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不等式易错题分析


不等式易错题分析 一、解一元二次不等式的易错题
(一) 、随意消项致误 例题 1:解不等式; ( x 2 ? 4 x ? 4)( x 2 ? 4 x ? 3) ? 0 错解:原不等式可化为: ( x ? 2) 2 ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 解得? ( x ? 2) 2 ? 0,? ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 所以 x ? 3或 x ? 1 原不等式的解集为: ? x | x ? 3或 x ? 1? 剖析:错误是由于随意消项造成的,事实上,当 ( x ? 2) 2 ? 0 时,原不等式亦成立 正解:原不等式可化为: x ? 2 ? 0 且 ( x ? 1)( x ? 3) ? 0或 ( x ? 2) ? 0 解得 x ? 3或 x ? 1或 x=2 所以原不等式的解集为: ? x| x ? 3或 x ? 1或 x=2? (二) 、函数不清致误 例题 2:已知函数 y ? ( m 2 ? 4 m ? 5) x 2 ? 4(1 ? m ) x ? 3 的图像都在 x 轴的下方,求实 数 m 的取值范围。 错解: ,依题意,对 x ? R , y ? 0 恒成立,于是函数的图像开口方向向上,且图像
?m 2 ? 4m ? 5 ? 0 ? 与 x 轴无交点。故 ? 2 2 ? ? ? ? 4(1 ? m ) ? ? 4 ?3( m ? 4 m ? 5) ? 0 ?

解得 1 ? m ? 19 即所求 m 的取值范围为 1 ? m ? 19 剖析: 题设中的函数未必时二次函数, 也就是说缺少对 m 2 ? 4 m ? 5 是否为 0 的讨 论。 正解:当 m 2 ? 4 m ? 5 ? 0 时,同上述解答有 1 ? m ? 19 , 若 m 2 ? 4 m ? 5 ? 0 时,则 m=1 或 m=5 若 m=1,,则已知函数化为 y ? 3 ,则对 x ? R , y ? 0 恒成立; 若 m=5,则已知函数化为 y ? 24 x ? 3 ,对 x ? R , y ? 0 不恒成立,故此情形舍去。 所以 m 的取值范围为 1 ? m ? 19
1

(三) 、漏端点致误 例题 3:已知集合 A ? ? x | x 2 ? x ? 2 ? 0? , B ? ? x | a ? a ? 3? ,且 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是____________ 错解: A ? ? x | x 2 ? x ? 2 ? 0? ? ? x | ? 1 ? x ? 2? 若使 A ? B ? ? ,需满足 a ? 2或 a ? 3 ? ? 1 ,解得 a ? 2或 a ? ? 4 ,所以实数 a 的取 值范围是 a ? 2或 a ? ? 4 。 剖析:上面的解法错误原因在于忽视了集合 A ? ? x | ? 1 ? x ? 2? 的两个端点值-1 和 2, 其实当 a ? 2 时 B ? ? x | 2 ? x ? 5? , 满足 A ? B ? ? ; a ? 3 ? ? 1 时, a ? ? 4 当 即 时也满足 A ? B ? ? 。 正 解 : A ? ? x | x 2 ? x ? 2 ? 0? ? ? x | ? 1 ? x ? 2? 若 使 A ? B ? ? , 需 满 足
a ? 2或 a ? 3 ? ? 1 ,解得 a ? 2或 a ? ? 4 ,所以实数 a 的取值范围是 a ? 2或 a ? ? 4 。

(四)、条件非充要致误 例题 4:若方程 x 2 ? ( m ? 2) ? 5 ? m ? 0 的两根均大于 2,求实数 m 的取值范围。
? ( m ? 2) ? (5 ? m ) ? 0 ?? ? 0 ? ? 错解:设两根为 x1 , x 2 ,则有题意可得: ? x1 ? x 2 ? 4 ? ? 2 ? m ? 4 ? x ?x ? 4 ?5 ? m ? 4 ? 1 2 ?
2

解得 m ? ? 4 剖析:错在 x1 ? x 2 ? 4 且 x1 ?x 2 ? 4 与 x1 ? 2且 x 2 ? 2 不等价,事实上,由后者可以 推出前者,但是由前者却推不出后者。 正 解 : 设 两 根 为
x1 , x 2

















? ( m ? 2) 2 ? (5 ? m ) ? 0 ?? ? 0 ? ? ? ( x1 ? 2) ? ( x 2 ? 2) ? 0 ? ? 2 ? m ? 4 ? ( x ? 2) ?( x ? 2) ? 0 ?5 ? m ? 4 ? 1 2 ?

解得 ? 5 ? m ? ? 4

二基本不等式的易错题
(一) 、忽视条件——正数 例题 5:已知 x , y ? R ,且 x ? y ? 1 ,求证 xy ? 错解:由基本不等式得 x ? y ? 2 xy
1 4

2

? xy ? (

x? y 2

) ?
2

1 4

剖析:公式 x ? y ? 2 xy 的使用的前提条件时 x,y 均为正数,错解忽视了这个前 提条件 正解: 1 ? ( x ? y ) 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xy ? 2 xy ? 2 xy
当且仅当 x ? y 时取“=”
? xy ? 1 4

(二)忽视条件二——定值
? ? 例题:6:若 ? ? ? 0, ? 2

a b ? ? 的最小值。 ? , a ? b ? 0 ,求 f (? ) ? 2 2 cos ? sin ? ?
2 2

错解: f (? ) ?

a

2 2

cos ?
a
2 2

?

b

2 2

sin ?
? b
2 2

?2

b 2 ab ? 2 ? 2 cos ? sin ? sin ? cos ?
b a

a

2

2

当且仅当

cos ?

sin ?

,即 tan ? ?
? 4 ab 2 tan ? 1 ? tan ?
2

此时

2 ab sin ? cos ?

?

4 ab sin 2?

? 2( a ? b )
2 2

?

a

2 2

cos ?

?

b

2 2

sin ?

? 2( a ? b )
2 2

即 ? f (? ) ? min ? 2( a ? b )
2 2

剖析:使用基本不等式求函数的最值时,需验证“一正二定三相等”的条件,上述解法违
? ? 背了第二条“二定值”要求 ? ? ? 0, ? 2 ? ? 内的任意一个值时不等式的右边均为定值。 ?

正解: f (? ) ?

a

2 2

cos ?
2

?

b

2 2

sin ?

? a (1 ? tan ? ) ? b (1 ?
2 2

1 tan ?
2

) )

? a ? b ? ( a tan ? ?
2 2 2 2 2 2

b
2

2 2

tan ?

? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b )

当且仅当 a tan ? ?
2 2

b

2 2

tan ?

,即当 tan ? ?

b a

时,

3

所以 f (? ) 的最小值为 ( a ? b )

2

(三) 、忽视条件三——相等 1、忽视等号是否成立 例题 7:求函数 y ?
2

x ?5
2

x ?4
2 2

的最小值。

错解:函数 y ?

x ?5 x ?4
2

?

x ? 4 ?1 x ?4
2

?

x ?4?
2

1 x ?4
2

?2

所以函数的最小值为 2。 剖析:使用基本不等式求函数的最值时,一定验证等号成立的条件即
a ? b ? 2 ab, 只 有 a ? b 才能取等号。 上述解法在等号成立时, 在实数范围内是不成立的。

正解: y ?

x ?5
2

x ?4
2

?

x ? 4 ?1
2

x ?4
2

?

x ?4?
2

1 x ?4
2

t= x ? 4 ? 2,
2

y?t?

1 t

在 t ? 2 时是单调递增的,
1 t ? 2? 1 2 ? 5 2 5 2

?y?t?

故函数的最小值是

2、多次使用,忽视等号是否同时成立
例题 8:已知两个正实数 x , y ,满足 x ? y ? 4 ,求
1 x ? 4 y

的最小值

错解:由已知得 4 ? x ? y ? 2 xy ? xy ? 4
1 x ? 4 y ?2 4 xy
4 y

?

4 xy

?2

所以

1 x

?

最小值是 2

剖 析 : 上 述 解 法 中 两 次 使 用 基 本 不 等 式 , 其 中 xy ? 4 等 号 成 立 必 须 满 足 x ? y , 而
1 x 4 y
4 xy

?

?2

的等号成立时,必须有 4 x ? y ,因为均为正数,所以两个等号不会同时成

立,所以上述解法是错误的。

4

正解:? 4(

1 x

?

4 y

) ? ( x ? y ) ?(

1 x

?

4 y

) ? 5?

4x y

?

y x

?9

当且仅当
4 3

1 x

?

4 y

且x? y ? 4,

即x ?
? 1 x 1 x ? 4

,y?

8 3

时取等号,

y 4 y

?

9 4
9 4



?

最小值为

5


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