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1.3.1 函数的单调性与导数课件(32张)


判断函数单调性有哪些方法?
图象法
定义法 常用结论

问题1.函数单调性的定义是什么?
一般地,在给定区间上任取两个自变量 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时, 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f(x)在这个区间上单调递增. 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f (x)在这个区间上

单调递减.

问题2.用定义法判断函数单调性的步骤: (1)在给定区间内任取x1<x2;

(2)作差f(x1)-f(x2)(或作商
(3)变形;

f ( x1 ) f (x2)

);

(4)判断符号(或与1比较);
(5)下结论。

问题3.导数的定义与几何意义是什么.

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) f '( x)= lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
几何意义:函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f?(x0), 就是曲线y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率.

练习1:判断下列函数的单调性,并 求出单调区间。
( 1) y = x ( 3) y = x3 ( 2) y = x 2
1 (4)y ? x

(5) y ? 2 x3 ? 3x2 ? 24 x ?1

如何确定函数

3 2 (5) y ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1

在哪个

区间上单调递增,哪个区间上单调递减?

y?x
y

y?x
y

2

y ? x3
y

1 y? yx

o

x

o

x

o

x

o

x

函数在R上

(-∞,0) (0,+∞)

函数在R上

(-∞,0)

f '( x) ? 1 ? 0 f '( x) ? 2 x ? 0 f '( x) ? 3x2 ? 0 f '( x) ? ?x?2 ? 0

f '( x) ? 2 x ? 0

(0,+∞) f '( x) ? ?x?2 ? 0

深入思考,揭示本质 导数f ?(x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率

f ?(x1)<0 f (x)在x1附近↘

f ?(x0)>0 f (x)在x0附近↗

深入思考,揭示本质
瞬时变化率,就是某点切线的斜率,也就是区间内任意一点

处的导数都大于零.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f '( x) ? 0 ? f ( x)为增函数 x1 ? x2

1. 函数单调性与其导数正负的关系:

设函数f ( x )在定义域内的某个区间(a, b)上可导,
f '( x ) ? 0 ? f ( x )在(a, b)内单调递增


f '( x ) ? 0 ? f ( x )在(a, b)内单调递减

如果在某个区间内恒有 f '( x ) ? 0,则 f ( x )有何特性? 函数 f ( x ) 为常函数.

活学现用

?5?因为f ?x? ? 2x3 ? 3x2 ? 24x ?1, 所以f ' ?x? ?6 x2 ? 6 x. ? 24 当f ' ?x? ? 0,即 时,函数f ?x? 单调递增 ; ' 当f ? x ? ? 0,即 时,函数f ? x ? 单调递减 . 3 2 f ?x? ? 2x ? 3x ? 24x ? 1的图象如图 1.3 ? 5?4?所示.
x? ? 1 ? 17 ? 1 ? 17 或x ? 2 2
? 1 ? 17 ? 1 ? 17 ?x? 2 2

y

若问单调区间该如何 下结论?
- 1 - 17 增区间为(- ?, )和 2 - 1 ? 17 ( , ? ?) 2 ? - 1 - 17 - 1 ? 17 ? 减区间为? , ? 2 , 2 ? ?

f ?x? ? 2x3 ? 3x2 ? 24x ? 1
5 1 O

x

图1.3 ? 5?4?

观 察: 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的
函数 h ( t ) ? ? 4 . 9 t 2 ? 6 . 5 t ? 10 的图象, 图(2)表示高台跳水运 动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v ( t ) ? ? 9 .8 t ? 6 .5 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别?
①运动员从起跳到
h
v

(1)
O t O a b a

(2)
t b

最高点,离水面的高度h
随时间t 的增加而增加, 即h(t)是增函数.相应 地,

v(t ) ? h?(t ) ? 0.

②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的 增加而减少,即h(t)是减函数.相应地, v ( t ) ? h ? ( t ) ? 0 .

当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x) ? 0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f ?( x) ? 0. 试画出函数 f ( x) 的图象的大致形状.

例1 已知导函数 f ?( x ) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0;

解:

当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0, 可知 f ( x)在此区间内 单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x) ? 0, 可知 f ( x) 在此区 间内单调递减; y 当 x = 4 , 或 x = 1时 ,

f ?( x) ? 0.
综上, 函数 f ( x)图象 的大致形状如右图所示.
O
1 4

x

练习2
1. P26
T2函数

y ? f ( x ) 的图象如图所示, 试画出导

函数 f ? ( x ) 图象的大致形状

2、已知函数y ? xf ' ( x)的 图象如右图(其中f ( x)是f ( x) 的导函数)下列四个图象中 y ? f ( x)的图象大致是( C)
'

y 2
-1 1 -1 -2 1 2

-2

x

-1 2

2 -1 1 -1 1

-1 2









例 2 如图1.3 ? 6, 水以恒速(即单位时间内注入水的 体 积相同) 注入下面四种底面积相 同的容器中 , 请分别找 出与各容器对应的高度 h与时间t的函数关系图象 .

?1?

?2?

?3?

?4?

h

h

h

h

o

?A ?

t

o

?B ?

t

o

?C ?

t

o

?D?

t

图1.3 ? 6

例 3 判断下列函数的单调性, 求出单调区间, 并作出大致图象:
3 1 f x ? x ? ? ? ? +3x; x 2 f x ? e ?x; ? ? ? ?

? 3? f ? x ? ? sin x ? x, x ? ? 0, ? ? ; ? 4 ? f ? x ? ? ln x ? x.
解:( 1) ? f ( x ) ? x 3 ? 3 x, ? f ' ( x) ? 3x 2 ? 3 ? ( 3 x 2 ? 1) ?0 ? f ( x)在R上单调递增。 递增区间为?- ?, ? ? ?。
3 思考:1.若函数变为 f ( x) ? x ? 3ax(a ? 0) 单调性又如何? 2.若去掉条件 a >0呢?

?2?? f ?x ? ? e ? x,? f ' ?x ? ? e x ? 1 由f ' ? x ? ? 0得x ? 0,由f ' ? x ? ? 0得x ? 0 ?0, ? f ( x)的单调增区间为 ? ? ?, ?- ?, 单调减区间为 0 ?。 x 函数f ?x? ? e ? x的图象如下:
x

?3?因为f ?x ? ? sin x ? x, x ? ?0, π?,所以 ' f ?x ? ? cos x ? 1 ? .0. 因此,函数f ?x ? ? sin x ? x, x ? ?0, π ? 内 单调递减. 如图1.3 ? 5?3?所示. y
o
图1.3 ? 5?3?
π

.

x
f ?x ? ? sin x ? x

思考:1、若将区间变为闭区间 [0, ? ] 单调性会变吗?

, 2、去掉区间又如何?

(4)解: ? f ( x) ? ln x ? x 函数定义域为( 0, ? ?), 1 1? x ' f ( x) ? ? 1 ? , x x 由f ' ( x) ? 0, 得x ? 1 由f ' ( x) ? 0, 得x ? 1 ? f ( x)的单调增区间为( 0,1), 单调减区间为( 1, ? ?)。

1.在区间 上,如果 f( 在该区间上单调 (a, b) ' x) ? 0 ,则 f(x)

递增,反过来也成立吗?

2.利用导数求函数的单调区间,需要先确定什么?

3.利用导数求函数单调区间的一般过程:
先求函数f(x)的定义域 求出导数 f ' (x) 判断 f ' (x)的正负 解不等式f ' (x)>0 得函数单调递增区间 解不等式f ' (x)<0 得函数单调递减区间

规范写出单调区间

练习3: 3.函数 f ( x) ? ln x ? 1 x 的单调减区间为_____。
2

2

1 4.判断函数 f ( x) ? x ? 的单调性,并画出大致图象。 x

5.已知a为实数,函数 f ( x) ? ( x x ? a),求f ( x)的 单调区间。
1 3 1 6.若f(x) ? ax - (a ? 2) x 2 ? 2 x ? 1, 求函数f(x)的 3 2 单调区间。

思维拓展

例4. ?1? 若函数f(x)? ax - x ? x - 5在(-?,+?)上
3 2

单调递增,求a的取值范围。

1 a? 3

例4.

a 2 (2)已知函数f(x)=x + x

(x≠0,常

数a∈R).若函数f(x)在x∈[2,+∞)上单调
递增,求a的取值范围. 变式1、 f(x)在[-5,5]上单调递减。 变式2、求f(x)的单调区间。

练习5:
7.(全国Ⅰ)已知函数 f(x) ? ax3 ? 3x 2 ? x ? 1 在R上是减函数,求a的取值范围. 1 3 1 2 8. (全国Ⅱ) 若函数 f ( x ) ? x ? ax ? (a ? 1) x ? 1 在区间 3 2

(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)为增函数,试求 实数a的取值范围.

7. a的取值范围是(-∞,-3]

8. a的取值范围是[5, 7].

课堂小结
1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性,导数绝 对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快 慢程度. 2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f′(x); (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0; (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间. 3.含有参数的函数求单调区间时注意正确运用分类讨论思想. 4 .如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这 些单调区间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔 开. 5.已知单调性求参数的取值范围,要注意等号能否取到。

作业 P31 1. 2. 3






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