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第三十一届全国中学生物理竞赛模拟训练(十六)


第三十一届全国中学生物理竞赛模拟训练(十六)
一、(20 分)某人在设计房子的时候尽量节省空间,弄了一个立起来是储物架,放下来时床 的家具。他设计得很精巧,使得在放下的过程中,架子是保持水平的,而且人不怎么费劲。 下面我们给出一种设计。 A M D P1 AB 、 CD 、 AD 是 三 根 相 互 铰 接 的 轻 杆 , A B ? C D? 2 . 0 m , AD

? 0.5m 。这样就能保证架子上的东西不会掉下来。但是考虑到

O

B

负重分别加在 D 点和 CD 中点 O 点 P 1 ? 10kg , P 2 ? 20kg ,直接 把床推上放下会比较费力,而且容易砸到人,即使没有砸到人,砸 到花花草草也不好。为了解决这个问题,我们在 AB 杆上距离 A 点 0.5m 处的 M 点连一根原长可以忽略的弹簧到 D 点。这样就可以自

?
P2 C

由的上下推动床而几乎不费力了。 g ? 10N/kg (1) 为了尽量省力,弹簧的经度系数 k 应当为多少? (2) 当床与墙面夹角 ? ? 30? 时,请计算 AD 杆上的受力。 【解答】 (1)如果势能处处恒定则无需外力。令 AB ? l ? 2.0m , AD ? AM ? a ? 0.5m 由余弦定理 DM 重力势能
2

? a 2 ? a 2 ? 2a 2 cos ?

(1 分)

l E p1 ? Pl cos ? 1 cos ? ? P 2 2
弹性势能

(2 分)

1 1 2 k DM ? k (2a 2 ? 2a 2 cos ? ) (2 分) 2 2 l ? ka 2 ) cos ? 为常数,于是 要求总势能为常数,则有 ( Pl 1 ? P 2 2 l P 1 gl ? P 2g 2 ? 1600Nm-1 (5 分) k? a2 E p2 ?
注:其它方法只要结果正确,过程无明显错误均给分 (2)由于 AD 是轻杆,且只在两端受力,所以受力沿杆,设为 N 对于 AB 杆,以 B 为支点,由合外力矩等于 0

Nl sin ? ? k DM
?AMD 中由正弦定理

3l sin ?AMD ? 0 4

(4 分)

sin ?AMD sin ? ? AD DM
代入力矩方程有

(2 分)

联系我们:

Nl sin ? ? ka
由此得到

3l sin ? ? 0 4

(4 分) 注:其它方法只要结果正确,过程无明显错误均给分 二、(22 分)天宫一号圆满完成了国内第一次太空授课。在课堂演示中我们看到了如下情景, 一个水球悬浮在空中, 我们可以通过水球构成的透镜看到宇航员倒立的像。 假设水球半径为 r ,折射率为 n 。在计算中我们取傍轴近似(只计算小角度范围的光线成的像)

N ? 600N


r

O

l
D



假设物体、水球、实像之间的相对位置如图所示,由于相机没有变焦,因而只能对物体前方 距离为 D 处的物体能够清晰成像。 (1) 随着球心到物体之间距离 l 的变化, 将发现两次能清晰成像的位置 l1 、 求 | l1 ? l2 | , l2 。 以及两个实像大小的比值 (2) D 应当满足什么条件才能观察到上述现象。 【解答】 解法一: (1) 设第一次成像物距为 u ,像距为 v ' ,设第二次成像物距为 u ' ,像距为 v (物在光心左为正,像在光心右为正) 由单球面成像公式

1 n n ?1 ? ? u v' r n n 1? n ? ? u' v ?r
由平面几何

(1) (2)

(3 分) (3 分)

(3) (4) 将(1) 、 (2)代入(3)消去 u ' 和 v ' 得到

u '? v ' ? 2r u ? v ? D ? 2r

(1 分) (1 分)

2uv(n ? 1) ? (u ? v)r(n ? 2) ? 2r 2
再将(4)代入得到

2r 2 ? r(n ? 2)( D ? 2r ) uv ? 2(n ? 1)
于是

l1 ? l2 ? u ? v ? (u ? v )2 ? 4uv ? D 2 ?
按放大率定义
联系我们:

2nDr n ?1

(6 分)

第一次成像放大率为

M1 ? ?

v' vn vv ' ?? ? un u ' uu '

(1 分)

由于光路可逆,第二成就和第一相比就是物象对调,因而第二次成像放大率为:

M 2 ? M1?1
代入 u 、 v 的解,得到两个实像大小比值为

(1 分)

M ? M12 ? (

(n ? 1) D ? nr ? (n ? 1)2 D 2 ? 2(n ? 1)nDr 2 ) nr

(2 分)

(2) 需要使得上式有意义,需要根号内大于 0 于是有

D?

2n r n ?1

(4 分)

解法二: 如图假设小角度入射,如图假设各个角度

?

?
x

?' ?'

?'

?

?'
y

?

由傍轴近似

? ( x ? r) ? ? ' r ; ? ( y ? r) ? ? ' r ;

(2 分)

由平面几何,第一次折射角和第二次入射角相等,均为 ? ' ,因而第一次入射角和第二次折 射角均为 ? 。由三角形外角等于两内角和

? ? ? ?? ' ? ?
?
n x nr

x y ;? ? ? ? ? ' ? ? ; r r

(2 分)

由折射定律及傍轴近似

? '?

??

(2 分)

在中间的三角形中:

? '? ? ' ? 2? '

(2 分)

代入以上各式,只用 ? 和 x 、 y 表示,整理得到:

x?r y?r x x ?? ? ? 2? ; r r y nr
联系我们:

2 1 1 1 ? ? ?2 ; r x y nr 1 1 x ? y 2(n ? 1) ? ? ? x y xy nr
又 (4 分)

x? y ?D
所以

l ? l ' ? x ? y ? ( x ? y )2 ? 4 xy ? D 2 ?
以下同解法一

2nrD n ?1

(2 分)

三、(23 分)如图所示,一个半径为 r 的匀质薄壁圆筒,质量为 m ,被轴承限制只能绕着其中 心轴旋转。一根长为 l ? 2r 的不可伸长的细绳一端系在圆筒上,另一端连接一个质量 m 的 质点,开始如图静止。沿垂直于绳子的方向给质点大小为 J ? mv0 的冲量。 试计算说明,求当绳子与接触点法线夹角是否能到达 30 ? ,如果可以求出圆筒相对地面的角 速度,如果不可以说明理由。 y

m
O

m

r

l J

x

【解答】
y

?r
A

(? ? ? )l ?r
m
O

?
x

? B

如图,在任意时刻,令接触点 B 的方向与 x 轴夹角为 ? ,令绳子 AB 方向与 OB 夹角 ? B 相对地面的速度为

vB ? ? r

(1 分)

在以 B 为参照的平动系中(即 B 为原点,且坐标轴方向不变的参照系,想象一下在摩天轮 车厢里面的人) , A 相对 B 的速度
联系我们:

vAB ? (? ? ? )l

(4 分) (1 分)

所以 A 对地面速度为 vB 和 v AB 的矢量和 由能量守恒,其中使用了余弦定理

1 1 1 mv0 2 ? m(? r )2 ? m[(? r )2 ? (? ? ? ) 2 l 2 ? 2 cos ? (? r )(? ? ? )l ] 2 2 2
由角动量守恒,其中使用了矢量叉乘定义

(6 分)

mv0 (r ? l ) ? m?r2 ? m[(?r)r ? (? ? ? )l 2 ? (?r)l cos? ? (? ? ? )lr cos? ]
为了计算方便,做无量纲化: x ?

(6 分)

?r
v0

,y?

?l
v0

得到

1 ? (6 ? 4cos? ) x2 ? (8 ? 4cos? ) xy ? 4 y 2
3 ? (6 ? 4cos? ) x ? (4 ? 2cos ? ) y
代入 cos ? ?

3 得到 2

x ? 0.13 ; y ? 0.31
(另一个解 x ? 0.50 , y ? ?0.31 代表相对运动反向时的情景,未给出不扣分) 得到圆筒角速度: ? ? 0.13

v0 r

(5 分)

注 1:这个参照系中绳子与 x 轴转角为 ? ? ? ,因而角速度为 ? ? ? 。若将由结果误写为

vAB ? ? l ,能量守恒和角动量守恒方程只要形式正确不重复扣分,但不给结果分。
注 2:对于题设情景,可以计算绳子拉力,发现一直大于 0,所以绳子不会软。 注 3:保留 cos ? 形式不变,可以得到 ? ? 41? 时, y 只有一个解为 0;即此时相对角速度反 向,也就是说,相对转角最大为 41 ? 。

四、 (25 分)我们想做一个演示电磁感应定律的实验: 造一个大电磁铁, 正上面放一个细铁环,
7 ?1 ?1 半径为 R ? 10cm ,横截面为一个半径为 r ? 1mm 的圆,电导率为 ? ? 3.7 ?10 ? m ,

3 ?3 密度为 ? ? 2.7 ?10 kg ? m ,真空介电常数已知。在铁环的位置磁场大小为 B ? kI ,

k ? 0.2 ?10?2 N ? A?2 ? m?1 ,方向与竖直夹角 ? ? 30? ,假磁铁在圆环内磁场的竖直分量不
变。在磁铁中通入如下的正弦交流电,频率均为 f ? 10kHz (很高) ,振幅大小为 I 0
联系我们:

B

?

?

B
I (t )

I (t )

t

在这种情景下是否可以造成“悬浮”的现象,如果可以,估算出 I 0 的大小,如果不可以说 明理由。 (圆环的自感约为 6 ?10 H ,需要计算说明是否可以忽略) 【解答】 假设电流为 I ? I 0 cos ?t 则磁通量为
?7

?(t ) ? kI0? R2 cos? cos ?t
电动势为

(2 分)

? ??

d ? (t ) ? ? ?kI 0? R 2 cos ? sin ?t ? ?kI 0? R 2 cos ? cos(?t ? ) dt 2
(2 分)

(3 分)

圆环电阻为

r0 ?

2? R 2R ? 2 ? 5.4 ? 10?3 ? 2 ?? r ?r

若忽略电感应,则感应电流为

i (t ) ?

? cos(?t ? ) r0 2

?

?

安培力平均值向上为正

F (t ) ? ?i (t ) B(t )sin ? 2? R ? cos(?t ) cos(?t ? ) ? 0 2

?

(3 分)

因而忽略电感导致不可以悬浮,因而不可忽略 (2 分) 利用感抗大小说明不扣分,不说明理由或者理由错误不给分。 保留电感,电路的方程可以写为

? (t ) ? r0i (t ) ? L
令 i (t ) ? i0 cos(?t ?

?

di dt ? ? ) ,代入得到

(3 分)

2

? 0 cos(?t ) ? i0 [cos(?t ?

?
2

? ? ) r0 ? ? L sin(?t ? ? ? ??)

?
2

? ? )]

? i0 r0 2 ? ? 2 L2 cos(?t ?

?
2

(2 分)

联系我们:

其中利用辅助角公式 sin ? ? 于是安培力平均值

?L
(?L)2 ? r02

, ? ? 82?

F (t ) ? ?i(t )B(t )sin ? 2? R
??

?k 2 I 0 2 cos ? sin ?
r0 2 ? ? 2 L2

2? Rcos(?t ? ) cos(?t ? ? ? ) 2 2

?

?

(2 分)

由于悬浮合外力平均值等于 0(利用积化和差公式)

mg ?

?k 2 I 0 2? R 2 cos ? sin ?
r0 ? ? L
2 2 2

2? R

sin ? 2

(2 分)

代入数值得到

I 0 ? 1.37A

(4 分)

(作为估算,认为 ?L ? r0 , ? 近似为 90 ? 得到 I 0 ? 1.35A ,同样给全分)

五、(22 分)理想的非门可以视为一个受控电压源:当输入端电压大于 U c ? 6V 时,输出端 相当于和地线之间短路;当输入端电压小于 U c 时,输出端相当于和地线之间有一个理想电 压源, 电源电压 U0 ? 12V 。 等效电路图如图所示。 不同非门中接地点可以视为是同一个点。 我们利用非门、电容和电阻能够做成一个输出方波信号的多谐振荡器。画出下图电路中 VO 2 随着时间的变换关系。

Vi ? 6V

VO ? 12V
VO ? 12V

Vi ? 6V

VO ? 0V

Vi

G1

VO1
R

G2

VO 2

Vi

Vi

VO ? 0V

C
提示:已知如左下图的 RC 电路,从刚接通电路开始电容上电压随时间变化规律为:

U C (t ) ? U 0 (1 ? e

?

t RC

)

UC
C

U C (t ) ? U 0 (1 ? e
R

?

t RC

)

U0

t
联系我们:

【解答】 等效电路如图所示,可见电流只在 VO1 - R - C - VO 2 回路中流动。

Vi
V

VO1

VO 2
V

R
C
假设系统存在稳态,则电容电量为常数,因而电阻上电流为 0,则 G1 输入电压等于输出电 压,这显然矛盾,因而系统不存在稳态。 不失一般性,电容初态电压为 0,系统初态 VO1 ? 0V ,因而 VO1 ? 12V 电路沿逆时针给电容充电(电阻 I 上电流从下向上为正,电容电量 Q 右边记为正) 当 Q ? Q0 ? UcC 时候,门反向,进入 I I 门反向,此时 VO1 ? 12V , VO 2 ? 0V ,由于电容上电量不突变,所以

Vi ? 0V ?

Q0 ? ?6V C

因而电路沿顺时针给电容反向充电,新充入电量为 ? Q

12V ? 0V ? ? IR ?

Q0 ? ?Q ?Q ;即 18V ? ? IR ? C C

Vi 不断上升,到达 U c ? 6V 时, Q1 ? Q0 ? ?Q ? ?UcC 时,门反向,进入 II
类比题目中的 RC 电路有,此过程历时 tI ? RC ln3 II 门再次反向,此时 VO1 ? 0V , VO 2 ? 12V ,由于电容上电量不突变,所以

Vi ? 12V ?

Q1 ? 18V C

因而电路沿逆时针给电容正向充电,新冲入电量为 ?Q '

0V ? 12V= ? IR ?

Q1 ? ?Q ' ?Q ' ;即 18V=IR ? C C

Vi 不断上升,到达 U c ? 6V 时, Q0 ? Q1 ? ?Q ' ? UcC 时,门反向,进入 I
类比题目中的 RC 电路有,此过程历时 tII ? RC ln 3 ,重复循环 因此得到方波信号周期等于 T ? 2 RC ln 3 (只需得到此结果,过程无明显错误即给全分)

六、 (22 分)在真空中有一个体积为 V0 的绝热硬箱子, 内部有压强为 P 0 温度为 T0 的理想气体。
联系我们:

摩尔质量为 ? ,定容摩尔比热为 CV ?

3 R 。现在通过一个多孔塞让气体缓缓漏出。 2

(1)当气体漏出一半时候,箱子内温度为多少? (2)假设漏出气体的过程中,压强差做的功全部转换为气体的动能,问气体全部漏出的过 程中箱子一共可以获得多少动量? 提示:理想气体绝热方程为 pV 【解答】 对于还没有喷出的气体而言,它经历了准静态绝热膨胀过程。 ? ?
CV ? R CV

? 常数 , ? xn dx ?
a

b

1 (bn?1 ? an?1 ) n ?1
CV ? R 5 ? CV 3

初态 ( P0 ,

V0 ) ,末态体积为 V0 ,由绝热方程: 2 V P0 ( 0 )? ? PV0? (4 分) 2
2 ? PV0 ? T0 21?? ? T0 2 3 V P0 0 2

代入理想气体状态方程,末态温度

T ? T0

(4 分)

(2)假设经过一小段时间过程,有 ? dn 摩尔的气体被推出。 这时内部的气体状态为 ( P,V , T ) 对外做功

dW ? PdV ? P

?dn ? RT ? ?dnRT P

只需求出 T ? T (n) ,就能计算出做功了。 显然,我们知道绝热方程可以改写:

PV ? ? Const ,代入理想气体状态方程: V ? ?1T 为常数
我们可以把这里面初始的 V 看成剩余的 n 的那部分最开始占有的体积

(

n V0 )? ?1T0 ? (V0 )? ?1T n0 n ? ?1 ) n0
(4 分)

得到 T (n) ? T0 (

对外做功 dW ? ?

RT0n0? ?1

?

d ( n? )

(4 分)

联系我们:

在箱子系中,喷气体动量守恒,因而箱子获得动量 dp 大小等于气体动量。由动能定理

dW ?

( dp ) 2 2dm
RT0 ( n0 ) ?? ?1 n? ?1 )d ( n ) ? 2 ? RT0 ? ?1 ( ? dn ) n0
?

dp ? 2 ? ( ?dn )( ?
代入积分得到

?

(4 分)

P ? 1.06

? P0 2V0 2
RT0

(2 分)

注 1:如果最后系数计算的是 0.64,且积分步骤是 1 积分到 0.5,那么仅扣 1 分). 注 2:如果在地面系使用动能定理,将导致气体获得的动能在不同阶段不同,计算很难。 七、(26 分)在诱导原子核衰变的时候,有会用到 ? ? (读作 muon,中文缪子)代替原子中的 一个电子。 原子核核电荷数为 Z ? 65 。 ? ? 除了质量比电子重 207 倍之外几乎没有别的区别。 电子质量 me ? 0.91?10?30 kg ,电子电量 e ? ?1.6 ?10
?19

C ,普朗克常数 h ? 6.64 ?10?34 Js

(1)我们利用玻尔模型和牛顿力学做一个简单估计, ? ? 的基态和第一激发态之间的能级 差为多少?用电子伏特做单位表示。 (2)计算上一问中,基态 ? 的速度为多少?如果考虑相对论效应,会使得基态轨道半径
?

相对于牛顿力学情景相对变化多少? (3)原子核的质量为 mn ? 2.34 ?10?25 kg ,如果考虑到原子核质量并非远大于 ? 质量,
?

则玻尔量子化改为体系总角动量(不计自旋)量子化。考虑这个效应,基态能量变化百分比 为多少? 【解答】 (1) 由玻尔模型

mvr ? n
由向心力方程

h ?n 2?

(3 分)

m

v 2 Kq 2 Z ? 2 r r

(3 分)

联立得到

r?
总能量
联系我们:

n2 2 Kq2 Zm

En ? ?

Kq2 Z K 2 q 4 Z 2m ?? 2r 2n 2 2

n ? 1 基态与 n ? 2 第二激发态能量差代入即可

?E ? 8.87 ? 106 eV
(2) 考虑相对论相应,质量变为 m ' ?

(3 分)

m 1? v2 c2

;令 ? ?

1 1? v2 c2

上述方程变为

? mv ' r ' ? n

(2 分)

?m
于是

v '2 Kq 2 Z ? r' r '2

(2 分)

n2 2 r' ? Kq2 Zm? v' ? n Kq2 Z ? mr ' ? n
(3 分)

于是 r ' ? r 1 ? v2 / c2 ? 0.89r (3) 由于质心不动 角动量

L ? L? ? Ln ? m? ( r ? mn m? m? ? mn r ??n
2

m? mn ) 2 ? ? mn ( r )2 ? m? ? mn m? ? mn

(4 分)

向心加速度

mn Kq2 Z 2 m? ( r )? ? 2 m? ? mn r
由此可见,只需把 m 换为 代入数据发现相差 0.08%

(4 分)

mn m? m? ? mn

即可 (2 分)

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