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必修1课件3.1.2用二分法求方程的近似解


§3.1.2用二分法求方程的近似解

a

b

对于给定的区间(a,b), a+b (1)定义 为区间的中点, 2 (2)定义b-a为区间的长度。

ε :艾普西隆

一.函数零点的概念:
1.函数零点的定义: 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做

函数 y=f(x)的零点(zero point) 。

注意:
零点指的是一个实数;

零点是一个点吗?

函数y=f(x)的零点就是就是方程f(x)=0的实 数根。从图像上看,函数y=f(x)的零点,就是 函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。

2.方程的根与函数的零点的关系: 方程 f(x)=0 有实数根 ?函数 y=f(x) 的图象与x轴有交点 ?函数 y=f(x) 有零点 3.怎样求函数y=f(x)的零点的个数? (1)求相应方程f(x)=0的根 代数法 数形结合

(2)将y=f(x)变形,判断两图象交点个数 (3)利用函数的图象、性质、零点存在性 图像法 条件去求

二.零点存在性定理
定 如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断 理 的一条曲线,并且有f(a) · f(b)<0,那么,函数y=f(x) 在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c ∈ (a,b), 使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
思考1:零点唯一吗? 思考2;若只给条件f(a) · f(b)<0能否保证在 (a,b)有零点? 思考3:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线:且f(a)· f(b)>0,是否在(a,b) 内函数就没有零点?

求证:函数f(x)=lnx+2x-6仅有一个零点,且在区 间(2,3)内。

f(2)=_____,f(3)=_____
如何求出这个零点?

单调

缩小零点所在的区间范围,直到满足精确度。

试求函数 ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 f 的零点 精确到 .01 。 ( 0 )
y
4

2

0

1

5

x

-2

由前面的图像我们已经知道函数的零点个数是一个 在区间(2,3)内,那么进一步的问题是如何找出这个 零点(精确到0.01)?
-4

问题1:那么又用什么方法来将区间逐步缩小呢?

a?b 取区间中点 x0 ? 2

问题2:区间分成两段后,又怎样确定在哪一个小 的区间内呢?

判断f (a) ? f ( x0 ) ? 0成立与否,若成立则, 零点在(a, x0 ),否则在( x 0 , b)。

下面我们一起来将区间逐步缩小从而找到其近似零 点。

函数f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6的零点在区间 2,3)内, ( 2?3 取区间(2,3)的中点x1 ? ? 2.5 2

f (2.5) ? ?0.084且由函数图像可知 (2) ? 0, f

f (3) ? 0,所以,函数 ( x)的零点落在( .5, f 2 3)内。

同理再取 (2.5,3) 的中点 2.75 因为 f (2.5) ? f (2.75) ? 0 故函 数的零点落在区间 (2.5,2.75) 再取(2.5,2.75)的中点 2.625 因为 f (2.5) ? f (2.625) ? 0 故函 数的零点落在区间 (2.5,2.625) 内

) 再取(2.5,2.625) 的中点 2.5625 因为 f (2.5) ? f (2.5625 ? 0 故函 数的零点落在区间 (2.5,2.5625) 内
) 0 再取(2.5,2.5625) 的中点 2.53125 因为 f (2.53125 ? f (2.5625) ? 故 函数的零点落在区间(2.53125,2.5625) 内

再取(2.5312,2.5625)的中点

2.546875 因

) ) 为 f (2.53125 ? f (2.546875 ? 0 故函数的零点落在
区间
(2.53125,2.546875)内 2.5390625因

再取(2.53125,2.546875)的中点
) ) 为 f (2.53125 ? f (2.5390625 ? 0

故函数的零点落在


区间

(2.53125,2.5390625)

零点所在区间

区间端点的 绝对值

中点值

中点函 数近似值

(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.5625) (2.53125,2.5625)

1 0.5 0.25 0.125 0.0625

2.5 2.75

-0.084 0.512 0.215

2.625
2.5625

0.066 -0.009
0.029 0.010 0.001

2.53125
2.546875 2.5390625

0.03125

(2.53125,2.546875) 0.01562

(2.53125,2.5390625) 0.0078125 2.53515625

我们发现:,3) ? (2.5,3) ? (2.5,2.75) ? (2 (2.5,2.625) ? (2.5,2.5625 ? (2.531252.5625 ) , ) ? (2.531252.54687 ? (2.531252.5390625 , ) , )
区间确实是缩小了。 而且,当精确度为0.01时,由于 所以我们将=2.53125作为函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的 近似根(亦可将该区间内任意一点作为其近似根)。

2.5390625 2.53125? 0.0078125 0.01 ? ?

二分法(bisection method):象上面这种求 方程近似解的方法称为二分法,它是求一元方程 近似解的常用方法。

定义如下: 对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函数 y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分 为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法(bisection)

关键点
1.零点的初始区间的确定 2.缩小区间的方法

3.零点的精确化

一般步骤: 1.确定区间[a,b],验证f(a)· f(b)<0,给定精确度ε; 2.求区间(a,b)的中点c; 3.计算f(c);
(1)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (2)若f(a)· f(c)<0,则令b= c(此时零点x0∈(a, c) ); (3)若f(c)· f(b)<0,则令a= c(此时零点x0∈( c, b) ).

编写程序

4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零 点近似值a(或b);否则重复步骤2~4.

用流程图表示如下:

f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6
输入精确度?和 区间端点值a, b

a?b x1 ? 2



f (a) ? f ( x1 ) ? 0 ?


a ? x1

b ? x1
a ? b ? ?或f ( x1 ) ? 0



输出a或b

例题1 x 借助计算器或计算机用二分法求方程 2 ? 3x ? 7 ? 0 的近似解(精确到0.1)。 解: f ( x) ? 2x ? 3x ? 7 令 用计算器或计算机作出函数 f ( x) ? 2x ? 3x ? 7 的对应值表与图象:

y ? 2 ? 3x ? 7
x

0 -6

1 -2

2 3

3 10

4 21

5 40

6 75

7 142

x



。 y 观察右图和表格,可知 f (1) ? f (2) ? 0 说明在区间(1,2)内有零点 x0

取区间(1,2)的中点 x1 ? 1.5


x

用计算器可的得f (1.5) ? 0.33
x0 ? (1,1.5)再取 (1,1.5)的中点 x2 ? 1.25用计算器求得 f (1.25) ? ?0.87 因此 f (1.25) ? f (1.5) ? 0 所以 x ? (1.25,1.5)

, , ,

因为 f (1) ? f (1.5) ? 0 ,所以

0



同理可得 x0 ? (1.375,1.5), x0 ? (1.375,1.4375)


由1.375 ?1.4375 ? 0.0625 ? 0.1,此时区间 (1.375,1.4375) 的两个端点,精确到0.1的近似值是1.375(或1.4375)

(1) (4) 思考:下列函数中能用二分法求零点的是____.

用二分法求函数零点近似值. 步骤: 1.确定区间[a,b],验证f(a)· f(b)<0,给定精确度ε;

2.求区间(a,b)的中点c; 3.计算f(c);
(1)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (2)若f(a)· f(c)<0,则令b= c(此时零点x0∈(a, c) ); (3)若f(c)· f(b)<0,则令a= c(此时零点x0∈( c, b) ). 4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或b);否则重复步骤2~4.


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