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福建省仙游一中2008-2009学年高一数学试卷(必修4)


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仙游一中 2008-2009 学年度上学期期末考试

高一数学试卷(必修 4)
满分:150 分,考试时间:2009 年 1 月 16 日 14:00-16:00
注意事项:①本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分

,共 4 页。答题时, 必须把答案填写在答题卡的相应位置上,不按规定位置作答的答案一律无效。 ②考生务必在考试之前在试卷、草稿纸的规定位置写上自己的姓名,班级、座号。

第Ⅰ卷(选择题 一、

共 60 分)

选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 【 D.第四象限 【 D.
?

1.已知点 P( tan ? , cos ? )在第三象限,则角 ? 在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限



2.函数 y ? 2 cos2 x ? 1( x ? R) 的最小正周期为 A. 4?
? ?



B. 2?

C. ?

3.已知 a 与 b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ? ,那么 | a ? 3b | 等于 A. 7 B. 10 C. 13 D.4

? 2 ?





1 4.若 ? 是△ ABC 的一个内角,且 sin ? cos ? ? ? ,则 sin ? ? cos ? 的值为【 8



A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

5 2

D.

5 2

5.已知 ? ? ? ? A.-1

?
4

,则 (1 ? tan? )(1 ? tan? ) 的值是 B. 1 C.2 D.4





6.下列命题中:

①a ∥b ? 存在唯一的实数 ??R,使得 b ? ?a ;

② e 为单位向量,且 a ∥ e ,则 a =± | a |· e ;③ | a?a?a|? | a|3; ④ a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线;⑤若 a ? b ? b ? c 且 b ? 0 , 则 a ? c
其中正确命题的序号是【 】A.①⑤ B.②③④ C.②③ D.①④⑤

1 7.下列各式中,值为 的是 2





A. sin150 cos150 B. cos 2

?
12

? sin 2

?
12

C.

1 1 ? ? cos 2 2 6

D.

tan 22.50 1 ? tan 2 22.50

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8.已知锐角 ? 、 ? 满足 sin ? ?

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5 3 10 ,则 ? ? ? 为 ,cos ?? 5 10
【 】

A..

? 4

B. .

3? 4

C.

? 3? 或 4 4

D.

? 2

a b e? ? ae ? bf 1 2? ? 4 14 ? ?? ? ? ? ? ? 9.定义运算 ? ,如 ? ?? ?? ?? ? ?? ?。已知 ?????, ? ? ? ? c d ce ? df 0 3 5 15 ? ? ?f? ? ? ? ?? ? ? ? sin ? cos ? cos ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ,则 ? ? ? ?? cos ? sin ? sin ? 2 ? ?? ?





?0 ? A. ? ? ?0 ?

?0 ? B. ? ? ?1 ?

?1 ? C. ? ? ?0 ?

?1 ? D. ? ? ?1 ?

y

3 ? ? ? c o s| x t a n x | ( 0 ? x ?, x ?) 10.如图,函数 y 的图像是 2 2
y
?
2



?
? 3? x 2 ?

y

y

?
?
2 ?

?
?
2

?

3? 2

?

x

? ?
C

3? 2 x

? ?
?
2

?

?
D

3? 2

x

A

B

?? ? ? ? ?? ?a ? ? ? ? ?a ? 与 b不共线, a 11. 若向量 a ,且 c? ,则向量 a 与c 的夹角 ? b ? 0 a ? ?b ?? ? ? ?b ?a ?





A.

π 6

B.

π 3

C.

π 2

D. 0

12.已知函数 f (a 、 b为常数, a ?0, x?R)在 x ? ( x ) ? a sin x ? b cos x
3 ? 取得最小值,则函数 y ? f ( ?x )是 4

? 处 4




A 偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 B 偶函数且它的图象关于点 ( C 奇函数且它的图象关于点 (

3? , 0 ) 对称 D 奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 2

3? , 0 ) 对称 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。
? ? ? ? 13、若 a =(2,3), b =(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为_______。

14、 sin 6? sin 42? sin 66? sin 78? =________________;

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.

1 ? 15、函数 f (x)= log 1 cos(x? )的单调递增区间为 3 4 2

16、如图,一个半径为 10 米的水轮按逆时针方向每分钟转 4 圈.记水轮上的点 P 到水面的距离为 d 米(P 在水面下则 d 为负数),则 d(米)与时间 t(秒)之

? ? ? A s i n ( ? t ? ? ) ? k ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ) 间满足关系式:d , 且当 P 点从水面 2 2
上 浮 现 时 ( 图 中 点 P0) 开 始 计 算 时 间 . 有 以 下 四 个 结 论 : ①A=10 ; ②? ?
2? ? ③ ? ? ;④k=5. 则其中所有正确结论的 15 6

序号是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。 17.(本小题满分 12 分) ? ? 已知 a ,分别求使下列结论成立的实 ? ( 1 , 0 ), b ? ( 1 , 1 ) 数 ?的值: ? ? ? ? ? ?? ? ? ? (1) ( ;(2) ( ;(3) ( 的夹角是 60 ? . a ? ? b ) ? a a ? b ) //( a ? b ) a ? ? b ), ? a

??

18.(本小题满分 12 分)
1? 2cos(2x ? ) 4 . (5-18 班学生必须做答)已知函数 f (x) ? ? sin(x ? ) 2

?

(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域;(Ⅱ)若角 ? 是第四象限角,且 co s ? ?

3 ,求 f ( ? ) . 5

(1-4 班学生必须做答,5-18 学生做答当作附加分 10 分,但总分不超过 150 分) ? ? ? 2 ? 设0 ,函数 f 的最大值为 0,最小值为-4,且 a ( x ) ? cos x ? | a | sin x ? | b | ? |a | ? 2

? ? ? 与 b的夹角为 45? ,求 |a? b|。
19.(本小题满分 12 分)

? ? 如图, 在 ?ABC 中, D、 E 分别是 AC、 BC 的中点, M 是 DE 的中点, 若C . AB ? a , BC ? b
?? (1)用 a,b 表示 AM ;
D A M N E B 第 19 题

(2)若 N 为线段 AB 的中点,求证:C、M、N 三点共线.

20、(本小题满分 12 分)
? 2 ? ? ? ? b 已知向量 a =(cos ? ,sin ? ), b =(cos ? ,sin ? ),| a |=

5 5



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(Ⅰ)求 cos( ? - ? )的值; (Ⅱ)若0< ? <

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? ? 5 ,- < ? <0,且 sin ? =- ,求 sin ? 的值. 2 2 1 3

1 B

2 C

3 A

4 D

5 C

6 C

7 D

8 A

9 A

10 C

11 C

12 D

21(本小题满分 12 分) 已 知 向 量 xx x a ? ( 2 cos , tan( ? )), b ? ( 2 sin ? ) t 2 2 4 2 4

?

?

. 求函数 f(x)的最大值,最小正周期,并写出 f(x)在[0,π]上的单调区间.

22.(本小题满分 14 分) 已知定义在区间 [ ? ? , ? ] 上的函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ?

x?[ ?

? 2

2 3

图象如图所示.

( x ) ? A sin( x ? ) ( A ? 0 ,? 0 , ? ? ? ) , ? ] 时,函数 f , 2 2 6 3 y
2 3
1
? ?

? ?

? ? ? ?

? 对称,当 6

(1)求函数 y? f (x )在 [ ? ? , ? ] 的表达式; (2)求方程 f ( x) ?
2 的解. 2



x ? ?

? 6

o

? 6

2? ? 3

x

仙游一中 2008-2009 学年度上学期期末考试

高 一 数 学 ( 必 修 4) 试 题 答 题 卡
总分
一、选择题

二、填空题
13、 65 / 5 15、 14、

1 16

3? 3? ? ? ?6k? ? 4 ,6k? ? 4 ?( k ? Z ) ? ?

16、①②④

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三、解答题 17、解答:

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? ? (1) a ? ?b ? (1 ? ?, ?) ? ? ? ? (a ? ?b ) ? a ,? (1 ? ? ) ? 1 ? 0 ? ? ? 0 ,即 ? ? ?1 ; ? ? ? ? (2) a ? ?b ? (1 ? ?, ?) , ?a ? b ? (? ? 1,1) , (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) ? 0 , 解得 ? ? 1或? ? ?1 ;----------8 分 ? ? ? (3) ? (a ? ?b ), ?a 的夹角是 60? , ? ? ? (a ? ?b ) ? (1 ? ?,?? ), ?a ? (?,0) ? ? ? (a ? ?b ) ? ?a (1 ? ? )? 1 ? ? ? cos60 ? ? ? ? = 2 2 | a ? ?b | ? | ?a | (1 ? ? ) ? (?? ) ? | ? | 2
2?2 ? 6? ? 3 ? 0

? ? ? ? ? (a ? ?b ) //(?a ? b )



??

3? 3 3? 3 ----------12 分 或? ? 2 2

18、解答:(1)

1 ? tan 45? ? 2 。又若 ? ? ? ? 45? ,则 tan? ? tan ? 1 ? tan 45? ? tan( ? ? ?) ? , 1 ? tan? tan ? ? tan? ? tan ? ? tan? tan ? ? 1 即 (1 ? tan? )(1 ? tan ? ) ? 2 于是 (1 ? tan1? )(1 ? tan44? ) ? (1 ? tan2 ? )(1 ? tan43? ) ? ... ?

(1 ? tan22? )(1 ? tan23? ) ? 2
?原式 ? 2 22 (1 ? tan45? ) ? 2 22 ? 2 ? 2 23 -------------------------------6 分
(2)原式=

(1 ? cos? ) ? sin ? 1 ? cos? ? sin ? ? (1 ? cos? ) ? sin ? 1 ? cos? ? sin ?

2 cos2
=

?
2

? 2 sin ? 2 sin

? ?
2

cos cos

?
2?

2 sin 2 2 cos

?
2 2

? 2 sin ? 2 sin

? ?
2 2

cos

? ?
2 2

2 sin

2 ?

?

2 ?

2

==

2 cos (cos ? sin ) 2 sin (sin ? cos ) 2 2 2 ? 2 2 2 2 sin cos sin

?

?

2

?

2

cos

?

?

?

?

?

2

(sin

?

? cos ) 2 2

?

=?(

?

2?

sin

?

2 cos (cos ? sin ) 2 2 2

?

?

?

2

cos

?

2)?? 2

cos2

?

2 ? ? 2 ----------------------------------------6 分 ? ? sin ? sin cos 2 2 2

? sin 2

?

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19、解答:
C D A M N E B 第 19 题

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? ? 19.解:(1) AC ? AB ? BC ? a ? b , ? D、E 分别是 AC、BC 的中点,
? AD ?

1 1 ? ? 1 1? AC ? (a ? b ), DE ? AB ? a , 2 2 2 2

又 M 是 DE 的中点,
1 1 1? DE ? AB ? a , 2 4 4 1 ? ? 1? 3? 1? ? AM ? AD ? DM ? (a ? b ) ? a ? a ? b .-----------------------------------6 分 2 4 4 2 ? DM ?

(2)? N 为线段 AB 的中点,
? AN ?
1? 1? ? ? ? ? CN ? CA ? AN ? ?(a ? b ) ? a ? ? a ? b 2 2

1 1? AB ? a , 2 2

1 ? ? 1? CM ? CD ? DM ? DA ? DM ? ? (a ? b ) ? a 2 4 , ? 1? 1 ?? a? b 4 2

? CN ? 2CM ,即 C、M、N 三点共线。-----------------------------------12 分
20、解答:

? ? (Ⅰ) ? a ? ? c o ? s ,s? in b?? ?,

? c, o s ?? s, in

? ? ? a ? b ? ? cos ? ? cos ?, sin ? ? sin ? ? . --------1 分
? ? 2 5 ,? ? a ?b ? 5

? cos ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? sin ? ?
2

2

?

2 5 . ---3 分 5



2? 2 c o s ???? ??

4 .---5 分 5

3 ? cos ?? ? ? ? ? . 5

-----6 分 ∴ 0 ? ? ? ? ? ? . ---------------------7 分

(Ⅱ)∵ 0 ? ? ?

?

2

,?

?

2

? ? ? 0,

∵ cos ?? ? ? ? ?

3 4 ,∴ sin ?? ? ? ? ? . ---------------------9 分 5 5

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∵ sin ? ? ?

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5 12 ,∴ cos ? ? . ---------10 分 13 13

∴ sin ? ? sin ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ?
4 12 3 ? 5 ? 33 ? ? ? ? ? ? ? ? .-------------------------------------------------12 分 5 13 5 ? 13 ? 65
21、解答:

f ( x) ? a ? b ? 2 2 cos

x x ? x ? x ? sin( ? ) ? tan( ? ) tan( ? ) 2 2 4 2 4 2 4

x x 1 ? tan tan ? 1 x 2 x 2 x 2? 2 ? 2 2 cos ( sin ? cos ) ? 2 2 2 2 2 1 ? tan x 1 ? tan x 2 2 x x x ? 2sin cos ? 2 cos 2 ? 1 2 2 2 ? ? sin x ? cos x = 2 sin( x ? ) 4
? ? ? 所以 f ( x)的最大值为 2 ,最小正周期为 2 ?, f ( x)在[0, ] 上单调增加,[ , ] 上单 4 4 2 调减少-------------------------------------------------------------------------- 12 分 ? 2 22、解答(1) x ? [ ? , ? ] , 6 3 T 2? ? A ? 1, ? ? , T ? 2? , ? ? 1 4 3 6 2? 且 f ( x) ? sin( x ? ? ) 过 ( , 0) , 3 2? ? ? ? ? ? ? , ? ? , f ( x) ? sin( x ? ) ---------4 分 则 3 3 3 ? 当 ?? ? x ? ? 时, 6 ? ? 2? ? ? ? ? ? ?x ? ? , f (? x ? ) ? sin(? x ? ? ) 6 3 3 3 3 3 ? 而函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称,

? 则 f ( x) ? f ( ? x ? ) 3 ? ? ? 即 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? ? sin x , ?? ? x ? ? 3 3 6

6

? ? 2? ? sin( x ? ), x ? [? , ] ? ? 3 6 3 ? f ( x) ? ? -------9 分 ? ?? sin x, x ? [?? , ? ) ? 6 ?

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(2)当 ?

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?
6

?x?

2? ? ? 时, ? x ? ? ? , 3 6 3

? ? 3? ? 5? ? 2 x ? ? ,或 , x ? ? ,或 f ( x) ? sin( x ? ) ? 3 4 4 12 12 3 2
当 ?? ? x ? ?
x??

?
6

时, f ( x) ? ? sin x ?
,或 ?

2 2 ,sin x ? ? 2 2

?
4

3? ? 3? ? 5? ?x ? ? ,? , ? ,或 为所求。------------14 分 4 4 4 12 12

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