC,点P是线段AD上任 →· → 的取值范围是( 一点,则AP CP )

考 点 考 向 探 究

图71
? ? 9 A.?-20,2? ? ? ? ? 9 B.?-16,0? ? ? ?9 ? C.?16,2? ? ?

D.

? 9? ?0, ? 20? ?

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第7讲

平面向量

[答案] A
[解析] 以A为原点,分别以AB,AC为x轴、y轴建立平 面直角坐标系,则C(0,3),D(2,1),设P(2y,y)(0≤y≤1), → · CP → =(2y,y)· 则 AP (2y,y-3)=5y2-3y,0≤y≤1,所以 ? ? 9 →· → ∈?- ,2?. AP CP ? 20 ?

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第7讲

平面向量

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 是向量共线定理与三点共线的一个结 论的应用;例 2 是向量的坐标表示、共线、垂直、夹角的 综合考查. 例 1 [配合例 1 使用] 如图所示,△ABC 中,O 是 BC 的 中点,过点 O 的直线 MN 分别交直线 AB,AC 于点 M,N. → =mAM → ,AC → =nAN → ,则 m+n= ________. 若AB

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第7讲

平面向量

[答案] 2 [解析] 连接AO,∵M,O,N三点共线, → +(1-λ)AN →. ∴设AO=λAM λ → 1-λ → → → → → → 又∵AB=mAM,AC=nAN,∴AO=mAB+ n AC. → =1AB → +1AC →, 由O是BC的中点,知AO 2 2 λ 1 1-λ 1 ∴m=2, n =2,∴m=2λ,n=2-2λ,∴m+n=2.

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第7讲

平面向量

例 2 [配合例 2 使用]已知向量 a=(1,0),b=(0,1), c=a+λb(λ∈R),向量 d 如图所示,则( ) A.存在 λ>0,使得向量 c 与向量 d 垂直 B.存在 λ>0,使得向量 c 与向量 d 的夹角为 60° C.存在 λ<0,使得向量 c 与向量 d 夹的角为 30° D.存在 λ>0,使得向量 c 与向量 d 共线

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第7讲

平面向量

[答案] D [解析] 由图知,d=(5,5)-(1,2)= (4,3), c=a+λb =(1, λ). 4 若向量 c 与向量 d 垂直,则有 4+3λ=0,解得 λ=-3<0, 故 A 不正确; 4+3λ 若向量 c 与向量 d 的夹角为 60° ,则有 =cos 60° , 5 1+λ2 即 11λ2+96λ+39=0,方程有两个负根,故 B 不正确; 4+3λ 若向量 c 与向量 d 的夹角为 30° ,则有 =cos 30° , 5 1+λ2 即 39λ2-96λ+11=0,该方程有两个正根,故 C 不正确; 3 若向量 c 与向量 d 共线,则有 4λ-3=0,解得 λ=4>0, 故 D 正确.
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