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正余弦函数的周期性


正弦余弦函数的周期性

教材内容: 人教版《全日制普通 高级中学教科书(必 修)·数学》第一册 ( 下 ) 第 四 章 4.8 节 “正弦函数、余弦函 数的图象和性质”第3 课时(周期性)

教材分析 目标分析 过程分析 教法分析 评价分析

一、教材分析

1.教学内容的地位和作用 理论上是重要

基础 实际中是重要工具 体现数形结合思想 培养学生思维能力 简化研究过程
2.重点难点及其成因 重点:正弦、余弦函数的周期性 难点:周期函数的意义

二、目标分析

1.知识目标:
(1)理解周期函数与周期的意义。 (2)能说明正弦函数及余弦函数是周期函数,并能说出 y=sinx,y=cosx的周期和最小正周期。 (3)掌握函数y=Asin(ωx+φ)(其中A、ω、φ为常数且A≠0, ω>0,x∈R)的周期是T= 2π/ω,且能用它直接写出函数的周期。

2.能力目标:
渗透数形结合思想,培养学生从感性到理性的抽象概括能 力、从特殊到一般的归纳总结能力,培养学生探究问题的能力。

3.情感目标:
让学生感受数学的理性美,激发学习兴趣,培养学生不断 发现、探索新知识的精神,促进良好个性品质的发展。

三、过程分析

1.创设情景,引入课题

2.观察抽象,形成概念

3.讨论问题,剖析概念

4.精析例题,运用概念

5.拓广延伸,总结方法

6.练习反馈,巩固新知

7.归纳小结,布置作业

三、过程分析

1.创设情景,引入课题

情景①

三、过程分析

1.创设情景,引入课题

情景②

某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下:

t

0

3

6

9

12

15

18

21

24

d

5

7.5

5

2.5

5

7.5

5

2.5

5

三、过程分析

2.观察抽象,形成概念

(1)回顾:怎样由y=sinx,x∈[0,2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象?
终边相同的角有相同的三角函数值

y=sinx,x∈[0,2π]的图象

将图象左右平移

y=sinx,x∈R的图象

三、过程分析 (2)观察:

2.观察抽象,形成概念

? 2? ? sin( ? ) ? sin 6 3 6

形:图象按照一定规律重复出现。 数:对于自变量的一切值每增加或减少一个定值时, 函数值重复取得。

三、过程分析

2.观察抽象,形成概念

(3)联想: 诱导公式 sin(x+2kπ)=sinx,(k∈Z) (4)抽象: sinx→f(x),2kπ→T, sin(x+2kπ)=sinx→f(x+T)=f(x) (5)翻译: 对于自变量的一切值→x取定义域内的每一个值;每增 加或减少一个定值,函数值重复取得→存在一个非零常数T, 使得f(x+T)=f(x)。

周期函数及周期的定义: 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定 义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫 做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。

三、过程分析

3.讨论问题,剖析概念

(1)对于函数y=sinx,x∈R,有 是它的一个周期?为什么?

,能否说

(2)f(x)=x2是周期函数吗?为什么? (3)给出最小正周期的定义.提问:由周期函数的定义可知,正 弦、余弦函数是周期函数,那么它们的周期是什么?最小正周期又 是什么?

结论:正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z,
且k≠0)都是它们的周期,最小正周期是2π. (4)周期函数是否一定有最小正周期? (5)我们怎样利用函数的周期性,简化对它们的图象和性 质的研究过程?

三、过程分析

4.精析例题,运用概念

教科书54页例3,求下列函数的周期:

分析:最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个最小的正数,这个最小的正数是对x而言的。 第(2)小题的解答可以改写成: ∵f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π),∴T=π 思考:通过对这3道题的解答,你发现了什么规律?即 这些函数的周期只与什么有关?

三、过程分析

5.拓广延伸,总结方法

结论:函数
及函数

的周期

三、过程分析

6.练习反馈,巩固新知

教科书57页第5题 补充练习: 求函数 的周期

三、过程分析

7.归纳小结,布置作业

提问: (1)这节课我们学习了哪些知识? (2)你对这节课有何感受? 作业:教科书习题4.8第3题

思考题: (1)求y=|sinx|(x∈R)的周期。
(2)证明y=sinx(x∈R)的最小正周期是2π。

四、教法分析

1.教学手段:CAI 2.教学方法:启发引导、讲授与讨论相结合 3.学法指导:观察、联想、抽象、概括

五、评价分析

1. 概念的形成
2. 重点的突出 3. 难点的分散 4. 学生的参与


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