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河北省唐山市2013届高三上学期期末考试数学(理)试题(word版)


唐山市 2012—201 3 学年度高三年级期末考试数学(理)试题
参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的标准差;

s?

1 [(x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ?( xn ? x) 2 ],其中x 为样本平均数; n

柱体体积公式: V ? Sh, 其中S为底面面积、

h 为高;

1 Sh, 其中 S为底面面积 , h 为高; 3 4 3 2 球的表面积、体积公式: S ? 4?R , V ? ?R , 其中 R 为球的半径。 3
锥体体积公式: V ? 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求. 1.复数

2 ? 2i 1 ? 2i

=

A. 2
2

B.— 2
2

C. 2 i

D.— 2 i

2.下列函数中,满足 f ( x ) ? [ f ( x)] 的是 A. f ( x) ? ln x C. f ( x) ? x
3

B. f ( x) ?| x ? 1| D. f ( x) ? e
x

3.执行右边的程序框图,输出的结果为 A. 15 B. 16 C. 64 D. 65 4.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,右顶点为 A,以 FA 为直径的圆经过椭圆的 a 2 b2

上顶点,则椭圆韵离心率为 A.

5 ?1 2

B.

3 ?1 2

C.

2 2

D.

3 2

? x ? y ? 4, ? 5.设 x,y 满足 ? x ? 2 y ? ?1, 则z ? 2 x ? y 的最大值为 ? x ? 1, ?

第1页

A.3

B.5

C.

16 3

D.

19 3

6.一个三棱锥的三视图如图,则该三棱锥的体积为

1 3 2 C. 3
A.

1 2 1 D. 6
B.

7.等比数列 {an } , a1 ? a3 ? 17, a2 ? a4 ? 68, 则a2 a3 = 中 A. 32 B. 256 C. 128 D. 64

8.已知函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 1, 若命题“ ?x0 ? 0, f ( x0 ) ? 0 ”为真,则 m 的取值范围是 A. (—∞,-2] B.[2,+∞) C. (—∞,-2) D. (2,+∞)

??? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? 9.△ABC 中,点 P 满足 AP ? t ( AB ? AC), BP ? AP ? CP ? AP ,则△ABC 一定是
A.直角三角形 10.函数 y ? B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形

ex ? x )的一段图象是 ex ? x

11.已如点 M(1,0)及双曲线 的余弦值为 A.

x2 ? y 2 ? 1 的右支上两动点 A,B,当∠AMB 最大时,它 3
1 2 1 3 1 3

1 2

B.—

C.

D.—

12.四面体 ABCD 的四个顶点在同一球面上,AB=BC=CD=DA=3,AC= 2 3 ,BD= 6 ,则该 球的表面积为

第2页

A.14π

B.15π

C.16π

D.18π

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. 13.3 位数学教师和 3 位语文教师分配到两所不同的学校任教,每校 3 位,且每所学校既有 数学教师,也有语文教师,则不同的分配方案共有 种. 14.已知 tan(? ?

?
4

) ? 2, 则 cos 2? =

。 .

15.曲线 y ? 0, y ?

x , y ? x ? 2 所围成的封闭图形的面积为
2, an?1 ? 1 ? an , 则{an } 的前 80 项的和等于 1 ? an

16.数列 {an }满足a1 ?



三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)一(21)题为必考题, (22)(23)(24)题为 , , 选考题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a ? b,sin A ? 3 cos A ? 2sin B. (I)求角 C 的大小; (II)求

a?b 的最大值. c

18. (本小题满分 12 分) 从某节能灯生产线上随机抽取 100 件产品进行寿命试验,按连续使用时间(单位:天) 共分 5 组,得到频率分布直方图如图. (I)以分组的中点数据作为平均数据,用样本估计该生产线所生产的节能灯的预期连续 使用寿命; (II)将以上统诗结果的频率视为概率,从该生产线所生产的产品中随机抽取 3 件,用 X 表示连续使用寿命高于 350 天的产品件数,求 X 的分布列和期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 AA1B1B 为正方形,侧面 BB1C1C 为菱形,∠CBB1=60°, AB⊥B1C。 (I)求证:平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C; (II)求二面角 B-AC-A1 的余弦值.

第3页

20. (本小题满分 12 分) 设圆 F 以抛物线 P: y 2 ? 4 x 的焦点 F 为圆心,且与抛物线 P 有且只有一个公共点. (I)求圆 F 的方程; (Ⅱ)过点 M (-1,0)作圆 F 的两条切线与抛物线 P 分别交于点 A,B 和 C,D,求经 过 A,B,C,D 四点的圆 E 的方程. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x.
2

(I)讨论函数 f(x)单调性; (Ⅱ)当 a ? ? , 0 ? t ? 2 时,证明:曲线 y ? f ( x) 与其在点 P(t , f (t )) 处的切线至少 有两个不同的公共点.

1 8

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 , , 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,D 是 ? 的中点,BD 交 AC 于点 E. AC (I)求证:CD2=DE2=AE×EC; (II)若 CD 的长等于⊙O 的半径,求∠ACD 的大小.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 D 为极点,以 x 轴正半轴为极 轴, 曲线 Cl 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? , 曲线 C2 的参数方程为 ? (I)当 ? ?

? x ? t cos ? , 。 (t 为参数) ? y ? t sin ?

?
4

时,求曲线 Cl 与 C2 公共点的直角坐标;

第4页

(II)若 ? ?

?
2

,当 ? 变化时,设曲线 C1 与 C2 的公共点为 A,B,试求 AB 中点 M 轨迹

的极坐标方程,并指出它表示什么曲线. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ( x) ?| x ? a |, a ? R. (I)当 ?1 ? x ? 3时, f ( x) ? 3 ,求 a 的取值范围; (II)若对任意 x∈R, f ( x ? a) ? f ( x ? a) ? 1 ? 2a 恒成立,求实数 a 的最小值.

参考答案
一、选择题: A 卷:CCDAD B 卷:ACDBC 二、填空题: (13)18 三、解答题: (17)解: ? ? (Ⅰ)sin A+ 3cos A=2sin B 即 2sin A+ 3 =2sin B,则 sin A+ 3 =sin B.?3 分 ADCBB ADCAB 4 (14) 5 CA DA 10 (15) 3 (16)-70 2

(

)

(

)

因为 0<A,B<?,又 a≥b 进而 A≥B, 2? ? ? 所以 A+ 3 =?-B,故 A+B= 3 ,C= 3 . ?6 分 (Ⅱ)由正弦定理及(Ⅰ)得 a+b sin A+sin B 2 ? ? = sin C = sin A+sin A+ 3 = 3sin A+cos A=2sin A+ 6 .?10 分 c 3

[

(

)]

(

)

a+b ? 当 A= 3 时, c 取最大值 2. (18)解: (Ⅰ)样本数据的平均数为: 175×0.05+225×0.15+275×0.55+325×0.15+375×0.1=280. 因此,该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命为 280 天. 1 (Ⅱ)依题意,X~B 3,10 . X 的可能值为 0,1,2,3.

?12 分

?5 分

(

)

第5页

9 3 729 1 9 2 243 P (X=0)= 10 =1000,P (X=1)=C1×10× 10 =1000, 3

( ) 1 9 27 1 1 P (X=2)=C ×(10) ×10=1000,P (X=3)=(10) =1000.
2 3 2 3

( )

?9 分

X 的分布列为 X P 0 729 1000 1 243 1000 2 27 1000 3 1 1000 ?10 分 1 3 数学期望 E (X)=3×10=10(件) . (19)解: (Ⅰ)由侧面 AA1B1B 为正方形,知 AB⊥BB1. 又 AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以 AB⊥平面 BB1C1C, 又 AB?平面 AA1B1B,所以平面 AA1B1B⊥BB1C1C.
z C C1

?12 分

?4 分

B

O A

B1 A1

y

x

(Ⅱ)由题意,CB=CB1,设 O 是 BB1 的中点,连结 CO,则 CO⊥BB1. 由(Ⅰ)知,CO⊥平面 AB1B1A.建立如图所示的坐标系 O-xyz. 其中 O 是 BB1 的中点,Ox∥AB,OB1 为 y 轴,OC 为 z 轴. 设 AB=2,则 A (2,-1,0),B (0,-1,0),C (0,0, 3),A1(2,1,0).

→=(-2,0,0),→=(-2,1, 3),AA =(0,2,0). → AB AC ?6 分 1 →=0,n ·→=0, 设 n =(x ,y ,z )为面 ABC 的法向量,则 n · AB AC
1 1 1 1 1 1

?-2x1=0, 即? 取 z1=-1,得 n1=(0, 3,-1). ?-2x1+y1+ 3z1=0.

?8 分

设 n2=(x2,y2,z2)为面 ACA1 的法向量,则 n2·→=0,n2·→=0, AA1 AC ?2y2=0, 即? 取 x2= 3,得 n2=( 3,0,2). ?10 分 ?-2x2+y2+ 3z2=0. n1·n2 7 所以 cos ?n1,n2?= =- 7 . |n1||n2| 7 因此二面角 B-AC-A1 的余弦值为- 7 . ?12 分 (20)解: (Ⅰ)设圆 F 的方程为(x-1)2+y2=r2(r>0) . 将 y2=4x 代入圆方程,得(x+1)2=r2,所以 x=-1-r(舍去) ,或 x=-1+r. 圆与抛物线有且只有一个公共点,当且仅当-1+r=0,即 r=1.

第6页

故所求圆 F 的方程为(x-1)2+y2=1. ?4 分 (Ⅱ)设过点 M (-1,0)与圆 F 相切的斜率为正的一条切线的切点为 T. 连结 TF,则 TF⊥MT,且 TF=1,MF=2,所以∠TMF=30°. ?6 分 2 2 直线 MT 的方程为 x= 3y-1,与 y =4x 联立,得 y -4 3y+4=0. 记直线与抛物线的两个交点为 A (x1,y1)、B (x2,y2),则 y1+y2=4 3,y1y2=4,x1+x2= 3(y1+y2)-2=10. ?8 分 从而 AB 的垂直平分线的方程为 y-2 3=- 3(x-5). 令 y=0 得,x=7.由圆与抛物线的对称性可知圆 E 的圆心为 E (7,0).?10 分 |AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2]= (1+3)[(y1+y2)2-4y1y2]=8 2. 7-0+1 2 2 又点 E 到直线 AB 的距离 d= 2 =4,所以圆 E 的半径 R= (4 2) +4 =4 3. 因此圆 E 的方程为(x-7)2+y2=48. ?12 分
y B

A M C

T OF x

D

(21)解: 1 (Ⅰ)f (x)的定义域为(0,+∞),f ?(x)=2ax- x . (1)若 a≤0,则 f ?(x)<0,f (x)在(0,+∞)是减函数; ?2 分 2a 2a (2)若 a>0,则当 x∈ 0, 2a 时,f ?(x)<0,f (x)在 0, 2a 是减函数; 2a 2a 当 x∈ 2a ,+∞ 时,f ?(x)>0,f (x)在 2a ,+∞ 是增函数. ?4 分 (Ⅱ)曲线 y = f (x)在 P (t,f (t))处的切线方程为 y = f ?(t)(x-t)+f (t), 且 P 为它们的一个公共点. 设 g (x)=f (x)-[f ?(t)(x-t)+f (t)],则 g ?(x)=f ?(x)-f ?(t),有 g (t)=0,且 g ?(t)=0. ?6 分 1 1 1 1 设 h (x)=g ?(x)=- 4 x- x -f ?(t),则当 x∈(0,2)时,h ?(x)=- 4 +x2>0, 于是 g ?(x)在(0,2)是增函数,且 g ?(t)=0,所以 当 x∈(0,t)时,g ?(x)<0,g (x)在(0,t)是减函数; 当 x∈(t,2)时,g ?(x)>0,g (x)在(t,2)是增函数. 故当 x∈(0,t)或 x∈(t,2]时,g (x)>g (t)=0. ?9 分 若 x∈(2,+∞),则 1 1 1 1 1 x g (x)=-8x2-ln x-[f ?(t)(x-t)+f (t)]=-8x2+ 4 t+ t x- 8 t2-1-ln t

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

第7页

1 1 1 1 1 8 1 <-8x2+ 4 t+ t x- 8 t2-1=-8x x-2t- t - 8 t2-1. 8 1 当 x>2t+ t 时,g (x)<- 8 t2-1<0. 8 所以在区间 2,2t+ t 至少存在一个实数 x0>2,使 g (x0)=0. 因此曲线 y=f (x)与其在点 P (t,f (t))处的切线至少有两个不同的公共点.?12 分 (22)解: (Ⅰ)∵∠ABD=∠CBD,∠ABD=∠ECD,∴∠CBD=∠ECD, DE DC 又∠CDB=∠EDC,∴△BCD∽△CED,∴DC=DB,∴CD2=DE×DB, ∵DE×DB=DE×(DE+BE)=DE2+DE×BE,DE×BE=AE×EC, ∴CD2-DE2=AE×EC. ?6 分 (Ⅱ)连结 OC,OD,由已知可知△ODC 为等边三角形,

(

)

(

)

(

)

1 ∴∠COD=60?.∴∠CBD=2∠COD=30?, ∴∠ACD=∠CBD=30?.
B

?10 分

O E A D

C

(23)解: (Ⅰ)曲线 C1 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0. ? 当 α= 4 时,曲线 C2 的普通方程为 y=x. 由①,②得曲线 C1 与 C2 公共点的直角坐标方程为(0,0),(1,1). (Ⅱ)C1 是过极点的圆,C2 是过极点的直线. 设 M (ρ,θ),不妨取 A (0,θ),B (2ρ,θ),则 2ρ=2cos θ. ? 故点 M 轨迹的极坐标方程为 ρ=cos θ(θ≠ 2 ) . 1 1 它表示以 2 ,0 为圆心,以 2 为半径的圆,去掉点(0,0). (24)解: (Ⅰ)f (x)=|x-a|≤3,即 a-3≤x≤a+3. ?a-3≤-1, 依题意,? ?a+3≥3. 由此得 a 的取值范围是[0,2]. (Ⅱ)f (x-a)+f (x+a)=|x-2a|+|x|≥|(x-2a)-x|=2|a|. 当且仅当(x-2a)x≤0 时取等号. 1 解不等式 2|a|≥1-2a,得 a≥ 4 . 1 故 a 的最小值为 4 .

① ② ?4 分 ?7 分

(

)

?10 分

?4 分 ?6 分

?10 分

第8页

第9页


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