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沛县歌风中学(如皋办学)2014届高三上学期期中模拟数学试题(3)


歌风中学(如皋办学)2013—2014 学年度第一学期

高三数学期中模拟试题(三)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.函数 y=sin2x+1 的最小正周期为 π . 2.已知集合 A={x|0<x<3},B={x|x ≥4},则 A∩B=
2

{x|2≤x<3} . .

>
3.若复数 z=(2﹣i) (a﹣i)(i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为 , 4. 已知点 A?1,3? , B?4,?1? ,则与向量 AB 同方向的单位向量为 5.执行如图的程序框图,若 p=15,则输出的 n= 5 .

4? ?3 ? ,- ? 5? ?5



6.已知 的值为 ﹣1 .



,则 tan(β﹣2α)

7. 如图, ?ABC 中, AB ? AC , BC ? 2 ,AD ? DC , 在

AE ?

1 1 EB BD ? AC ? ? 2 2 ,则 ,若
A . E D

CE ? AB ? ? 4 3
,

B

C

8、 已知函数

,且关于 x 的方程 f(x)+x﹣a=0 有且仅有两

个实根,则实数 a 的取值范围是 (﹣∞,1] . 9、 已知命题“若 (x) x , x) f =m g ( =mx ﹣2m, 则集合 是假命题,则实数 m 的取值范围是 (-7,0) . 考点: 复合命题的真假;命题的真假判断与应用.
1
2 2 2



3283140

专题: 计算题. 分析: 由

”是假命题可知(m ﹣m)x +2m<0 在 上有解,构造函数,h(x)=(m ﹣m)x +2m,结合二次函数的图象可求
2 2

2

2

m 的范围 2 2 2 解答: 解:∵f(x)=m x ,g(x)=mx ﹣2m, 又∵
2 2 2 2 2

”是假命题 上有解

∴m x <mx ﹣2m,即(m ﹣m)x +2m<0 在 令 h(x)=(m ﹣m)x +2m,
2 2

或,

故答案为: (-7,0) 10、 点评: 本题主要考查了复合命题的真假关系的应用,解题的关键是二次函数的性质的应用 10、函数 y ? sin ? x (x∈R)的部分图象如图所示,设 O 为坐标原点,P 是图象的最高点,B 是图象与 x 轴的交点,则 tan ?OPB = 8 . y 11.已知 a, b ? 0 ,且 等于 2 . P x O B

1 1 ? ? 4 , (a ? b) 2 ? 16(ab) 3 ,则 a ? b 的值 a b

12.在正项等比数列 ?an ? 中, Sn 为其前 n 项和, a3 ? 2 , S4 ? 5S2 ,则 a5 ? 13、如图,一块曲线部分是抛物线形的钢板,其底边长为 2,高 为 1,将此钢板切割成等腰梯形的形状,则切割后所得到的梯形 的面积的最大值为

8▲



32 27



14、在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f(x)=ex (x>0)的图象上的动点,该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M。过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N。设线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是_____________ 简析:解答该填空题,演算推导显然较繁,数形结合加判断猜想为首选。 先求出点 M、N、Q 的纵坐标。 设点 P 坐标为 P(x0,y0) (x0>0),则 f '(x0)=ex0,所以切线 l 方程为 l:y-y0=ex0(x-x0),过点 P 垂 - 直于 l 的直线方程为:y-y0=-e x0(x-x0); - 令 x=0,求得点 M 坐标为 M(0,(1-x0)ex0),点 N 坐标为 N(0,ex0+x0e x0); -x0 -x0ex0+x0e 所以,线段 MN 中点 Q 纵坐标 t=ex0+ (x0>0) 2
2

P 点运动过程中,M、N 中点 Q 的运动情况如下各图所示:

1 1 观察知,当 x=1 时,线段 MN 中点 Q 纵坐标 t 最大,即 tmax=2(e+e) 现对上述情况作一理论分析: 1 - 设 g(x)=ex+2(-xex+xe x) (x>0), 1 1 1 - - - - - 则 g'(x)=ex+2(-ex-xex+e x-xe x)=2(ex-xex+e x-xe x)=2(ex+e x)(1-x), 所以,当 0<x<1 时,g'(x)>0,g(x)为增函数;当 x>1 时,g'(x)<0,g(x)为减函数; 1 1 1 1 - - 所以,当 x=1 时,g(x)取得最大值 g(1)=e+2(-e+e 1)=2(e+e 1)=2(e+e);

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答 ....... 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 15. 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= ,sinB= 5 cosC. 3

(Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积. 【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点.
2 5 (Ⅰ) ∵cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos2 A ? , 3 3 又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA 2 5 cosC+ sinC. 3 3 整理得:tanC= 5 .

=

(Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC= 又由正弦定理知: 故 c ? 3 . (1) 对角 A 运用余弦定理:cosA= 解(1 ) (2)得: b ? 3 或 b= ∴ ? ABC 的面积为:S=
5 . 2
a c , ? sin A sin C

5 . 6

b2 ? c 2 ? a 2 2 ? . (2) 2bc 3

3 (舍去). 3

3

向量 n ? ?cos B,? cosC ? 互相垂直. (1)求角 B 的大小;

16、在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a , b , c ,已知向量 m ? ?2a ? c, b? 与

(2)求函数 y ? 2 sin 2 C ? cos?B ? 2C ? 的值域; 求 PA ? PB ? PC 的最小值. 解:(1)由题意知 m·n ? ?2a ? c ?cos B ? b cosC ? 0 即 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C ? 0

?

(3)若 AB 边上的中线 CO ? 2 ,动点 P 满足 AP ? sin 2 ? ? AO ? cos2 ? ? AC?? ? R? ,

?

2 sin A cos B ? sin?C ? B? ? sin A
所以 cos B ?
2

1 ? ,又 0 ? B ? ? ,所以 B ? . 2 3
2

(2) y ? 2 sin C ? cos?B ? 2C ? ? 2 sin C ? cos?

?? ? ? 2C ? ?3 ?

1 3 ? 1 ? cos 2C ? cos 2C ? sin 2C 2 2 1 3 ? 1 ? cos 2C ? sin 2C 2 2

?? ? ? 1 ? sin? 2C ? ? 6? ?
因为 0 ? C ? 所以 ?

2? ? ? 7? ,所以 ? ? 2C ? ? 3 6 6 6

1 ?? ? ? sin ? 2C ? ? ? 1 2 6? ? ?1 ? ? ?

故所求函数的值域为 ? ,2? . 2 (3)因为 AP ? sin 2 ? ? AO ? cos2 ? ? AC?? ? R? ,且 sin ? ? cos ? ? 1
2 2

所以 AP ? AO ? sin 2 ? ? 1 ? AO ? cos2 ? ? AC ? cos2 ? ? AC ? AO 即 OP ? cos
2

?

?

?

?

? ? OC ,又 cos2 ? ? ?0,1?

所以 P 在线段 OC 上 所以 PA ? PB ? PC ? 2PO? PC ,设 | PO |? t, t ? ?0,2? ,则

?

?

4

?PA ? PB?? PC ? ?2t?2 ? t ? ? 2t
所以当 t ? 1 时,取最小值 ? 2 .

2

? 4t ? 2?t ? 1? ? 2
2

17、已知数列 ?an ? 是等比数列, S n 是其前 n 项和

?1? 若 S 4 , S10 , S 7 成等差数列,证明: a1 , a7 , a4 也成等差数列;
?2? 设 S 3 ? 3 , S 6 ? 21 , bn
2 16 ? ?a n ? n 2 , 若数列 ?bn ? 是单调递减数列, 求实数 ? 的取值范围.

解 : 1 ) 设数 列 {an } 的 公 比为 q , 因 为 S 4 , S10 , S 7 成 等 差 数列 , 所 以 q ? 1 , 且 (

2S10 ? S 4 ? S 7 .
所以

2a1 1 ? q10 a 1 ? q 4 a1 1 ? q 7 , ? 1 ? 1? q 1? q 1? q
3 6

?

?

?

?

?

?

因为 q ? 0 ,所以 1 ? q ? 2q .所以 a1 ? a1q3 ? 2a1q6 ,即 a1 ? a4 ? 2a7 . 所以 a1 , a7 , a4 也成等差数列. (2)因为 S 3 ?

a 1 ? q3 a 1? q6 3 21 3 21 , S6 ? ,所以 1 , ? , 1 ? 2 16 1? q 2 1? q 16
3

?

?

?

?

由② ? ①,得 1 ? q ?

7 1 ,所以 q ? ? ,代入①,得 a1 ? 2 . 8 2

? 1? 所以 an ? 2 ? ? ? ? ? 2?

n ?1

? 1? , 又因为 bn ? ?an ? n ,所以 bn ? 2? ? ? ? ? 2?
2
*

n ?1

? n2 ,

由题意可知对任意 n ? N ,数列 {bn } 单调递减, 所以 bn?1 ? bn ,即 2? ? ?

? 1? ? 1? 2 ? ? ?n ? 1? ? 2? ? ? ? ? 2? ? 2?
*

n

n ?1

? n2 ,

即 6? ? ? ? ? 2n ? 1 对任意 n ? N 恒成立,

? 1? ? 2?

n

当 n 是奇数时, ? ? ?

(2n ? 1)2n (2n ? 1)2n ,当 n ? 1时 , ? 取得最大值-1, 6 6

10 (2n ? 1)2n (2n ? 1)2n ? 所以 ? ? ?1 ; 当 n 是偶数时, ? , n ? 2时 , 当 取得最小值 , 3 6 6
所以 ? ?

10 10 10 .综上可知, ?1 ? ? ? ,即实数 ? 的取值范围是 (?1, ) .… 3 3 3
5

18、某地政府为科技兴市,欲在如图所示的矩形 ABCD 的非农业用地中规划出一个高科技工 业园区(如图中阴影部分) ,形状为直角梯形 QPRE(线段 EQ 和 RP 为两个底边) ,已知 AD 试 AB ? 2km, BC ? 6km, AE ? BF ? 4km, 其中 AF 是以 A 为顶点、 为对称轴的抛物线段. 求该高科技工业园区的最大面积. D R E F C

Q A

P B

?

解析:

:以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系如图,



,……(2 分)

由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为 在抛物线的方程为 ,…(5 分)

,由

得,

,∴AF 所



,∴EC 所在直线的方程为

,设

,则

,9 分∴工业园区的面积

,…(12 分)









(舍去负值)

,…(13 分)



变化时,



的变化情况如下表:

6

x
+ 0 -

↑ 极大值



由表格可知,当

时,

取得最大值

.……(15 分)

答:该高科技工业园区的最大面积

.………(16 分)

19、已知定义域为 R 的奇函数 f(x),当 x>0 时,f(x)=lnx. (1)求函数 f(x)的解析式; a (2)若函数 h(x)=f(x)+ 在[1,e]上的最小值为 3,求 a 的值; x a (3)若存在 x0∈[1,+∞),使得 f(x0)>x02+x ,求实数 a 的取值范围.
0

解:(1) f(x)定义域为 R 的奇函数 ∴f(0)=0 当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-ln(-x) x>0 ?lnx, ? x=0 ∴f(x)=?0, ?-ln(-x) ,x<0 ? a (2) h(x)=lnx+ x 1 a x-a ∴h?(x)= - 2= 2 x x x 由 h?(x)=0 得 x=a ①当 a≤1 时,f(x)在[1,e]上单调递增 ∴h(x)min=h(1)=a ∴a=3,不符合 a≤1,舍去 ---------------------6 分 --------------------1 分 --------------------3 分 --------------------- 4 分

②当 1<a<e 时,f(x)在[1,a]上单调递减,在[a,e]上单调递增 ∴h(x)min=h(a)=a ∴a=3,不符合 1<a<e,舍去 ---------------------8 分

7

③当 a≥e 时,f(x)在[1,e]上单调递减 a ∴h(x)min=h(e)=1+ e a ∴1+ =3,即 a=2e e a 综上所述:当 a=2e 时,h(x)=f(x)+ 在[1,e]上的最小值为 3 ---------------------10 分 x a (3)由题意:f(x)>x2+ x 在[1,+∞)上有解 即 a<xlnx-x3 在[1,+∞)上有解 设 g(x)=xlnx-x3. (x∈[1,+∞)) g?(x)=lnx+1-3x2 设 φ(x)=lnx+1-3x2 (x∈[1,+∞)) 1 则 φ?(x)=x -6x 当 x∈[1,+∞)时 φ?(x)<0 恒成立 ∴φ(x)在[1,+∞)上单调递减 ∴φ(x)≤φ(1)=-2 ∴φ(x)在[1,+∞)上单调递减 g(x)在[1,+∞)上单调递减 ∴g(x)max=g(1)=-1 ∴ 实数 m 的取值范围为(-∞,-1). 20、已知 f ( x) ? ax ? ln(? x ), x ? (?e, 0) , g ( x ) ? ? ---------------------16 分 ---------------------14 分 --------------------12 分

ln( ? x) ,其中 e 是自然常数, x

a ? R.
(1)讨论 a ? ?1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下, | f ( x) |? g ( x) ?

1 ; 2

(3)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,如果存在,求出 a 的值;如果不存在,请 说明理由.

8

9

10


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