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江西省景德镇市2013届高三上学期第二次质检数学(文)试题 Word版含答案


景德镇市 2013 届高三第二次质检试题数学(文) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时 间 120 分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 10 小题,第小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?2,4?

,则(CuA)∪B 为( A. ?1, 2, 4? 2.复数 z ? B. ?2,3,4? C. ?0,2,4? ). C.第三象限 D.第四象限 D. ?0, 2,3, 4? ).

i 在复平面上对应的点位于( 1? i

A.第一象限

B.第二象限

3. 学校要从高一 300 人,高二 200 人,高三 100 人中,分层抽样,抽调 12 人 去参加环保志愿者,则高三应参加的人数为( A.8 B.6 C.4 )人. D.2

2? ? 4. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ) (? ? 0) 两相邻对称轴间的距离为 , ? 的值为 则 3 6

(

).
3 B. 2 3? C. 2
开始

2 A. 3 2? D. 3

S=1,k=1

5.设 ?an ? ,?bn ? 分别为等差数列和等比数列,且 a1 ? b1 ? 4 ,

S=S2+k

a4 ? b4 ? 1 ,则以下结论正确的是(
A . a2 ? b2 D. a6 ? b6 B.

) .


k=k+1

a3 ? b3

C . a5 ? b5
否 输出S

6.如图所示:若输入的 S 为 1525,则判断框内应填( A. k ? 4 B.
k?4

).

结束

C. k ? 4 D.
k?4

第 1 页 共 8 页

7.函数 y ? ln x 的图象为(
y y y y

).
y y

x O O

x O O

x

x

x O O

x

C
A A B B

D

8 .如 图长方体 ABCD? A B C D 1 1 1 1中, AB ? AA1 ? 4 ,
A1

D1 B1

C1

E BC ? 1 , 为 C1C 的中点, 一只蚂蚁从 A 出发沿表面到 E

E

点的最短路程为( A. 21 C. 29
2

).
D C B

B. 5 D. 2 ? 17

A

x2 9. 已知抛物线 y ? 4x 的准线与双曲线 2 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 交于 A, B 两点,点 F a

为抛物线的焦点,若 ?FAB 为直角三角形,则双曲线的离心率 e 为( A. 3 B.

). D. 6

3

C. 2

10. 若函数 f ( x) 对定义内的任意 x1 , x2 , 都有 为凸函数,下列函数是凸函数的是( A. f ( x) ? x2 ? 1 D. f ( x) ? x3 B. f ( x) ? ln x ).

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ), 则称 f ( x) 2 2

C



f ( x) ? ex

二、填空题:本大题共 4 小题,第小题 5 分,共 20 分. ? ? ? ? ? ? 11.设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 | a ? b |?



12.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每 人投 10 次,投中的次数如下表 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7 3号 7 6 4号 8 7 . . 5号 7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个方差 S 2 = 13.某几何体的三视图如图,则该几何体体积为
第 2 页 共 8 页

2 1 3 主视图 1 左视图

1 俯视图

x2 14. 不经过原点的直线 m 与椭圆 ? y 2 ? 1交于 P , P2 两点, 线段 PP2 的中点为 P , 1 1 2

设直线 m 的斜率为 k1 (k 1 ? 0) ,直线 OP 的斜率为 k2 ,则 k1k2 的值为

.

15 . 若存 在 实数 x 满 足 不 等 式 x ? 3 ? x ? 5 ? m2 ? m , 则 实数 m 的 取 值 范 围 是 .

三、解答题:本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 16. (本小题满分 12 分) tan A ? tan B b ? c ? 已知 ?ABC 中三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,满足 . tan A ? tan B c (1)求 ? A 的值; (2)若 a ? 3 ,求 S?ABC 的最大值.

17. (本小题满分 12 分) 某校从 3 名高中班主任,2 名初中班主任,1 名小学班主任中抽调 2 名,参 加全市班主任经验交流会. (1)列出所有可能的抽取结果; (2)求抽取的 2 名均为高中班主任的概率.

18. (本小题满分 12 分) 已知等腰直角三角形 ABC 中, ?BAC ? 90? , D 为 AC 的 中点, 正方形 BCC 1 B1 与 ABC 所在的平面垂直, AB ? 2 .

B1

C1

B

C D A

第 3 页 共 8 页

(1)求证 AB1 平行平面 DBC1 ; (2)求 C 到平面 ABC1 的距离. 19. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 为等差数列, ?bn ? 为单调递增的等比数列,且 a1 ? a2 ? a3 ? ?27 ,

b1b2b3 ? 512 , a 1 ?b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 .
(1)求 a2 ? b2 的值及数列 ?an ? , ?bn ? 的通项; (2)若 cn ?
9 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn an an ?1

20. (本小题满分 13 分)
x2 y 2 已知点 P(0, ?1) , 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , 椭圆的左右焦点分别为 F1 , F2 , a b

若三角形 PF1F2 的面积为 1,且 a 2 , b 2 的等比中项为 2 14 . (1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 若椭圆 C 上有 A, B 两点,使 ?PAB 的重心为 F1 ,求直线 AB 的方程.

21. (本小题满分 14 分) 设 f ( x) ? ln( x2 ? 1) , g ( x) ?
? (1) F (x) ?f (x) g (x) 求
1 2 1 x ? 2 2

的单调区间,并求 F ( x) 在 [?4, 4] 上的最大值和最小值;

(2)将 y ? f ( x) 的图像向下平移 a ( a ? 0 )个单位,同时将 y ? g ( x) 的图像向 上平移 b ( b ? 0 )个单位,使它们恰有三个交点,求 a ? b 的值.

第 4 页 共 8 页

答案 一、选择题:本大题共 10 小题,第小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. CADBA BCBDB 二、填空题:本大题共 4 小题,第小题 5 分,共 20 分. 11.

10

12.

2 7 13. 5 2

14. ?

1 2

15. (??, ?1) ? (2, ??)

四、解答题:本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. tan A ? tan B sin B ? sin C sin A cos B ? cos A sin B sin B ? sin C ? ? ? 16、解: (1) tan A ? tan B sin C sin A cos B ? cos A sin B sin C ? sin A cos B ? cos A sin B ? sin B ? sin A cos B ? cos A sin B 1 ? ?2 cos A sin B ? sin B ? cos A ? ? ? A ? 120? …………………6 分 2 (2) a2 ? b2 ? c2 ? 2bccos A ? 3 ? b2 ? c2 ? bc ? 3bc
? 1 ? bc

1 3 ∴ S?ABC ? bcsin A ? 2 4

当 b ? c 时, S?ABC 的最大值为

3 …………………12 分 4

17. 解: (1) 3 名高中班主任分别记为 A1 , A2 , A3 ,2 名初中班主任分别为 B1 ,

B2 ,1 名小学班主任记为 C ,所有可能抽取的结果为:
( A1 , A2 )( A1 , A3 )( A1 , B1 )( A1 , B2 )( A1 , C )( A2 , A3 )( A2 , , , , , , , , , , , , , , B1 ) ( A2 , B2 )( A2 , C ) ( A3 , B1 )( A3 , B2 ) ( A3 , C ) ( B1 , B2 ) ( B1 , C ) , ( B2 , C ) ,共 15 种.…………………6 分 (2)2 名均为高中班主任有( A1 , A2 )( A1 , A3 )( A2 , A3 )三种, , , 抽取的 2 名均为高中班主任的概率为
3 1 ? .…………………12 分 15 5

18.解: (1)连 B1C ,设 B1C 交 BC 1 于 O ,连 OD
第 5 页 共 8 页

则 OD // AB1 , OD ? 面BDC1 ,得 AB1 平行平面 DBC1 …………………6 分 (2)? BA ? AC ? BA ? AC1
1 1 1 ? VC ? ABC1 ? VC1 ? ABC ? ? 2 3 ? h ? ? ? 2 ? 2 ? 2 2 3 3 2

?h?

2 6 …………………12 分 3

19. (1)由题意得 a2 ? ?9 , b 2 ? 8 所以 a2 ? b2 ? ?1 …………………2 分 设 a 1 ? ?9 ? d , a3 ? ?9 ? d ,
b 1? 8 , b 3 ? 8q , q

8 ? 1 ? ?q ? 2 ?q ? ??9 ? d ? ? 1 得? 解得 ? 或? q 2 (舍去) ?d ? ?6 ? d ? 6 ??9 ? d ? 8q ? 1 ? ?
an ? ?3 ? (n ?1) ? (?6) ? 3 ? 6n

bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 …………………6 分
(2) cn ?
9 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n )? = (1 ? …………………12 分 2 2n ? 1 2n ? 1

1 20. 解: (1) S?PF1F2 ? ? 2c ? ?1 ? c ? 1 2

? a 2 ? b2 ? c 2 ? 1 ? a 2 ? b 2 ? 1
又 a2b2 ? (2 14)2 ? 56 ? a2 ? 8, b2 ? 7 椭圆方程为:
x2 y 2 ? ? 1 …………………4 分 8 7

第 6 页 共 8 页

(2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
? P(0, ?1) , F1 (?1,0) , F1 为 ?PAB 的重心
? x1 ? x2 ? 0 y ? y2 ? 1 ? ?1 , 1 ?0 3 3

? x1 ? x2 ? ?3 , y1 ? y2 ? 1
3 1 ? 线段 AB 的中点 D (? , ) …………………7 分 2 2
?

A, B 在椭圆上,

x12 y12 x2 y2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 , 8 7 8 7

两式相减,再将 x1 ? x2 ? ?3 , y1 ? y2 ? 1 , k ?
k? 21 8 1 21 3 ? (x ? ) 2 8 2

y1 ? y 2 代入得 x1 ? x2

直线 AB 方程为 y ?

即: 42 x ? 16 y ? 71 ? 0 …………………12 分
1 1 21. (1) F ( x) ? ln( x 2 ? 1) ? x 2 ? 2 2 2x x( x ? 1)( x ? 1) F ?( x) ? 2 ?x?? x ?1 x2 ? 1

F ?( x) , F ( x) 取值变化如下表

x
F ?( x)
F ( x)

(??, ?1)

(?1, 0)

(0,1)

(1, ? ?)

?
?

?
?

?
?

?
?

故 F ( x) 在 (??, ?1) 和 (0,1) 上分别递增, 在 (?1, 0) 和 (1, ??) 上分别递减
F ( x) 的最大值 F ( x)max ? F (1) ? F (?1) ? ln 2 F ( x) 的最小值 F ( x) min ? F (4) ? F (?4) ? ln17 ?
15 …………………6 分 2

第 7 页 共 8 页

1 2 1 x ? ? b 的图像恰有三个交点 2 2 1 2 1 1 1 由 ln( x 2 ? 1) ? a ? x ? ? b ? a ? b ? ln( x 2 ? 1) ? x 2 ? ? F ( x) 2 2 2 2

由题意,即 y ? ln( x2 ? 1) ? a 与 y ?

由(1)知 F ( x) 的大致图像为 所以 y ? a ? b 与 F ( x) 恰有三个交点 则 a ? b ? F ( x) ?
1 …………………14 2
1 2 -1

y

ln2

x



1

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