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2014-2015学年度高二第一学期期末考试试卷(一)


2014-2015 学年度高二第一学期期末考试试卷(一)

文科数学试卷
注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡 的密封线内. 2. 选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需要改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须

用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定 区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 第Ⅰ卷 (本卷共计 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的

1.已知命题 A. C.
2 2 2. “ a ? b ? 0 ”是“ a ? b ”的(

( B. D. )



A 充分不必要体条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3.已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 垂直,则 m 的值为 ( A.0
2

B.2
2

C.-8

D.10 )

4.若双曲线 x ? ky ? 1 的离心率为 2,则实数 k 的值为( A.

1 2
3

B.

1 4

C. ?

1 3

D. ? )

1 2

( ? 1,?3) 5.曲线 y ? 4 x ? x 在点 处的切线方程是(
A. y ? 7 x ? 4 B. y ? 7 x ? 2

C. y ? x ? 4

D. y ? x ? 2

1

6.过点 P(0,1 与抛物线 y 2 ? x 有且只有一个公共点的直线有( ) A.1 条 7.函数 f ( x) ? x ? A. ?- 1 , ,1? B.2 条 C..3 条 )



D.4 条

1 的单调递减区间是( x

B. ?- 1 , ,0? ? ?0, ,1?

C. ?- 1 , ,0? 和 ?0, ,1?

D. ?- ?, ,-1? 和 ?1, ? ??

8.如图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为 2 的正三角形,俯视图轮廓为正方形,则此几何体的表面积是( A. 4 ? 4 3 B.12 C. 4 3 D .8 )
俯视图


主视图 侧视图

9.关于直线 l , m 及平面 ? , ? ,下列命题中正确的是( A.若 l∥ ? , ? ? ? ? m ,则 l∥m C.若 l⊥ ? ,l∥ ? ,则 ? ? ?

B.若 l ∥ ? ,m∥ ? ,则 l ∥m D.若 l∥ ? ,m⊥l,则 m⊥ ?

10.若函数 f ( x) ? 2 x 2 - ln x 在其定义域内的一个子区间 ?k ? 1 , , k ? 1? 内不是单调函数,则 实数 k 的取值范围是( A. ? ?) B. ?1 ,?

? 1 3? ,? ? 2 2?

? 3? ? 2?

C. ? , , ? ?1

? ?

3? 2?

1 , 2? D. ?

第Ⅱ卷 (本卷共计 100 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分
11.离心率为

1 ,长轴长为 4,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程是 2

12. 已知 f ( x) ? a x x a ,则 f ' (1) ? 13.圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ?4) , B(0, ?2) ,则圆 C 的方 程为 .
N D C M

14.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中; ①CN 与 AF 平行;② CN 与 BE 是异面直线; ③ CN 与 BM 成 60 ?; ④DE 与 BM 垂直.
E

A

B F

以上四个命题中,正确命题的序号是

2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算 步骤。
15. (本小题满分 12 分) 双曲线的离心率等于 渐近线方程。

x2 y2 5 ? ? 1 有公共的焦点,求此双曲线的方程和它的 ,且与椭圆 9 4 2

16.(本小题满分 12 分) 如 图,在直 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中 , AC=3 , BC=4 , AB=5 , C 1
B1

AA1 ? 4 ,点 D 是 AB 的中点.
(1)求证: AC1 ∥ 平面 CDB1 ;

A1 C

(2)求证:AC⊥BC1.
D A

B

17. (本小题满分 14 分) 如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,且 AB=4, 点 D 为线段 AB 上一点,且 AD ? P

1 DB ,点 C 为 3

圆 O 上一点,且 BC ? 3 AC .点 P 在圆 O 所在 平面上的正投影为点 D,PD=DB. (1)求证: CD ? 平面 PAB ; (2)求点 D 到平面 PBC 的距离. A C D O B

18. (本小题满分 14 分)
3

某工厂生产某种产品 , 每日的成本 C ( 单位 : 万元 ) 与日产量 x ( 单位 : 吨 ) 满足函数关系式

C ? 3 ? x ,每日的销售额 S (单位:万元)与日产量 x 的函数关系式

k ? ? 5, (0 ? x ? 6) ?3x ? S ?? x ?8 ? ( x ? 6) ?14,
已知每日的利润 L ? S ? C ,且当 x ? 2 时, L ? 3 . (1)求 k 的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.

19. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C:

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点 A 为抛物线 y ? 8x 2 a b

的焦点,上顶点为 B,离心率为 (1)求椭圆的方程

3 。 2

(0,2) (2)过点 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P, Q 两点,若线段 PQ 的中点的横坐
标是 ?

4 2 ,求直线 l 的方程。 5

20. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ?

1 2 x ? ln x( x ? 0) ,其中 a 为非零常数。 2a

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 0 ,过点 P( a ,0) 作函数 y ? f ( x) 的导函数 样的切线可作几条?并加以证明。 (3)当 x ? ?1,2? 时,不等式 f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围。

y ? f ' ( x) 的图像的切线,问这

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4

答案
1-10:CABCD CCBCB 12. a ln a ? a 2 13、 (x-2)2+(y+3)2=5 14.③④

x2 y2 11. ? ?1 4 3
15 . ? 椭圆

x2 y2 ? ? 1的焦点为(? 5, 0) ,则双曲线的 c ? 5 9 4 x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

可设双曲线的方程为

由双曲线的离心率等于

5 c 5 ,则 ? ,? a ? 2 2 a 2

b ? c2 ? a2 ? 1
则双曲线的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

1 x 2 16 .证明: (1)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE,
渐近线方程为 y ? ? 因为 E 为正方形 CBB1C1 对角线的交点, 所以 E 为 C1B 的中点. 又 D 是 AB 的中点, 所以 DE 为?ABC1 的中位线, 故 DE//AC1. (3 分)
A

C1

B1

(1 分)

A1 C

E

B D

因为 AC1?平面 CDB1,DE?平面 CDB1,所以 AC1//平面 CDB1. (2)在?ABC 中,AC=3,BC=4,AB=5, 所以 AB2=AC2+BC2,故 AC⊥BC. 因为 C1C⊥平面 ABC,AC?平面 ABC,所以 AC⊥C1C. 又 C1C?平面 BB1C1C,BC?平面 BB1C1C,且 C1C∩BC=C, 所以 AC⊥平面 BB1C1C. 又 BC1?平面 BB1C1C,所以 AC⊥BC1. 17. (1)证明: 连接 CO. 由 3AD=DB 知,点 D 为 AO 的中点. 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , 由 3 AC ? BC 知, ?CAB ? 60 ,
5

(5 分)

(7 分) (9 分)

(11 分) (12 分) (1 分)

∴?ACO 为等边三角形. 故 CD ? AO .

(2 分) (3 分)

P

∵ 点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴PD ? 平面 ABC , (4 分) 又 CD ? 平面 ABC ,∴PD ? CD , (5 分) 由 PD?平面 PAB,AO?平面 PAB,且 PD 得 CD ? 平面 PAB . C (2)由(1)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 , (7 分) ∴VP ? BDC ? 又 PB ? D F O (6 分) E

AO ? D ,

A

B

1 1 1 1 1 3 3 . (9 分) S?BDC ? PD ? ? DB ? DC ? PD ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 3 2 3 2 2

PD2 ? DB2 ? 3 2 ,PC ? PD2 ? DC 2 ? 2 3 ,BC ? DB2 ? DC 2 ? 2 3 ,
1 9 3 15 . ? 3 2 ? 12 ? ? 2 2 2
(12 分)

∴?PBC 为等腰三角形,则 S?PBC ? 设点 D 到平面 PBC 的距离为 d , 由 VP? BDC ? VD?PBC 得, S?PBC ? d ?

1 3

3 3 3 5 ,解得 d ? . 2 5

(14 分)

18.解:由题意,每日利润 L 与日产量 x 的函数关系式为

k ? ? 2x ? ?2 L?? x ?8 ? ?11 ? x

(0 ? x ? 6) ( x ? 6)
k ?2 2?8

???4 分

(1)当 x ? 2时,L ? 3 即: 3 ? 2 ? 2 ? 得 k ? 18

??5 分 ????6 分
max

(2)当 x ? 6 时, L ? 11 ? x 为单调递减函数,故当 x ? 6时,L

? 5 ????8 分
???11 分

当0 ? x ? 6 时, L ? 2 x ?
当且仅当 2( x ? 8) ?

18 18 ? 2 ? 2( x ? 8) ? ? 18 ? 6 x ?8 x ?8

18 (0 ? x ? 6) 即 x ? 5时 Lmax ? 6 x ?8

????13 分 ????14 分

综合上述情况,当日产量为 5 吨时,日利润达到最大 6 万元. 19. 解: (1)抛物线 y2=8x 的焦点为 A(2,0) ,

6

∵ 椭圆 ∴ a=2…(2 分) ∵ 离心率 ,∴

的右顶点 A 为抛物线 y2=8x 的焦点

…(3 分)

故 b2=a2﹣c2=1…(5 分) 所以椭圆 C 的方程为: (2)设直线 由 ,消去 y 可得 …(8 分) …(6 分)

因为直线 l 与椭圆 C 相交于 P,Q 两点,所以△ =128k2﹣16(4k2+1)>0 解得 …(9 分)



…(10 分)

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,PQ 中点 M(x0,y0) 因为线段 PQ 的中点横坐标是 ,所以 …(12 分)

解得 k=1 或 因为

…(13 分) ,所以 k=1 …(14 分)

因此所求直线

20.解: (1) f ?( x ) ? x ?

1 x2 ?1 ? . x x

------------------------2 分

因为 x ? 0 ,令 f ?( x) ?0 得 x ? 1 ;令 f ?( x) ?0 得 0 ? x ? 1 .所以函数的增区间为 (1, ??) ,
7

减区间为 (0,1) . (2)因为 f ?( x ) ?

------------------------4 分

1 1 1 1 x ? ,设 g ( x) ? f ?( x) ( x ? 0) ,则 g ?( x) ? ? 2 .----------5 分 a x a x

设 切 点 为 Q( x0 , y0 ) , 则 切 线 的 斜 率 为 k ? g ?( x0 ) ?

1 1 ,切线方程 为 ? a x0 2

1 1 1 1 1 1 y ? y0 ? ( ? 2 )( x ? x0 ) 即 y ? ( x0 ? ) ? ( ? 2 )( x ? x0 ) ,由点 P ( a ,0) 在切线 a x0 a x0 a x0
上知 ?( x0 ?

1 a

1 1 1 2 ) ? ( ? 2 )( a ? x0 ) ,化简得 x0 ? 2 ax0 ? a ? 0 ,即 x0 ? a . x0 a x0
2 (x ? a ) . a
------------------------8 分

所以仅可作一条切线,方程是 y ? (3) f ?( x ) ?

1 1 x2 ? a x? ? ,x ? 0. a x ax

f ( x) ? 2 在 ?1, 2? 上恒成立 ? f ( x) 在 ?1, 2? 上的最小值 f ( x)min ? 2 .--------------9 分

? ?) 上单调递减, f ( x) 在 [1, 2] 上最小值为 ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0,f ( x) 在 (0,
f (2) ? 2 ? ln 2 ? 0 ,不符合题意,故舍去; a
------------------------10 分

②当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 当0?

a.
1 ? 2; 2a

a ? 1时,即 0 ? a ? 1 时,函数在 [1, 2] 上递增, f ( x) 的最小值为 f (1) ?
1 . 4

解得 0 ? a ?

------------------------11 分

当 a ? 2 时,即 a ? 4 时,函数在 [1, 2] 上递减, f ( x ) 的最小值为 f (2) ? 解; 当1 ? ------------12 分

2 ? ln 2 ? 2 ,无 a

a ? 2 时,即 1 ? a ? 4 时,函数在 [1, a ] 上递减、在 [ a ,2] 上递增,所以 f ( x) 的最
1 1 ? ln a ? 2 ,无解. 2 2
------------------------13 分

小值为 f ( a ) ?

综上,所求 a 的取值范围为 ? 0, ? .

? ?

1? 4?

------------------------14 分

8


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