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【最高考系列】)2016届高考数学一轮总复习 第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形课时训练 理


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第三章

三角函数、三角恒等变换及解三角形

第 1 课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1. 角 α 的终边过点 P(-1,2),则 sinα =________. 2 5 答案: 5 y 2 2 5 解析:sinα = = = . r 5 5 2. 已知角

θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上 2 5 一点,且 sinθ =- ,则 y=________. 5 答案:-8 y 2 5 2 解析:因为 sinθ = 2 =- ,所以 y<0,且 y =64,所以 y=-8. 2 5 4 +y 3. 已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cosα ≤0,sinα >0,则实数 a 的取值 范围是__________. 答案:(-2,3] 解析:由 cosα ≤0,sinα >0 可知,角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上,所 ?3a-9≤0, ? 以有? 解得-2<a≤3. ?a+2>0, ? 2 4. 已知扇形的周长是 6cm,面积是 2cm ,则扇形的中心角的弧度数是________. 答案:1 或 4 2r+l=6, ? ? ? ?r=1, ? ?r=2, 解析:设此扇形的半径为 r,弧长是 l,则?1 解得? 或? 从而 α ?l=4 ?l=2, rl=2, ? ? ? 2 ? l 4 l 2 = = =4 或 α = = =1. r 1 r 2 4 5. 已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin30°),且 cosα =- ,则 m=________. 5 1 答案: 2 2 -8m 4 4m 1 2 解析: 因为 r= 64 m +9, 所以 cosα = =- , 所以 m>0 , 所以 = , 2 2 5 64m + 9 25 64 m +9 1 故 m= . 2 2π 6. 若点 P 在角 的终边上,且|OP|=2,则点 P 的坐标是________. 3 答案:(-1, 3) 2 2 y 2 x 解析: π 的终边在第二象限,设 P(x,y),则 sin π = ,∴ y= 3;cos π = ,x 3 3 2 3 2 =-1.

7. 若角 α 的终边上有一点 P(-4,a),且 sinα ?cosα =

3 ,则 a=________. 4

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4 3 答案:-4 3或- 3 解析:∵ sinα ?cosα = 3 >0,∴ sinα 、cosα 同号,∴ 角 α 在第三象限,即 P(- 4 a 16+a
2

4,a)在第三象限,∴ a<0.根据三角函数的定义 4 3 - . 3

?

-4 16+a

2



3 ,解得 a=-4 3或 4

2π 2 2 8. 点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x +y =1 按逆时针方向运动 弧长到达点 Q,则点 Q 3 的坐标为________. 3? ? 1 答案:?- , ? ? 2 2? 2π 2π 解析: 由弧长公式 l=|α |r, l= , r=1 得点 P 按逆时针方向转过的角度为α = , 3 3 2π ? 3? ? 1 ? 2π 所以点 Q 的坐标为?cos ,sin ?,即?- , ?. 3 3 ? ? ? 2 2? 9. (改编题)若 α 的终边落在 x+y=0 上,求出在[-360°,360°]之间的所有角 α . 3π 解:若角 α 的终边落在第二象限,则{α |α = +2kπ ,k∈Z};若角 α 的终边落在 4 7π 3π 第四象限, 则{α |α = +2kπ , k∈Z}, ∴ α 终边落在 x+y=0 上角的集合为{α |α = 4 4 7π 3π 3π +2kπ ,k∈Z}∪{α |α = +2kπ ,k∈Z}={α |α = +kπ ,k∈Z}.令-2π ≤ + 4 4 4 5π π 3π 7π kπ ≤2π ,∴ k∈{-2,-1,0,1},∴ 所求 α ∈{- ,- , , }. 4 4 4 4 10. 已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sinθ = 象限,并求 cosθ 和 tanθ 的值. 解:由题意得,r= 3+m ,∴ sinθ =
2

2 m,试判断角 θ 所在的 4

m 3+ m

2



2 m. 4

∵ m≠0,∴ m=± 5.故角 θ 是第二或第三象限角. 当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5),角 θ 是第二象限角, x - 3 6 y 5 15 ∴ cosθ = = =- ,tanθ = = =- ; r 2 2 4 x - 3 3 当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5),角 θ 是第三象限角. x - 3 6 y - 5 15 ∴ cosθ = = =- ,tanθ = = = . r 2 2 4 x - 3 3 6 15 6 15 ,tanθ =- 或 cosθ =- ,tanθ = . 4 3 4 3 11. 如图, 单位圆(半径为 1 的圆)的圆心 O 为坐标原点, 单位圆与 y 轴的正半轴交于点 A,与钝角 α 的终边 OB 交于点 B(xB,yB),设∠BAO=β . (1) 用 β 表示 α ; 4 (2) 如果 sinβ = ,求点 B(xB,yB)的坐标; 5 (3) 求 xB-yB 的最小值. 综上可知,cosθ =-

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π 3π 解:(1) ∠AOB=α - =π -2β ,所以 α = -2β . 2 2 yB ? 3π ? 2 (2) 由 sinα = , r =1,得 yB = sinα = sin? -2β ? =- cos2 β = 2sin β - 1= r ? 2 ? 2 7 24 ?4? ? 24 7 ? 2 2?? ? -1= .由 α 为钝角,知 xB=cosα =- 1-sin α =- .所以 B?- , ?. 25 25 ?5? ? 25 25? π ? ? (3) xB-yB=cosα -sinα = 2cos?α + ?. 4? ? π ?3π 5π ? ?π ? , ?, 又 α ∈? ,π ?,则 α + ∈? 4 ? 4 ? 4 ?2 ? π? ? 2? ? cos?α + ?∈?-1,- ?. 4? ? ? 2? 所以 xB-yB 的最小值为- 2.

第 2 课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1. 计算:sin930°=________. 1 答案:- 2 1 解析:sin930°=sin210°=-sin30°=- . 2 3 1 ? ? 2. 如果 sin(π +A)= ,那么 cos? π -A?=__________. 2 ?2 ? 1 答案: 2 1 1 1 ?3 ? 解析:∵ sin(π +A)= ,∴ -sinA= .∴ cos? π -A?=-sinA= . 2 2 2 ?2 ? π π ?π ? 1 3. 已知 sin? -α ?= ,且-π <α <- ,则 cos( -α )=________. 2 12 ?12 ? 3 2 2 答案:- 3

?π 解析: ∵ sin? -α ?12
=-

π 7π π 13π ?=1, ?π ? ∴ < -α < , ∴ cos? -α ? ? 3 又-π <α <- 2 , 12 12 12 ? ?12 ?

2 2 ? 2?π 1-sin ? -α ?=- . 3 ?12 ? 2π ? ?π ? 2 ? 4. 已知 cos? -α ?= ,则 sin?α - ?=________. 3 ? ?6 ? 3 ? 2 答案:- 3

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2π ? ? π ?π ?? ? 解析:sin?α - ?=sin?- -? -α ?? 3 ? ?? ? ? 2 ?6 π π π 2 ? ? ?? ? ? =-sin? +? -α ??=-cos? -α ?=- . 3 ?? ?6 ? ?2 ?6 sin(π -α )?cos(2π -α ) ? 25π ?=________. 5. 已知 f(α )= ,则 f?- ? 3 ? cos(-π -α )?tan(π -α ) ? 1 答案: 2 sinα cosα ? 25π ? = cos ?-25π ? = 解析 :∵ f(α ) = = cos α , ∴ f ?- ? ? ? 3 ? 3 ? -cosα ?(-tanα ) ? ? π? π 1 ? cos?8π + ?=cos = . 3 3 2 ? ? π 6. (2014?南京三模)已知 tanα =-2, <α <π ,则 cosα +sinα =________. 2 答案: 5 5

sinα 2 2 2 解析: ∵ tanα = =-2, ∴ sinα =-2cosα , 代入 sin α +cos α =1, 得 5cos cosα 1 π 5 2 5 2 α =1,cos α = .又 <α <π ,∴ cosα =- .于是 sinα = ,∴ cosα +sinα 5 2 5 5 = 5 . 5

?π ? 1 ?2π +2α ?=________. 7. 若 sin? -α ?= ,则 cos? ? ?6 ? 3 ? 3 ? 7 答案:- 9 ?π ? ?π ? π 解析:∵ ? +α ?+? -α ?= , ?3 ? ?6 ? 2 π π π 1 2π ?π ? ∴ sin ? -α ? = sin[ - ( + α )] = cos( + α ) = , 则 cos( + 2α ) = 6 2 3 3 3 3 ? ? 7 ? 2?π 2cos ? +α ?-1=- . 9 ?3 ? 1 8. 若 3sinα +cosα =0,则 2 =________. cos α +sin2α 10 答案: 3 2 2 2 1 1 sin α +cos α tan α +1 解析:由已知得 tanα =- ,则 2 = = = 2 3 cos α +sin2α cos α +2sinα cosα 1+2tanα 1 +1 9 10 = . ? 1? 3 1+2??- ? ? 3? sin(π -α )cos(2π -α )tan(-α +π ) 9. 已知 α 为第三象限角, 且 f(α )= . sin(π +α )tan(2π -α ) (1) 化简 f(α ); 3π ? 1 ? (2) 若 cos?α - ?= ,求 f(α )的值; 2 ? 5 ?
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32π (3) 若 α =- ,求 f(α )的值. 3 sinα cosα (-tanα ) 解:(1) f(α )= =-cosα . (-sinα )(-tanα ) 1 2 6 (2) 由已知得 sinα =- ,则 cosα =± . 5 5 2 6 又 α 为第三象限角,所以 cosα =- . 5 2 6 所以 f(α )=-cosα = . 5 32π 32π 2π 1 (3) f(α )=-cos(- )=-cos =-cos = . 3 3 3 2 1 cos(π +θ ) 10. 已 知 sin(3 π + θ ) = , 求 + 3 cosθ [cos(π -θ )-1] cos(θ -2π ) 的值. 3 π ? ? ?3π ? sin?θ - ?cos(θ -π )-sin? +θ ? 2 ? ? ? 2 ? 1 1 解:∵ sin(3π +θ )=-sinθ = ,∴ sinθ =- , 3 3 -cosθ cos(2π -θ ) ∴ 原式= + cosθ (-cosθ -1) 3 π ? ? -sin? -θ ?cos(π -θ )+cosθ ? 2 ? 1 cosθ 1 1 = + = + 2 1+cosθ -cos θ +cosθ 1+cosθ 1-cosθ 2 2 2 = = 2 = =18. 2 1-cos θ sin θ 2 1 ?- ? ? 3? ? ? π 5 2sinα cosα -cosα +1 11. 已知 0<α < ,若 cosα -sinα =- ,试求 的值. 2 5 1-tanα 5 1 4 , ∴ 1-2sinα ? cosα = , ∴ 2sinα ? cosα = .∴ (sin 5 5 5 4 9 2 α +cosα ) =1+2sinα cosα =1+ = . 5 5 解: ∵ cosα -sinα =- π 3 5 5 ∵ 0<α < ,∴ sinα +cosα = .由 cosα -sinα =- , 2 5 5 3 5 2 5 5 sinα +cosα = ,得 sinα = ,cosα = ,∴ tanα =2, 5 5 5 4 5 - +1 5 5 2sinα cosα -cosα +1 5 9 ∴ = = - . 1-tanα 1-2 5 5

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第 3 课时 三角函数的图象和性质

?π ? ?π ? ?π ? 1. 已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ )对任意 x 都有 f? +x?=f? -x?,则 f? ?= ?6 ? ?6 ? ?6? __________. 答案:-2 或 2 π ?π ? ?π ? ?π ? 解析:由 f? +x?=f? -x?知,函数图象关于 x= 对称,f? ?是函数 f(x)的最大 6 6 6 ? ? ? ? ?6? 值或是最小值. π? π ? 2. 把函数 y=sin?5x- ?的图象向右平移 个单位,再把所得函数图象上各点的横坐 2? 4 ? 1 标缩短为原来的 ,所得的函数解析式为______________. 2 π? ? 答案:y=sin?10x+ ? 4? ? π π π 解析:将原函数的图象向右平移 个单位,得到函数 y = sin[5(x - ) - ] = 4 4 2 7 ? 1 ? sin?5x- π ?的图象,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的 ,得到函数 y= 4 2 ? ? 7 π π ? ? ? ? sin?10x- ?的图象,即 y=sin?10x+ ?. 4 ? 4? ? ? π? π ? 3. (2014?苏州期末)若函数 f(x)=sin(x+θ )?0<θ < ?的图象关于直线 x= 对 2? 6 ? 称,则 θ =____________. π 答案: 3 π π 解析:函数 y=sin(x+θ )的对称轴方程为 x+θ = +kπ (k∈Z),令 x= ,得θ = 2 6 π π ? π? +kπ (k∈Z).又 θ ∈?0, ?,从而 θ = . 2 3 3 ? ? π? ? 4. 已知函数 f(x)=3sin?ω x- ?(ω >0)和 g(x)=3cos(2x+φ )的图象的对称中心完 6? ? π ? ? 全相同,若 x∈?0, ?,则 f(x)的取值范围是__________. 2? ? 3 答案:[- ,3] 2 解析:由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故 ω =2,所 π? π π π 5π 1 ? 以 f(x)=3sin?2x- ?,那么当 x∈[0, ]时,- ≤2x- ≤ ,所以- ≤sin(2x- 6? 2 6 6 6 2 ? π 3 )≤1,故 f(x)∈[- ,3]. 6 2 5. (2014?南通三模 ) 已知函数 f(x) = sin(ω x + φ ) 的图象如图所示,则 f(2) = __________.

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答案:-

2 2

3 8 2π 3 3 π 解析:由题知 T=2,从而 T= = ,∴ ω = π .令 x=1,得 π ?1+φ = ,得 4 3 ω 4 4 2 π φ =- , 4 π? 2 ?3 从而 f(x)=sin? π x- ?,从而 f(2)=- . 4? 2 ?4 π? π ? 6. (2014?无锡期末)已知函数 f(x)=sin?2x- ?的图象 C1 向左平移 个单位得到图 6? 4 ? 象 C2,则 C2 在[0,π ]上的单调减区间是____________. π 7 答案:[ , π ] 12 12 π? π π 3 ? 解析:由题设可知 C2 的曲线方程 y=sin?2x+ ?,令 +2kπ ≤2x+ ≤ π +2kπ , 3 2 3 2 ? ? π 7 π 7 得 +kπ ≤x≤ π +kπ ,令 k=0 得 C2 在[0,π ]上的单减区间为[ , π ]. 12 12 12 12 π? ? 7. (2014?苏北四市期末)已知函数 f(x)=2sin?2ω x- ?(ω >0)的最大值与最小正周 4? ? 期相同,则函数 f(x)在[-1,1]上的单调增区间为________________. 1 3 答案:[- , ] 4 4 π? 2π π π π π ? 解析:由题设 = =2,∴ ω = ,∴ y=2sin?π x- ?.令- +2kπ ≤π x- 4? 2ω ω 2 2 4 ? π 1 3 1 3 ≤ +2kπ ,解得- +2k≤x≤ +2k,令 k=0,得 x∈[- , ]. 2 4 4 4 4 8. (2014?南京二模)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A、ω 、φ 为常数,A>0,ω >0,0 ?π ? <φ <π )的图象如图所示,则 f? ?=________. ?3?

答案:1 3 11 π 3 解析:由题设 A=2, T= π - = π ,T=π ,从而 ω =2,从而 f(x)=2sin(2x+ 4 12 6 4 π ?π ? 从而 2?π +φ =π , ?π ? ?2π π ? φ ). 由图知最高点? ,2?, 从而 φ = , 从而 f? ?=2sin? + ? 6? 6 2 6 ?6 ? ?3? ? 3 π =2?sin =1. 6 π π? ? 9. (2014?重庆)已知函数 f(x)= 3sin(ω x+φ )?ω >0,- ≤φ < ?的图象关于 2 2? ? π 直线 x= 对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π . 3 (1) 求 ω 和 φ 的值;
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2π ? 2π ? 3 ?π ?α ? ? (2) 若 f? ?= ? <α < ?,求 cos?α + ?的值. 3 ? 3 ? ?2? 4 ?6 ? 解:(1) 因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π ,所以 f(x)的最小正周期 T= 2π π ,从而ω = =2. T π 又 f(x)的图象关于直线 x= 对称, 3 π π 所以 2? +φ =kπ + ,k=0,±1,±2,?. 3 2 π π π 因为- ≤φ < ,所以 φ =- . 2 2 6 3 ?α ? ? α π? (2) 由(1)得 f? ?= 3sin?2? - ?= , 2 6? 4 ?2? ? π? 1 ? 所以 sin?α - ?= . 6? 4 ? π 2π π π 由 <α < ,得 0<α - < , 6 3 6 2 2 π? π? 15 ? ?1? 2? 所以 cos?α - ?= 1-sin ?α - ?= 1-? ? = . 6? 6? 4 ? ? ?4? π? π? 3π ? ?? ? 因为 cos?α + ?=sinα =sin??α - ?+ ? 6? 6? 2 ? ? ? ? π? π π? π ? ? =sin?α - ?cos +cos?α - ?sin 6 6? 6 6 ? ? ? 1 3 15 1 3+ 15 = ? + ? = . 4 2 4 2 8 10. 已知函数 f(x)= 3sin(ω x+φ )-cos(ω x+φ )(0<φ <π ,ω >0)为偶函数, π 且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 . 2 ?π ? (1) 求 f? ?的值; ?8? ? π? (2) 求函数 y=f(x)+f?x+ ?的最大值及对应的 x 的值. 4? ? 解:(1) f(x)= 3sin(ω x+φ )-cos(ω x+φ ) 3 1 =2[ sin(ω x+φ )- cos(ω x+φ )] 2 2 π? ? =2sin?ω x+φ - ?. 6? ? π π ∵ f(x)为偶函数,∴ φ - = +kπ (k∈Z). 6 2 2π 2π ∴ φ = +kπ (k∈Z).∵ 0<φ <π ,∴ φ = . 3 3 π ? ? ∴ f(x)=2sin?ω x+ ?=2cosω x. 2? ? 2π π 由题意得 =2? ,∴ ω =2. ω 2 π ?π ? 故 f(x)=2cos2x.因此 f? ?=2cos = 2. 4 ?8?

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π? ? π? ? (2) y=2cos2x+2cos2?x+ ?=2cos2x+2cos?2x+ ? 4? 2? ? ? π ? ? =2cos2x-2sin2x=2 2sin? -2x?. ?4 ? π π 令 -2x=2kπ + (k∈Z),y 有最大值 2 2, 4 2 π ∴ 当 x=-kπ - (k∈Z)时,y 有最大值 2 2. 8 π 11. 已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< ,x∈R)的部分图象如下图所 2 示. (1) 求函数 f(x)的解析式; 2? ? (2) 当 x∈?-6,- ?时, 求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值. 3? ?

2π π 解:(1) 由图象知 A=2,T=8.∵ T= =8,∴ ω = . ω 4 ? π ? 又图象经过点(-1,0),∴ 2sin?- +φ ?=0. ? 4 ? π? π π ?π ∵ |φ |< ,∴ φ = ,∴ f(x)=2sin? x+ ?. 4? 2 4 ?4 (2) y=f(x)+f(x+2) π π π π π =2sin( x+ )+2sin( x+ + ) 4 4 4 2 4 π π π π π π =2sin( x+ )+2cos( x+ )=2 2sin( x+ ) 4 4 4 4 4 2 π =2 2cos x. 4 2? 3π π π ? ∵ x∈?-6,- ?,∴ - ≤ x≤- , 3? 2 4 6 ? π π 2 π ∴ 当 x=- ,即 x=- 时,y=f(x)+f(x+2)取最大值为 6;当 x=-π ,即 x 4 6 3 4 =-4 时,y=f(x)+f(x+2)取最小值为-2 2.第 4 课时 两角和与差的正弦、余弦和正 切公式 1. 计算:sin43°cos13°+sin47°cos103°=________. 1 答案: 2 1 解析:原式=sin43°cos13°-cos43°sin13°=sin(43°-13°)=sin30°= . 2 π π 3 ? ? ? ? 2. 已知 cos?θ - ?= ,θ ∈? ,π ?,则 cosθ =________. 4? 5 ? ?2 ? 答案:- 2 10
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π? 4 π ? π 3π ? ?π ? ? 解析:因为 θ ∈? ,π ?,所以 θ - ∈? , ?,所以 sin?θ - ?= ,cosθ = 4 ? 4? 5 4 ?4 ?2 ? ? π? π? π? π π π 3 2 4 2 2 ?? ? cos??θ - ?+ ?=cos?θ - ?cos -sin(θ - )sin = ? - ? =- . 4? 4? 4? 4 4 4 5 2 5 2 10 ? ?? cos10°+ 3sin10° 3. 计算: =________. 1-cos80° 答案: 2 cos10°+ 3sin10° 2cos(10°-60°) 2cos50° 解析: = = = 2. 2 1-cos80° 2sin 40° 2sin40° 3 ? 4 ? ?π ? 4. 已知 α ∈?π , π ?,且 cosα =- ,则 tan? -α ?=____________. 2 ? 5 ? ?4 ? 1 答案: 7 3 4 3 3 解析:因为 α ∈(π , π ),且 cosα =- ,所以 sinα =- ,所以 tanα = .所以 2 5 5 4 3 1- 4 1 π 1-tanα tan( -α )= = = . 4 1+tanα 3 7 1+ 4 ? π? 3 ? π? 4 5. (2014?苏州期末)已知 sin?x+ ?= ,sin?x- ?= ,则 tanx=____________. 4? 5 4? 5 ? ? 答案:-7 2 3 (sinx+cosx)= ,① 2 5 π 4 ? π? 3 解析:由 sin?x+ ?= ,sin(x- )= ,知 ①+②,知 4? 5 4 5 ? 2 4 (sinx-cosx)= ,② 2 5 7 2sinx= ; 5 1 ①-②,知 2cosx=- ,∴ tanx=-7. 5 π? 4 π? ? ? 6. 设 α 为锐角,若 cos?α + ?= ,则 sin?2α + ?=____________. 6? 5 12? ? ?

? ? ? ? ?

17 2 答案: 50 π? 4 π? 3 ? ? 解析:∵ α 为锐角且 cos?α + ?= ,∴ sin?α + ?= . 6 6? 5 5 ? ? ? π? π π ? ∴ sin?2α + ?=sin[2(α + )- ] 12? 6 4 ? π π π π =sin2(α + )cos -cos2(α + )sin 6 4 6 4 π π 2 π 2 = 2sin(α + )cos(α + )- [2cos (α + )-1] 6 6 2 6 3 4 2 4 2 12 2 7 2 17 2 = 2? ? - [2?( ) -1]= - = . 5 5 2 5 25 50 50

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1 ? π? ? π? 7. (2014?镇江期末)若 x∈?0, ?,且 sin2x= ,则 f(x)= 2sin?x- ? 的值为 4? 4? 4 ? ? ____________. 3 答案:- 2 π π ? π ? 解析:设 x- =t,t∈?- ,0?,则原式= 2sint.又 x= +t,∴ sin2x=sin2(t 4 4 ? 4 ? π π 1 3 ? ? 1 2 2 + )=sin?2t+ ?= ,∴ cos2t= =1-2sin t,即有 sin t= .又 sint<0,∴ sint 2? 4 4 4 8 ? =- 3 8 8. (2014?安徽)若将函数 f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得图象 关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是____________. 3π 答案: 8 π? π ? 解析: 将 f(x)= 2sin?2x+ ?的图象向右平移 φ 个单位, 得到 y= 2sin(2x+ -2φ ) 4? 4 ? π? π ? 的图象.由所得图象关于 y 轴对称,可知 sin( -2φ )=±1,即 sin?2φ - ?=±1,故 4? 4 ? π π kπ 3π 3π 2φ - =kπ + ,k∈Z,即 φ = + ,k∈Z.又 φ >0,所以 φ min= . 4 2 2 8 8 π? ? 9. 已知函数 f(x)=2cos?ω x+ ?(其中 ω >0,x∈R)的最小正周期为 10π . 6? ? (1) 求 ω 的值; 5 ? 5 ? 16 π 6 ? ? (2) 设 α 、β ∈[0, ],f?5α + π ?=- ,f?5β - π ?= ,求 cos(α +β )的值. 3 ? 6 ? 17 2 5 ? ? 2π 1 解:(1) 由 T= =10π ,得 ω = . ω 5 5 ? 6 ? f?5α + π ?=- , 3 ? 5 ? (2) 由 5π ? 16 ? f?5β - ?= , 6 ? 17 ? 5 ? π? 6 3 ? 1? 2cos? ?5α + π ?+ ?=- , sinα = , 3 5 5 ? 6? ?5? 得 整理得 5 ? π ? 16 8 ?1? cosβ = . 2cos? ?5β - π ?+ ?= , 6 ? 6 ? 17 17 ?5? ? π? ∵ α 、β ∈?0, ?, 2? ? 4 15 2 2 ∴ cosα = 1-sin α = ,sinβ = 1-cos β = . 5 17 4 8 3 15 13 ∴ cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ = ? - ? =- . 5 17 5 17 85 10. (2014?山东)已知向量 a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),函数 f(x)=a?b,且 y ?π ? ?2π ,-2?. =f(x)的图象过点? , 3?和点? ? ?12 ? ? 3 ? (1) 求 m、n 的值; (2) 将 y=f(x)的图象向左平移 φ (0<φ <π )个单位后得到函数 y=g(x)的图象, 若y =g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. .从而原式=- 3 . 2

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解:(1) 由题意知,f(x)=msin2x+ncos2x. ?π ? ?2 ? 因为 y=f(x)的图象过点? , 3?和点? π ,-2?, ?12 ? ?3 ? π π 3=msin +ncos , 6 6 所以 4π 4π -2=msin +ncos , 3 3

? ? ? ? ?

1 3 ? ? 3=2m+ 2 n, 即? 解得 m= 3 1 ? ?-2=- 2 m-2n,

3,n=1.

π? ? (2) 由(1)知 f(x)= 3sin2x+cos2x=2sin?2x+ ?. 6? ? π 由题意知,g(x)=f(x+φ )=2sin(2x+2φ + ). 6 设 y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2). 2 由题意知,x0+1=1,所以 x0=0, 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2). π? ? 将其代入 y=g(x)得,sin?2φ + ?=1. 6? ? π 因为 0<φ <π ,所以 φ = . 6 π ? ? 因此,g(x)=2sin?2x+ ?=2cos2x. 2? ? π 由 2kπ -π ≤2x≤2kπ ,k∈Z,得 kπ - ≤x≤kπ ,k∈Z, 2 π 所以函数 y=g(x)的单调递增区间为[kπ - ,kπ ],k∈Z. 2 11. (2015?徐州期中)在△ABC 中,已知 sin(A+B)=2sin(A-B). π (1) 若 B= ,求 A; 6 (2) 若 tanA=2,求 tanB 的值. ? π? ? π? 解:(1) 由条件,得 sin?A+ ?=2sin?A- ?, 6? 6? ? ? ∴ 3 1 1 ? 3 ? sinA+ cosA=2? sinA- cosA?. 2 2 2 2 ? ?

化简,得 sinA= 3cosA,∴ tanA= 3. π 又 A∈(0,π ),∴ A= . 3 (2) ∵ sin(A+B)=2sin(A-B), ∴ sinAcosB+cosAsinB=2(sinAcosB-cosAsinB). 化简,得 3cosAsinB=sinAcosB. 又 cosAcosB≠0,∴ tanA=3tanB. 2 又 tanA=2,∴ tanB= . 3

第 5 课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式
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?π ? 4 1. 已知 cos? +θ ?= ,则 cos2θ =________. ?2 ? 5 7 答案:- 25 4 4 ?π ? ? 4? 2 解析:=cos? +θ ?=-sinθ , 即 sinθ =- , 所以 cos2θ =1-2sin θ =1-2?- ? 2 5 5 ? ? ? 5?
2 7 =- . 25

?π ? 1 2. 设 sin? +θ ?= ,则 sin2θ =________. ?4 ? 3 7 答案:- 9 2 1 1 1 ?π ? 解析:sin? +θ ?= (sinθ +cosθ )= ,将上式两边平方,得 (1+sin2θ )= , 4 2 3 2 9 ? ? 7 ∴ sin2θ =- . 9 π 3. 已知 <α <π ,3sin2α =2cosα ,则 cos(α -π )=________. 2
2 2 答案: 3 π 解析:由 3sin2α =2cosα ,得 6sinα cosα =2cosα .由 <α <π ,得 cosα ≠0,cos 2 2 1 ?1? 2 2. α <0,故 sinα = .cos(α -π )=-cosα = 1-? ? = 3 3 ?3? 2 2 4. (2014?常州期末)函数 y=2sin x+3cos x-4 的最小正周期为__________. 答案:π 3 1 3 2π 解析: 由降幂公式知 y=(1-cos2x)+ (1+cos2x)-4= cos2x- , 所以周期 T= = 2 2 2 2 π. π? 1 ? ?2π ? 5. 已知 sin?α + ?= ,则 cos? -2α ?=________. 6? 3 ? ? 3 ? 7 答案:- 9 π? ? ?π ? 解析:由题意知 sin?α + ?=cos? -α ? 6 ? ? ?3 ? 2 π π 1 ? ? ? ? = ,cos? -2α ?=cos2? -α ? 3 ? 3 ? ?3 ? π 7 ? 2? =2cos ? -α ?-1=- . 9 ?3 ? ? π? ?π ? 6. (2014? 盐 城 三 模 ) 若 α ∈ ?0, ? , cos ? -α ? = 2 2 cos2α , 则 sin2 α = 2? ? ?4 ? ____________. 15 答案: 16 ?π ? ?π ? 解析:cos? -α ?=2 2cos2α =2 2sin? -2α ? 4 2 ? ? ? ?
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π π =4 2sin( -α )cos( -α ). 4 4 π π π π π ? ? 又 α ∈?0, ?,- < -α < ,所以 cos( -α )≠0, 2? 4 4 4 4 ? 于是 4 2sin ?

?π -α ? = 1 , sin( π - α ) = 2 ,所以 sin2 α = cos ?π -2α ? = 1 - ? ?2 ? 4 8 ?4 ? ? ?

15 2 π 2sin ( -α )= . 4 16 1 ? π? 2 7. 若 α ∈?0, ?,且 sin α +cos2α = ,则 tanα =________. 2? 4 ? 答案: 3 1 1 2 2 2 2 2 解析:由 sin α + cos2 α = sin α + 1 - 2sin α = 1 - sin α = ,得 cos α = . 又 4 4 1 ? π? α ∈?0, ?,所以 cosα = ,tanα = 3. 2? 2 ? 1-cos2α 1 8. 已知 =1,tan(β -α )=- ,则 tan(β -2α )=________. sinα cosα 3 答案:-1 2 1-cos2α 2sin α 1 解析:由 =1,得 =1,∴ tanα = , sinα cosα sinα cosα 2 1 1 - - 3 2 tan(β -α )-tanα 从而 tan(β -2α )=tan(β -α -α )= = =-1. 1+tan(β -α )tanα ? 1? 1 1+?- ?? ? 3? 2 2 2 9. (2014?如皋期末)已知函数 f(x)=2-8sin x?cos x(x∈R). (1) 求函数 y=f(x)的周期; π (2) 在平面直角坐标系 xOy 中,将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,得函数 y= 8 ? π? g(x)的图象,设 h(x)=f(x)+g(x),求函数 y=h(x),x∈?0, ?的最小值. 4? ? 2 2 解: (1) 因为 f(x)=2-2(2sinxcosx) =2-2sin 2x=1+cos4x, 所以函数 f(x)的周期 2π π 为 T= = . 4 2 π ?? ? π? ? ? (2) 函数 y=f(x)+f?x+ ?=(1+cos4x)+?1+cos?4x+ ??=(cos4x-sin4x)+2 8? 2 ?? ? ? ? π 2 ? 2 ? = 2? cos4x- sin4x?+2= 2cos(4x+ )+2, 4 2 ?2 ? π ? π 5π ? ? π? 又 x∈?0, ?,所以 4x+ ∈? , ?, 4 4 ? 4 ?4 ? ? 3π 当 x= 时,f(x)有最小值为 2- 2. 16 1 10. (2014?福建)已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)- . 2 π 2 (1) 若 0<α < ,且 sinα = ,求 f(α )的值; 2 2 (2) 求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间.

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π 2 2 解:(1) 因为 0<α < ,sinα = ,所以 cosα = . 2 2 2 所以 f(α )= 2 ? 2 2? 1 1 ?? + ?- = . 2 ?2 2 ? 2 2

1 1 1+cos2x 1 1 1 2 2 (2) 因为 f(x)=sinxcosx+cos x- = sin2x+ - = sin2x+ cos2x= 2 2 2 2 2 2 2 π? ? sin?2x+ ?, 4? ? 2π 所以 T= =π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,得 2 4 2 3π π kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为[kπ - ,kπ + ],k∈Z. 8 8 11. 已知 α 、β ∈(0,π ),且 tanα =2,cosβ =- (1) 求 cos2α 的值; (2) 求 2α -β 的值. sinα 2 2 解:(1) (解法 1)因为 tanα =2,所以 =2,即 sinα =2cosα .又 sin α +cos cosα 4 1 2 2 α =1,解得 sin α = ,cos α = . 5 5 3 2 2 所以 cos2α =cos α -sin α =- . 5 2 2 2 cos α -sin α 1-tan α 2 2 (解法 2)因为 cos2α =cos α -sin α = 2 = 2 , 2 sin α +cos α tan α +1 2 1-2 3 又 tanα =2,所以 cos2α = 2 =- . 2 +1 5 2tanα 4 ? π? (2) 因为 α ∈(0,π ),且 tanα =2,所以 α ∈?0, ?,tan2α = =- . 2 2? 1-tan α 3 ? ?π ? 从而 2α ∈? ,π ?. ?2 ? 7 2 2 由 cosβ =- ,β ∈(0,π ),得 sinβ = , 10 10 1 ?π ? 从而 β ∈? ,π ?,tanβ =- , 7 ?2 ? tan2α -tanβ 所以 tan(2α -β )= 1+tan2α tanβ 4 1 - + 3 7 = =-1. 4? ? 1? ? 1+?- ???- ? ? 3? ? 7? π ? π π? 又 2α -β ∈?- , ?,所以 2α -β =- . 4 ? 2 2? 7 2 . 10

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第 6 课时 简单的三角恒等变换 1. 函数 y=sin x-sin2x 的最小正周期为_________. 答案:π 1-cos2x 1 1 1 5 2 解析:y=sin x-sin2x= -sin2x= -sin2x- cos2x= - sin(2x+φ ), 2 2 2 2 2 2π 其中 φ 为参数,所以周期 T= =π . 2 ?π ? ?π ? 2. 函数 y=sin? +x?cos? -x?的最大值为________. ?2 ? ?6 ? 2+ 3 答案: 4 3 1 3 ?π ? ?π ? ?π ? 2 解 析 : y = sin ? +x? cos ? -x? = cosxcos ? -x? = cos x + sinxcosx = ? 2 2 ?2 ? ?6 ? ?6 ? 2 π? π? 1+cos2x 1 3 3 1 3 1 ? ? + sin2x= + cos2x+ sin2x= + sin?2x+ ?,所以当 sin?2x+ ?=1 3 3? 2 4 4 4 4 4 2 ? ? ? 时,函数有最大值为 3 1 2+ 3 + = . 4 2 4 1 =________. 2 cos α +sin2α
2

3. 若 3sinα +cosα =0,则 10 答案: 3

1 1 解 析 : 3sin α + cos α = 0 ? cos α ≠ 0 ? tan α = - , = 2 3 cos α +sin2α 2 2 2 cos α +sin α 1+tan α 10 = = . 2 cos α +2sinα cosα 1+2tanα 3 2 4. 已知 f(x)=sin x+sinxcosx,则 f(x)的单调增区间为_________. π 3π 答案:[kπ - ,kπ + ](k∈Z) 8 8 1-cos2x 1 1 2? 2 2 ? 1 2 解析: f(x)=sin x+sinxcosx= + sin2x= + ? sin2x- cos2x?= + 2 2 2 2?2 2 ? 2 π? 2 π π π π 3π ? sin?2x- ?.∵ 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,∴ kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z)为函 4? 2 2 4 2 8 8 ? 数的单调递增区间. sinα +cosα 1 5. 若 = ,则 tan2α =________. sinα -cosα 2 3 答案: 4 sinα +cosα 1 解析:由 = ,得 2(sinα +cosα )=sinα -cosα ,即 tanα =-3.则 sinα -cosα 2 2tanα -6 3 tan2α = = = . 2 1-tan α 1-9 4 ? π? 6. 函数 f(x)=sinx+ 3cosx 在区间?0, ?上的最小值为________. 2? ? 答案:1 π ? π 5π ? ? π? ? π? 解析:f(x)=sinx+ 3cosx=2sin?x+ ?.∵ x∈?0, ?,∴ x+ ∈? , ?,∴ 3? 2? 6 ? 3 ?3 ? ?

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5π ymin=2sin =1. 6
2 π? 1 π sin2α -2cos α ? 7. 已知 tan?α + ?=- ,且 <α <π ,则 =________. 4? 2 2 π? ? ? sin?α - ? 4? ?

2 5 答案:- 5 2 2 sin2α -2cos α 2sinα cosα -2cos α π 1 解析: = =2 2cosα .由 tan(α + )=- , π 4 2 2 ? ? sin?α - ? ( sin α - cos α ) 4? ? 2 tanα +1 1 π 得 =- ,解得 tanα =-3.因为 <α <π ,所以 cosα =- 1-tanα 2 2 1 =- 2 tan α +1

10 2 5 10? ? ,所以原式=2 2cosα =2 2??- =- . ? 10 5 ? 10 ? 1+cos2x ? π? 2 8. 设 f(x) = + sinx + a sin ?x+ ? 的 最 大 值 为 2 + 3 , 则 常 数 a = 4? ? ?π ? 2sin? -x? ?2 ? __________. 答案:± 3 2 1+2cos x-1 ? π? ? π? 2 2 解析: f(x) = + sinx + a sin ?x+ ? = cosx + sinx + a sin ?x+ ? = 2 4? 4? 2cosx ? ? ? π? 2 ? π? sin?x+ ?+a sin?x+ ? 4? 4? ? ? ? π? 2 =( 2+a )sin?x+ ?. 4? ? 依题意有 2+a = 2+3,∴ a=± 3. π? π? ? 2? 9. 已知函数 f(x)= 3sin?2x- ?+2sin ?x- ?(x∈R). 6? ? ? 12? (1) 求函数 f(x)的最小正周期; (2) 求使函数 f(x)取得最大值时 x 的集合. π? π ? 解:(1) f(x)= 3sin?2x- ?+1-cos2(x- ) 6? 12 ? π? 1 ? π? 3 ? =2[ sin?2x- ?- cos?2x- ?]+1 6? 2 ? 6? 2 ? π π ?? ? ? =2sin??2x- ?- ?+1 6? 6? ?? π? ? =2sin?2x- ?+1, 3? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π? ? (2) 当 f(x)取得最大值时,sin?2x- ?=1, 3? ? π π 此时 2x- =2kπ + (k∈Z), 3 2 5π 即 x=kπ + (k∈Z), 12
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2

数学备课大师 www.eywedu.net【全免费】 ? ? 5π 所以所求 x 的集合为?x|x=kπ + ,k∈Z?. 12 ? ?

?π ? 2 10. (2014?江苏)已知函数 f(x)=(a+2cos x)cos(2x+θ )为奇函数,且 f? ?=0, ?4? 其中 a∈R,θ ∈(0,π ). (1) 求 a,θ 的值; π? 2 ?α ? ?π ? ? (2) 若 f? ?=- ,α ∈? ,π ?,求 sin?α + ?的值. 3? 5 ?4? ?2 ? ? 2 2 解:(1) 因为 f(x)=(a+2cos x)cos(2x+θ )是奇函数,而 y1=a+2cos x 为偶函数, 所以 y2=cos(2x+θ )为奇函数. π 2 又 θ ∈(0,π ),得 θ = ,所以 f(x)=-sin2x?(a+2cos x). 2 ?π ? 由 f? ?=0 得-(a+1)=0,即 a=-1. ?4? 1 (2) 由(1)得,f(x)=- sin4x. 2 α 1 2 4 ? ? 因为 f? ?=- sinα =- ,所以 sinα = . 2 5 5 ?4? π 3 ? ? 又 α ∈? ,π ?,从而 cosα =- , 5 ?2 ? π? π π 4 1 ? 3? 3 4-3 3 ? 所以 sin?α + ?=sinα cos +cosα sin = ? +?- ?? = . 3 5 3 3 5 2 ? ? 2 10 ? ? 11. (2014?南京二模)在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的顶点是坐标原点,始边为 x ?π π ? 轴的正半轴,终边与单位圆 O 交于点 A(x1,y1),α ∈? , ?.将角 α 终边绕原点按逆时 ?4 2? π 针方向旋转 ,交单位圆于点 B(x2,y2). 4 3 (1) 若 x1= ,求 x2; 5 (2) 过 A、B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 C、D,记△AOC 及△BOD 的面积分别为 S1、S2, 4 且 S1= S2,求 tanα 的值. 3

3 4 2 解:(1) 因为 x1= ,y1>0,所以 y1= 1-x1= . 5 5 4 3 所以 sinα = ,cosα = . 5 5 π? π π 2 ? 所以 x2=cos?α + ?=cosα cos -sinα sin =- . 4 4 4 10 ? ? 1 1 (2) S1= sinα cosα = sin2α . 2 4 π π π ? π 3π ? ? ? 因为 α ∈? , ?,所以 α + ∈? , ?. 4 ? 4 ?2 ?4 2?

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π? ? π? 1 ? 所以 S2=- sin?α + ?cos?α + ? 4? ? 4? 2 ? π? 1 ? 1 =- sin?2α + ?=- cos2α . 2? 4 ? 4 4 4 4 2tanα 4 因为 S1= S2,所以 sin2α =- cos2α ,即 tan2α =- .所以 =- ,解得 2 3 3 3 1-tan α 3 1 tanα =2 或 tanα =- . 2 ?π π ? 因为 α ∈? , ?,所以 tanα =2. ?4 2?

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第 7 课时 正弦定理和余弦定理

1. 在△ABC 中,∠A=45°,∠C=105°,BC= 2,则 AC 的长度为________. 答案:1 BC AC 2 解析:∠B=30°,根据正弦定理得 = ,即 AC= ?sin30°=1. sinA sinB sin45° 2. 在△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,则 cosC=________. 1 答案:- 4 解析:由 sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,可设 a=2k,b=3k,c=4k,k>0,由余弦定理 2 2 2 a +b -c 4+9-16 1 得 cosC= = =- . 2ab 12 4 π 3. 在△ABC 中,已知 BC=1,B= ,△ABC 的面积为 3,则 AC 的长为________. 3 答案: 13 1 解析:∵ S= acsinB,∴ 2 1 3 3= ?1?c? ,∴ c=4. 2 2

1 2 2 2 又 AC =1 +4 -2?1?4? =13,∴ AC= 13. 2 4. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,且 a= 5,b=3,sinC=2sinA, 则 sinA=________. 5 答案: 5 3 +(2 5) -( 5) 解析: ∵ sinC=2sinA, ∴ c=2a=2 5.由余弦定理, 得 cosA= 2?3?2 5 2 5 5 2 = ,∴ sinA= 1-cos A= . 5 5 BC 5. 在△ABC 中,若 9cos2A-4cos2B=5,则 =__________. AC 2 答案: 3 2 2 2 2 解析: 由 9cos2A-4cos2B=5, 得 9(1-2sin A)=5+4(1-2sin B), 得 9sin A=4sin B, BC sinA 2 即 3sinA=2sinB.由正弦定理得 = = . AC sinB 3 2 2 2 6. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c,若 a +b =2c ,则 cosC 的最小 值为________. 1 答案: 2 2 2 2 2 2 a +b -c a +b 1 解析:由余弦定理,得 cosC= = ≥ ,当且仅当 a=b 时取“=”. 2ab 4ab 2 tanA 2c 7. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 1+ = ,则角 A 的大小 tanB b 为________. π 答案: 3
2 2 2

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sinAcosB 2sinC 1 解析:1+ = ? sin(A+B)=2sinCcosA.因为 sinC≠0,所以 cosA= ,A sinBcosA sinB 2 π = . 3 1 2 2 2 8. 在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,若其面积 S= (b +c -a ), 4 则∠A=________. π 答案: 4 1 1 2 2 2 π 2 2 2 解析: bcsinA= (b +c -a )? a =b +c -2bcsinA ? sinA=cosA,则∠A= . 2 4 4 2A-B 9. (2014?浙江)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.已知 4sin + 2 4sinAsinB=2+ 2. (1) 求角 C 的大小; (2) 已知 b=4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值. 解:(1) 由已知得 2[1-cos(A-B)]+4sinAsinB=2+ 2, 化简得-2cosAcosB+2sinAsinB= 2, 2 3π π 故 cos(A+B)=- ,所以 A+B= ,从而 C= . 2 4 4 1 π (2) 因为 S△ABC= absinC,由 S△ABC=6,b=4,C= ,得 a=3 2. 2 4 由余弦定理 c =a +b -2abcosC,得 c= 10. 10. (2014?安徽)设△ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c,且 b=3,c=1, A=2B. (1) 求 a 的值; ? π? (2) 求 sin?A+ ?的值. 4? ? 解:(1) 因为 A=2B, 所以 sinA=sin2B=2sinBcosB. 2 2 2 a +c -b sinA 由余弦定理得 cosB= = , 2ac 2sinB 2 2 2 a +c -b 所以由正弦定理可得 a=2b? . 2ac 因为 b=3,c=1,所以 a =12,即 a=2 3. 2 2 2 b +c -a 9+1-12 1 (2) 由余弦定理得 cosA= = =- .因为 0<A<π ,所以 sinA= 2bc 6 3 1-cos A= 1 2 2 1- = . 9 3 π π 2 2 2 ? 1? 2 4- 2 ? π? 故 sin?A+ ?=sinAcos +cosAsin = ? +?- ?? = . 4 3 4 4 3 2 2 6 ? ? ? ?
2 2 2 2 2

11. (2014?南京三模)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 2c = . a (1) 求角 B;

tanB +1 tanA

? π? 1 (2) 若 cos?C+ ?= ,求 sinA 的值. 6? 3 ?
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tanB 2c sinBcosA 2sinC 解:(1) 由 +1= 及正弦定理,得 +1= , tanA a cosBsinA sinA sinBcosA+cosBsinA 2sinC 所以 = , cosBsinA sinA sin(A+B) 2sinC sinC 2sinC 即 = ,则 = . cosBsinA sinA cosBsinA sinA 1 因为在△ABC 中,sinA≠0,sinC≠0,所以 cosB= . 2 π 因为 B∈(0,π ),所以 B= . 3 2π π π 5π (2) 因为 0<C< ,所以 <C+ < . 3 6 6 6 ? π? 1 ? π ? 2 2. 因为 cos?C+ ?= ,所以 sin?C+ ?= 6 6? 3 3 ? ? ? ? π? 所以 sinA=sin(B+C)=sin?C+ ? 3? ? ?? π ? π ? =sin??C+ ?+ ? 6? 6? ?? π ? ? π ? π? π =sin?C+ ?cos +cos?C+ ?sin 6? 6? 6 6 ? ? = 2 6+1 . 6

第 8 课时 解三角形应用举例 1. 如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,由此计算出 A、B 两点的距离为________m.

答案:50 2 解析:∵ ∠ACB=45°,∠CAB=105°, AB AC ∴ ∠ABC=180°-105°-45°=30°.在△ABC 中,由正弦定理得 = ,∴ AB sinC sinB 2 50? 2 AC?sinC = = =50 2(m). sinB 1 2 2. 如图, 某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB, C 是该小区的一个出入口, 且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 min,从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 min.若此人步行的速度为每分钟 50 m,则该扇形的半径为________m.

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答案:50 7 2 解析:连结 OC,在△OCD 中,OD=100,CD=150,∠CDO=60°,由余弦定理可得 OC 1 2 2 =100 +150 -2?100?150? =17 500,解得 OC=50 7(m). 2

3. 如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30°处,之后它继续沿正 北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°处,且与它 相距 8 2 n mile.此船的航速是__________n mile/h. 答案:32 1 解析:设航速为 v n mile/h,在△ABS 中,AB= v,BS=8 2 n mile,∠BSA=45°, 2 1 v 2 8 2 由正弦定理,得 = ,∴ v=32 n mile/h. sin30° sin45° 4. 要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度, 在黄浦江西岸选择甲、 乙两观测点, 在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为 45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、 乙两地连线所成的角为 120°,甲、乙两地相距 500 m,则电视塔的高度是________m.

答案:500 解析:由题意画出示意图,设塔高 AB=h m,在 Rt△ABC 中,由已知得 BC=h m,在 Rt 2 2 2 △ABD 中, 由已知得 BD= 3h m, 在△BCD 中, 由余弦定理 BD =BC +CD -2BC?CDcos∠BCD, 2 2 2 得 3h =h +500 +h?500,解得 h=500(m). a b c 5. 在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 的形状是________________. cosA cosB cosC 答案:等边三角形 a b c a b c sinA sinB sinC 解析: 由正弦定理得 = = , 又 = = , 所以 = = , sinA sinB sinC cosA cosB cosC cosA cosB cosC 即 tanA=tanB=tanC,所以∠A=∠B=∠C,故△ABC 为等边三角形. 6. (2014?四川)如图所示,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B、C 的俯角分别为 67°、30°,此时气球的高度是 46 m,则河流的宽度 BC 约为________m.(用四舍五入法将 结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈ 0.80, 3≈1.73)

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答案:60 解析:过 A 点向地面作垂线,记垂足为 D,则在 Rt△ADB 中,∠ABD=67°,AD=46 m, AD 46 ∴ AB= = =50(m). 在△ABC 中, ∠ACB=30°, ∠BAC=67°-30°=37°, sin67° 0.92 ABsin37° AB=50 m,由正弦定理,得 BC= =60 (m),故河流的宽度 BC 约为 60 m. sin30°

7. 已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的 面积为__________. 答案:15 3 解 析 : 不 妨 设 ∠A = 120 ° , c<b , 则 a = b + 4 , c = b - 4 , 于 是 由 cos120 ° = 2 2 2 b +(b-4) -(b+4) 1 1 =- ,解得 b=10,S= bcsin120°=15 3. 2b(b-4) 2 2 8. 若△ABC 的三边长为连续三个正整数, 且 A>B>C, 3b=20acosA, 则 sinA∶sinB∶sinC =__________. 答案:6∶5∶4 解析: 由 A>B>C, 得 a>b>c.设 a=c+2, b=c+1, 则由 3b=20acosA, 得 3(c+1)=20(c 2 2 2 (c+1) +c -(c+2) 2 +2)? ,即 3(c+1) c=10(c+1)(c+2)(c-3),解得 c=4,所以 2(c+1)c a=6,b=5.sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=6∶5∶4. 9. 如图,A、B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点,现位于 A 点 北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/时,该救援船到 达 D 点需要多长时间?

解:由题意知 AB=5(3+ 3)(海里),∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45° =45°, ∴ ∠ADB=180°-(45°+30°)=105°. DB AB 在△DAB 中,由正弦定理得 = , sin∠DAB sin∠ADB AB?sin∠DAB 5(3+ 3)?sin45° ∴ DB= = sin∠ADB sin105° = 5(3+ 3)?sin45° 5 3( 3+1) = =10 3(海里). sin45°cos60°+cos45°sin60° 3+1 2

又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20 3(海里), 在△DBC 中,由余弦定理得 2 2 2 CD =BD +BC -2BD?BC?cos∠DBC
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1 =300+1 200-2?10 3?20 3? =900, 2 30 ∴ CD=30(海里),则需要的时间 t= =1(小时). 30 即该救援船到达 D 点需要 1 小时. 10. (2014?南京、盐城二模)如图,经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB、AC,根 据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P,分别在两条公路边上建两个仓库 M、N(异于 村庄 A),要求 PM=PN=MN=2(km).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即 工厂与村庄的距离最远).

解:设∠AMN=θ ,在△AMN 中,

MN AM = . sin60° sin(120°-θ )

4 3 因为 MN=2,所以 AM= sin(120°-θ ). 3 在△APM 中,cos∠AMP=cos(60°+θ ). 2 2 2 AP =AM +MP -2AM?MP?cos∠AMP 16 4 3 2 = sin (120°-θ )+4-2?2? sin(120°-θ )cos(θ +60°) 3 3 = 16 16 3 2 sin (θ +60°)- sin(θ +60°)cos(θ +60°)+4 3 3

8 8 3 = [1-cos(2θ +120°)]- sin(2θ +120°)+4 3 3 8 20 =- [ 3sin(2θ +120°)+cos(2θ +120°)]+ 3 3 20 16 = - sin(2θ +150°),θ ∈(0°,120°). 3 3 2 当且仅当 2θ +150°=270°,即 θ =60°时,AP 取得最大值 12,即 AP 取得最大值 2 3. 答:设计∠AMN 为 60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小. 11. (2014?宿迁第一次摸底)如图,海上有 A、B 两个小岛相距 10 km,船 O 将保持观 望 A 岛和 B 岛所成的视角为 60°,现从船 O 上派下一只小艇沿 BO 方向驶至 C 处进行作业, 且 OC=BO.设 AC=x km. 2 2 (1) 用 x 分别表示 OA +OB 和 OA?OB,并求出 x 的取值范围; (2) 晚上小艇在 C 处发出一道强烈的光线照射 A 岛,B 岛至光线 CA 的距离为 BD,求 BD 的最大值.

解:(1) 在△OAC 中,∠AOC=120°,AC=x, 2 2 2 由余弦定理,得 OA +OC -2OA?OC?cos120°=x , 2 2 2 又 OC=BO,所以 OA +OB -2OA?OB?cos120°=x .① 在△OAB 中,AB=10,∠AOB=60°, 2 2 由余弦定理,得 OA +OB -2OA?OB?cos60°=100.② 2 x +100 2 2 ①+②得 OA +OB = , 2
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x -100 ①-②得 OA?OB= ; 2 2 2 又 OA +OB ≥2OA?OB, 2 2 x +100 x -100 2 所以 ≥2? ,即 x ≤300. 2 2 2 x -100 2 又 OA?OB= >0,即 x >100,所以 10<x≤10 3. 2 (2) 易知 S△OAB=S△OAC, 2 1 3(x -100) 故 S△ABC=2S△OAB=2? ?OA?OBsin60°= . 2 4 1 又 S△ABC= ?AC?BD,设 BD=f(x), 2 3(x -100) ,x∈(10,10 3]. 2x 3? 100? 又 f′(x)= ?1+ 2 ?, x ? 2 ? 所以 f(x)= 则 f(x)在(10,10 3]上是增函数, 所以 f(x)的最大值为 f(10 3)=10,即 BD 的最大值为 10.
2

2

第 9 课时 三角函数的综合应用

?π ? 1. 若函数 f(x)=cosω xcos? -ω x?(ω >0)的最小正周期为π ,则 ω =________. ?2 ? 答案:1 2π ?π ? 1 解析:由于 f(x)=cosω xcos? -ω x?= sin2ω x,所以 T= =π ?ω =1. 2ω ?2 ? 2
2. 在△ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c, 若 a -b = 3bc, sinC=2 3sinB, 则 A=____________. 答案:30° 2 2 2 b +c -a 解析:∵ sin C = 2 3sin B ,由正弦定理,得 c = 2 3b ,∴ cos A = = 2bc - 3bc+c - 3bc+2 3bc 3 = = .又 A 为三角形的内角,∴ A=30°. 2bc 2bc 2 3. 在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为 答案: 3 1 1 3 3 2 2 2 解析:S= ?AB?ACsin 60°= ?2? AC= ,所以 AC=1,所以 BC =AB +AC - 2 2 2 2 2AB?ACcos 60°=3,所以 BC= 3. 3 ,则 BC 的长为________. 2
2 2 2

? π? 1 ? 5π ? ? 2 ?π 4. (2014?南京、无锡调研 ) 已知 sin ?x+ ? = ,则 sin ? -x? + sin ? -x? = 6? 4 ? ? 6 ? ?3 ? __________. 19 答案: 16 ? π ? 1 所以 sin?5π -x?+sin2?π -x?=sin?x+π ?+cos2?x+π ? 解析: 因为 sin?x+ ?= , ?6 ? ?3 ? ? ? 6? 4 6? 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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1 1 19 = +1- = . 4 16 16 4 5. 已知 a、b、c 分别为△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边.若 cosB= ,a=10,△ABC 5 a 的面积为 42,则 b+ =__________. sinA 答案:16 2 4 3 1 1 3 解析:由 cos B= ,得 sin B= ,∴ S△ABC= acsin B= ?10?c? =42,∴ c=14, 5 5 2 2 5 4 2 2 2 2 2 ∴ b =c +a -2accos B=14 +10 -2?10?14? =196+100-224=72,∴ b=6 2, 5 a b 6 2 =6 2+ =6 2+ =16 2. sinA sinB 3 5 ?π ? 6. 已知函数 f(x)=2sinx,g(x)=2sin? -x?,直线 x=m 与 f(x)、g(x)的图象分别 ?2 ? 交于 M、N 两点,则|MN|的最大值为________. 答案:2 2 ? π? 解析:构造函数 F(x)=2sinx-2cosx=2 2sin?x- ?,故最大值为 2 2. 4? ? ∴ b+ 2π 个 3

7. (2014?盐城三模)设 0<ω <4,函数 f(x)=sin(ω x+φ )的图象若向右平移 单位所得到的图象与原图象重合,若向左平移

π 个单位所得到的图象关于 y 轴对称,则 12

tan(ω φ )=__________. 答案:-1 2π 2π 2kπ 2π * 解析:由题意 是函数 f(x)的最小正周期 的整数倍,即 = (k∈N ),ω = 3 ω ω 3 π * 3k(k∈N ).又 0<ω <4,所以 ω =3,f(x)=sin(3x+φ ).又函数 f(x)的图象向左平移 个 12 ? ? π? ? 即 y=sin?3x+π +φ ? 单位所得到的图象关于 y 轴对称, 所以函数 y=sin?3?x+ ?+φ ?, ? ? 4 ? ? 12? ? ? ? π π π 是 偶 函 数 , 所 以 φ + = k π + (k∈Z) , φ = k π + (k∈Z) , 于 是 tan(ω φ ) = 4 2 4 3π ? 3π ? tan?3kπ + ?=tan =-1. 4 ? 4 ? 8. (2014?徐州三模)已知 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是以原点 O 为圆心的单位圆上的两点, π? 3 ? ∠P1OP2=θ (θ 为钝角).若 sin?θ + ?= ,则 x1x2+y1y2=__________. 4? 5 ? 答案:- 2 10 cos(θ

π? 3 π ? 解析:∵ θ 为钝角,∴ θ + 是第二或第三象限角.又 sin?θ + ?= ,∴ 4? 5 4 ? 2 π 4 ?3? + )=- 1-? ? =- . 4 5 ?5?

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π π 2 → → x1x2 + y1y2 = OP1 ? OP2 = 1?1?cos θ = cos θ = cos[(θ + ) - ] = 4 4 2

?cos?θ +π ?+sin?θ +π ??=- 2. ? ? ? ? 4? 4? 10 ? ? ? ? ??
1 9. (2014?苏州期末)在△ABC 中,设角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 acosC+ c 2 =b. (1) 求角 A 的大小; (2) 若 a= 15,b=4,求边 c 的大小. 1 解:(1) 用正弦定理,由 acosC+ c=b, 2 1 得 sinAcosC+ sinC=sinB. 2 ∵ sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 1 ∴ sinC=cosAsinC. 2 1 ∵ sinC≠0,∴ cosA= . 2 π ∵ 0<A<π ,∴ A= . 3 2 2 2 (2) 由余弦定理,得 a =b +c -2bccosA. 1 2 2 ∵ a= 15,b=4,∴ 15=16+c -2?4?c? ,即 c -4c+1=0,解得 c=2± 3. 2 10. (2014?南通期末)在△ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 所对的边, 且 c=-3bcosA, 3 tanC= . 4 (1) 求 tanB 的值; (2) 若 c=2,求△ABC 的面积. 解:(1) 由正弦定理,得 sinC=-3sinBcosA, 即 sin(A+B)=-3sinBcosA. 所以 sinAcosB+cosAsinB=-3sinBcosA. 从而 sinAcosB=-4sinBcosA. 因为 cosAcosB≠0, tanA 所以 =-4,即 tanA=-4tanB. tanB tanA+tanB 3tanB 3 1 又 tanC=-tan(A+B)= = = ,解得 tanB= . 2 tanAtanB-1 4tan B+1 4 2 2 1 3 (2) 由(1),得 sinA= ,sinB= ,sinC= . 5 5 5 csinA 由正弦定理,得 a= = sinC 2? 3 5 2 5 = 4 5 . 3

1 1 4 5 1 4 所以△ABC 的面积为 acsinB= ? ?2? = . 2 2 3 5 3 11. 已知在△ABC 中, 内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c, 且 tanA+tanB= (1) 求角 B 的大小; 2sinC . cosA

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a c (2) 若 + =3,求 sinAsinC 的值. c a sinA sinB sinAcosB+cosAsinB sin(A+B) 解 : (1) 易 知 tanA + tanB = + = = = cosA cosB cosAcosB cosAcosB sinC . cosAcosB 2sinC sinC 2sinC ∵ tanA+tanB= ,∴ = , cosA cosAcosB cosA 1 π ∴ cosB= .∵ 0<B<π ,∴ B= . 2 3 2 2 2 a c a +c b +2accosB (2) ∵ + = = =3, c a ac ac π 2 b +2accos 2 3 b 即 =3,∴ =2. ac ac π 2 sin 2 2 3 b sin B 3 又 = = = , ac sinAsinC sinAsinC 4sinAsinC 3 ∴ sinAsinC= . 8

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