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2013北京朝阳区高三数学(文)一模试题及答案


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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试(文史类)
2013.4

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题

:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. (1) i 为虚数单位,复数 A.
1 2 1 1? i

的虚部是 B. ?
1 2
x ?1

C. ?

1 2

i

D.

1 2

i

(2)若集合 M ? ? x ? 2 ? x ? 3? , N ? ? x 2 A. (3, ? ? )
??? ?

? 1 ,则 M ? N ?

?

B. ( ? 1, 3)
??? ? ????

C.

[ ? 1, 3)

D. ( ? 2 , ? 1]
??? ? ????

(3)已知向量 O A ? ? 3, ? 4 ? , O B ? ? 6 , ? 3 ? , O C ? ? 2 m , m ? 1 ? .若 A B / / O C ,则实数 m 的 值为 A.
1 5
2

B. ? 3

C. ?

3 5

D. ?

1 7

(4)已知命题 p : ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ;命题 q : ? x ? R , sin x ? co s x ? 则下列判断正确的是 A.? p 是假命题 真命题 B. q 是假命题 C. p ? ? q 是真命题

2 .

D.( ? p ) ? q 是

(5)若直线 y ? x ? m 与圆 x ? y ? 4 x ? 2 ? 0 有两个不同的公共点,则实数 m 的取值范
2 2

围是 A. ? 2 ? C. ? ? 2 ?
2,2 ? 2

?
2

B. ? ? 4 , 0 ?

2 , ?2 ?

?

D . ? 0, 4 ?

? x ? 0, ? ? 2 x ? y ? 0, (6)“ m ? 3 ”是“关于 x , y 的不等式组 ? 表示的平面区域为三角形”的 x ? y ? 1 ? 0, ? ?x ? y ? m ? 0 ?

A.充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

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(7)某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积 为

A. 4 B. 2 2 C.
20 3

1 1 1
2 2

D. 8

正视图
2

侧视图

2

俯视图



8
f(


x? )








)

f( ?

?) x f

2x ?

N 1?x .,
*



? x0 , n ? N

*



使

0

f0(? ? ? x 1

0

(? x n 6 ,则称 ( x?,)n ) 为函数 3f ( x ) 的一个“生成点”. 0

函数 f ( x ) 的“生成点”共有 A. 1 个 B .2 个 C .3 个 D .4 个

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. (9)以双曲线
x
2

? y ? 1 的右焦点为焦点,顶点在原点的抛物线的标准方程是
2

.

3

(10)执行如图所示的程序框图,输出结果 S=

.

开始

i=0

S=0

S=S+2i-1 否

i=i+2

i≥6? 是 输出 S
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结束

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(11) 在等比数列 ? a n ? 中, 2 a 3 ? a 2 a 4 ? 0 ,则 a 3 ? 则数列 ? b n ? 的前 5 项和等于 .

,若 ? b n ? 为等差数列,且 b3 ? a 3 ,

( 12 ) 在 ? A B C 中 , a , b , c 分 别 为 角 A , B , C 所 对 的 边 , 且 满 足 b ? 7 a sin B , 则
sinA ?

, 若 B ? 6 0 ,则 sin C ?
?

.

(13) 函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且满足 f ( x ? 2 ) ? f ( x ) .当 x ? [0 ,1] 时,
f ( x ) ? 2 x .若在区间 [ ? 2, 2 ] 上方程 a x ? a ? f ( x ) ? 0 恰有三个不相等的实数根,则

实数 a 的取值范围是

.
2 2

(14)在平面直角坐标系 x O y 中,点 A 是半圆 x ? 4 x ? y ? 0 ( 2 ≤ x ≤ 4 )上的一个动 点,点 C 在线段 O A 的延长线上.当 O A ? O C ? 2 0 时,则点 C 的纵坐标的取值范围 是 .
??? ???? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
3 2 s in ? x ? s in
2

?x
2

?

1 2

( ? ? 0 )的最小正周期为 ? .

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? [ 0 ,
? 2 ] 时,求函数 f ( x ) 的取值范围.

(16) (本小题满分 13 分) 国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表:
空气质量指数 空气质量等级 0-50 1 级优 51-100 2 级良 101-150 3 级轻度污染 151-200 4 级中度污染 201-300 5 级重度污染 300 以上 6 级严重污染

由全国重点城市环境监测网获得 2 月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据 用 茎叶图表示如下:
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甲城市

乙城市

9

2 4 3 1 5 8 8

7 3 5 6

5 7 10

(Ⅰ)试根据上面的统计数 乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系(只需写出结果);

据, 判断甲、

(Ⅱ)试根据上面的统计数据,估计甲城市某一天空气质量等级为 2 级良的概率; (Ⅲ) 分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个, 试求这两个城市空气质量等级相同的 概率. (注: s ?
2

1 n

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ] ,其中 x 为数据 x1 , x 2 , ? , x n 的平
2 2 2

均数.) (17) (本小题满分 14 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D 中 , 平 面 P A C ? 平 面 A B C D, 且 P A ? A C,
PA ? AD ? 2 . 四边形 A B C D 满足 B C ? A D ,A B ? A D ,A B ? B C ? 1 .E 为侧棱 P B

的中点, F 为侧棱 P C 上的任意一点. (Ⅰ)若 F 为 P C 的中点,求证: E F ? 平面 P A D ; (Ⅱ)求证:平面 A F D ? 平面 P A B ; (Ⅲ)是否存在点 F ,使得直线 A F 与平面 P C D 垂直?若存在, 写出证明过程并求出线段 P F 的长;若不存在,请说明理由. (18) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? ( a ? 2 ) x ? a ln x ,其中 a ? R .
2

P

E

F

A (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2, f ( 2 )) 处的切线的斜率为 1 ,求 a 的值; B (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间. C

D

(19) (本小题满分 14 分)

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已知椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 过点 A ( 2 , 0 ) ,离心率为

3 2

.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过点 B (1, 0 ) 且斜率为 k ( k ? 0 ) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点, 直线 A E ,A F 分别交直线 x ? 3 于 M , N 两点,线段 M N 的中点为 P .记直线 P B 的斜率为 k ? , 求证: k ? k ? 为定值. (20)(本小题满分 13 分) 由 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9,1 0 按 任 意 顺 序 组 成 的 没 有 重 复 数 字 的 数 组 , 记 为

? ? ( x1 , x 2 ? ,

,x1 0,设 S (? ) ? )

? | 2x
k ?1

10

k

? 3 x k ? 1 | ,其中 x1 1 ? x1 .

(Ⅰ)若 ? ? (1 0, 9, 8, 7 , 6, 5, 4, 3, 2,1) ,求 S (? ) 的值; (Ⅱ)求证: S (? ) ? 5 5 ; (Ⅲ)求 S (? ) 的最大值. (注:对任意 a , b ? R , a ? b ? a ? b ? a ? b 都成立.)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试答案(文史类)
一、选择题: 题号 答案 (1) (2) C (10)
20

2013.4

(3) B (11)
2 ;1 0

(4) D

(5) D (12)
1 7

(6) A

(7) D

(8) B (14)

A 二、填空题: 题号 答案 (9)
y ? 8x
2

(13)



13 14

? 0 ,1 ?

? ? 5, 5 ?

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (15)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) f ( x ) ?
3 2 s in ? x ? 1 ? cos? x 2 ? 1 2

?????????????????1

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? 3 2 s in ? x ? 1 2 cos ? x

? s in ( ? x ?

? 6

).

????????????????????4 分

因为 f ( x ) 最小正周期为 ? , 所以 ? ? 2 .??????????????????5 分 于是 f ( x ) ? s in ( 2 x ? 由 2k ? ?
? 2 ? 2x ? ? 6 ? 6 ? 2k ? ? ? 2 ? 3 ,k? ? ? 6 ? 7? , ] , ?????????????10 分 6 6 ).

, k ? Z ,得 k ? ?

? 3

? x ? k? ?

? 6

.

所以 f ( x ) 的单调递增区间为[ k ? ? (Ⅱ)因为 x ? [ 0 , 则?
1 2 ? 2 ? s in ( 2 x ? ? 2 ? 6 ] 上的取值范围是[ ? ) ?1. ] ,所以 2 x ? ? 6

],k ? Z .???????????8 分

?[

???????????????????12 分
1 2 ,1 ].

所以 f ( x ) 在 [ 0 ,

???????????????13 分

(16)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.?????3 分 (Ⅱ) 根据上面的统计数据, 可得在这五天中甲城市空气质量等级为 2 级良的频率为 则估计甲城市某一天的空气质量等级为 2 级良的概率为
3 5

3 5



.??????6 分,

(Ⅲ)设事件 A:从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个,这两个城市的空气质 量等级相同,由题意可知,从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个,共有 2 5 个结果,分别记为: (29,43),(29,41),(29,55),(29,58)(29,78) (53,43),(53,41),(53,55),(53,58),(53,78), (57,43),(57,41),(57,55),(57,58),(57,78), (75,43),(75,41),(75,55),(75,58),(75,78), (106,43),(106,41),(106,55),(106,58),(106,78). 其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为 1 级优的为甲 29,乙 41,乙 43, 同为 2 级良的为甲 53,甲 57,甲 75,乙 55,乙 58,乙 78. 则空气质量等级相同的为: (29,41),(29,43), (53,55),(53,58),(53,78), (57,55),(57,58),(57,78), (75,55),(75,58),(75,78).共 11 个结果. 则 P ( A) ?
11 25

.

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所以这两个城市空气质量等级相同的概率为

11 25



?????????????????????????13 分 (17)(本小题满分 14 分) P 证明:(Ⅰ)因为 E , F 分别为侧棱 P B , P C 的中点, 所以 E F ? B C . 因为 B C ? A D ,所以 E F ? A D . E 而 E F ? 平面 P A D , A D ? 平面 P A D , 所以 E F ? 平面 P A D . (Ⅱ)因为平面 A B C D ? 平面 P A C , ????????????????????4 分 A B C D

F

平面 A B C D ? 平面 P A C ? A C ,且 P A ? A C , P A ? 平面 P A C . 所以 P A ? 平面 A B C D ,又 A D ? 平面 A B C D ,所以 P A ? A D . 又因为 A B ? A D , P A ? A B ? A ,所以 A D ? 平面 P A B , 而 A D ? 平面 A F D , 所以平面 A F D ? 平面 P A B .????????????????????8 分 (Ⅲ)存在点 F ,使得直线 A F 与平面 P C D 垂直. 在棱 P C 上显然存在点 F ,使得 A F ? P C . 由已知, A B ? A D , B C ? A D , A B ? B C ? 1 , A D ? 2 . 由平面几何知识可得 C D ? A C . 由(Ⅱ)知, P A ? 平面 A B C D ,所以 P A ? C D , 因为 P A ? A C ? A ,所以 C D ? 平面 P A C . 而 A F ? 平面 P A C ,所以 C D ? A F . 又因为 C D ? P C ? C ,所以 A F ? 平面 P C D . 在 ? P A C 中, P A ? 2, A C ?
2 6 3 2 6 3

2 , ? PAC ? 90? ,

可求得, P C ?

6 , PF ?



可见直线 A F 与平面 P C D 能够垂直,此时线段 P F 的长为 (18)(本小题满分 13 分)

.?????14 分

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解:(Ⅰ)由 f ( x ) ? x 2 ? ( a ? 2 ) x ? a ln x 可知,函数定义域为 ? x x ? 0 ? , 且 f ?( x ) ? 2 x ? ( a ? 2 ) ?
a x

.由题意, f ? ( 2 ) ? 4 ? ( a ? 2 ) ?

a 2

?1,

解得 a ? 2 .?????????????????????????????4 分 (Ⅱ) f ? ( x ) ? 2 x ? ( a ? 2 ) ?
a x ? ( 2 x ? a )( x ? 1) x a 2
( x ? 0) .

令 f ? ( x ) ? 0 ,得 x1 ? 1 , x 2 ? (1)当 a ? 0 时,
a 2

.

? 0 ,令 f ? ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 ;令 f ? ( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 .

则函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0 ,1) ,单调递增区间为 (1, ? ? ) . (2)当 0 ?
a 2 ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,令 f ? ( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? a a 2 2

或x ?1.

则函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( 0 , ) , (1, ? ? ) . 令 f ? ( x ) ? 0 ,得
a 2 ? x ?1. a

则函数 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ,1) .
2

(3) 当

a 2 a 2

? 1 , a ? 2 时,f ? ( x ) ? 0 恒成立, 即 则函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ? ? ) . ? 1 ,即 a ? 2 时,令 f ? ( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 或 x ?
a

(4)当

a 2



则函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) , ( , ? ? ) .
2

令 f ? ( x ) ? 0 ,得 1 ? x ?

a 2

.
a

则函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (1, ) . ??????????????13 分
2

(19)(本小题满分 14 分)
?a ? b ? c , ? 3 ?c 2 2 解:(Ⅰ)依题得 ? ? 解得 a ? 4 , b ? 1 . , 2 ?a ?a ? 2. ?
2 2 2

所以椭圆 C 的方程为

x

2

? y ?1.
2

???????????????????4 分

4

(Ⅱ)根据已知可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

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由?

?
2

y ? k ( x ? 1),
2

?x ? 4y ? 4 ? 0

得 ( 4 k ? 1) x ? 8 k x ? 4 k ? 4 ? 0 .
2 2 2 2

设 E ( x1 , y 1 ), F ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

8k
2

2

4k ? 1
y1 x1 ? 2

, x1 x 2 ?

4k ? 4
2

4k ? 1
2

.

直线 A E , A F 的方程分别为: y ? 令x ? 3, 则 M (3,
y1 x1 ? 2 k 4 ), N (3, y2 x2 ? 2

( x ? 2 ), y ?

y2 x2 ? 2

( x ? 2) ,

) ,所以 P (3,

1

2 x1 ? 2

(

y1

?

y2 x2 ? 2

)) .

所以 k ? k ? ?

?

k ( x1 ? 1)( x 2 ? 2 ) ? k ( x 2 ? 1)( x1 ? 2 ) ( x1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

?

k

2

?

2 x1 x 2 ? 3( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4

4

8k ? 8 ? 24k ? 16k ? 4
2 2 2

?

k

2

?

4

4k ? 1 2 2 4k ? 4 ? 16k ? 16k ? 4
2 2

4k ? 1
2

?

k

2

?

?4 4k
2

? ?

1 4

.

????????????????????14 分

4

(20)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) S (? ) ?

? | 2x
k ?1

10

k

? 3 x k ? 1 | ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 2 8 ? 5 7 .???3 分

(Ⅱ)证明:由 a ? b ? a ? b 及其推广可得,
S (? ) ? 2 x1 ? 3 x 2 ? 2 x 2 ? 3 x 3 ? ? ? 2 x1 0 ? 3 x1 1
? 2 ( x1 ? x 2 ? ? ? x1 0 ) ? 3( x 2 ? x 3 ? ? ? x1 1 )

= x1 ? x 2 ? ? ? x1 0 ?

1 0 (1 ? 1 0 ) 2

? 55 .

???????????7 分

(Ⅲ) 1 0, 9, 8, 7 , 6, 5, 4, 3, 2,1 的 2 倍与 3 倍共 2 0 个数如下:
2 0,1 8,1 6,1 4,1 2,1 0, 8, 6, 4, 2, 3 0, 2 7 , 2 4, 2 1,1 8,1 5,1 2, 9, 6, 3
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其中最大数之和与最小数之和的差为 2 0 3 ? 7 2 ? 1 3 1 ,所以 S (? ) ? 1 3 1 , 对于 ? 0 ? (1, 5, 6, 7 , 2, 8, 3, 9, 4,1 0 ) , S (? 0 ) ? 1 3 1 , 所以 S (? ) 的最大值为 1 3 1 . ????????????????????13 分

注:使得 S (? ) 取得最大值的有序数组中,只要保证数字 1,2,3,4 互不相邻,数 字 7,8,9,10 也互不相邻,而数字 5 和 6 既不在 7,8,9,10 之一的后面,又不在 1,2,3,4 之一的前面都符合要求.

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