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2014高中数学加强版专题专栏(新人教A版)第06章 不等式


2014 高中数学精讲精练 第六章 不等式 【知识图解】 证明 基本不等式 应用 解法 不 等 式 一元二次不等式 应用 几何意义 二元一次不等式组 应用 【方法点拨】 不等式是高中数学的重要内容之一,不等式的性质是解、证不等式的基础,两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的 作用.解不等式是研究方程和

函数的重要工具,不等式的概念和性质涉及到求最大(小)值,比较大小, 求参数的取值范围等, 不等式的解法包括解不等式和求参数, 不等式的综合题主要是不等式与集合、 函数、 数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合,综合性强,难度较大,是高考命题的热点,也是高考复 习的难点. 1. 掌握用基本不等式求解最值问题,能用基本不等式证明简单的不等式,利用基本不等式求最值时一定 要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。 2. 一元二次不等式是一类重要的不等式,要掌握一元二次不等式的解法,了解一元二次不等式与相应函 数、方程的联系和相互转化。 3. 线性规划问题有着丰富的实际背景,且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关,对于这部分 内容应能用平面区域表示二元一次不等式组,能解决简单的线性规划问题。同时注意数形结合的思想 在线性规划中的运用。 第 1 页 共 13 页 第1课 【考点导读】 基本不等式 1. 能用基本不等式证明其他的不等式,能用基本不等式求解简单的最值问题。 2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。 【基础练习】 a2 ? b2 1.“a>b>0”是“ab< ”的充分而不必要条件(填写充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必 2 要条件、既不充分也不必要条件) 2. a ? b ? 1, b ? c ? 2, c ? a ? 2, 则ab ? bc ? ca 的最小值为 2 2 2 2 2 2 1 ? 3 2 3.已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 ? 1 16 4.已知 lg x ? lg y ? 1 ,则 【范例导析】 例 1.已知 x ? 5 2 ? 的最小值是 2 x y 5 1 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值. 4 4x ? 5 分析:由于 4x ? 5 ? 0 ,所以首先要调整符号. 解:∵ x ? ∴y=4x-2+ 5 ∴ 5 ? 4x ? 0 4 1 ? 1 ? = ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ≤-2+3=1 5 ? 4x ? 4x ? 5 ? 当且仅当 5 ? 4 x ? 1 ,即 x=1 时,上式成立,故当 x=1 时, ymax ? 1. 5 ? 4x a b + = 1 ,求 x+y 的最小值。 x y 例 2.(1)已知 a,b 为正常数,x、y 为正实数,且 (2) 已知 x ? 0,y ? 0 ,且 x ? 2 y ? xy ? 30 ,求 xy 的最大值. 分析:问题(1)可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本不等式求 解;问题(2)既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于 xy 的不等式,也可以采用变量代换 转换为一元函数再求解. 解:(1)法一:直接利用基本不等式: x + y = (x + y)( a b bx ay + ) = a + b + + ≥ a +b + 2 ab 当且仅当 x y y x ? ay bx ? x = y ? ? ? x = a + ab ,即

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