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复习课(二) 圆锥曲线与方程


复习课(二)

圆锥曲线与方程

圆锥曲线的定义及标准方程
圆锥曲线的定义及标准方程在高考中主要以选择题或填空 题的形式进行考查,标准方程在解答题中也会涉及,是高考解析 几何的必考内容.

[考点精要]
椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程
椭圆 平面内与两个 定点 F1,F2 的 定 距离之和等于 义 常 数 ( 大 于 |F1F2|) 的 点 的 轨迹 双曲线 抛物线

平 面 内 与 两 个 定 点 平面内与一个 F1 , F2 的距离的差的 定点 F 和一条 绝 对 值 等 于 非 零 常 定直线 l(l 不经 数 (小于 |F1F2|且大于 过点 F)距离相 零)的点的轨迹 等的点的轨迹

椭圆 x y + =1 或 a2 b2 y2 x2 + =1 a2 b2 (a>b>0) 关系 式 a2-b2=c2
2 2

双曲线 x2 y2 - =1 或 a2 b2 y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) a2+b2=c2

抛物线 y2=2px 或 y2=-2px 或 x2=2py 或 x2=-2py(p>0)

标准 方程

[典例]

(1)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离 ( x2 y2 B. + = 1 4 3 x2 y2 D. + =1 4 3 )

1 心率等于 ,则 C 的方程是 2 x2 y2 A. + =1 3 4 x2 y2 C. + =1 4 2

2 2 x y (2)已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的 a b

一个焦点,且双曲线的离心率为 2,则该双曲线的方程为 ________________.

[解析]

(1)右焦点为 F(1,0)说明两层含义:椭圆的焦点在 x

c 1 轴上;c=1.又离心率为a= ,故 a=2,b2=a2-c2=4-1=3, 2 x2 y2 故椭圆的方程为 + =1,故选 D. 4 3 (2)由题意可知抛物线的准线方程为 x=-2,∴双曲线的半 焦距 c=2.又双曲线的离心率为 2,∴a=1,b= 3,∴双曲线
2 y 的方程为 x2- =1. 3 2 y [答案] (1)D (2)x2- =1 3

[类题通法]
求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后 定式,再定量”的步骤. (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. (2)定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应 用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为 mx2 +ny2=1(m>0,n>0). (3) 定量 —— 由题设中的条件找到 “ 式 ” 中待定系数的等量 关系,通过解方程得到量的大小.

[题组训练]
x2 y2 1.(天津高考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过 a b 点(2, 3),且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 7x 的准线 上,则双曲线的方程为 x2 y2 A. - =1 21 28 x2 y2 C. - =1 3 4 x2 y2 B. - = 1 28 21 x2 y2 D. - =1 4 3 ( )

b 解析:选 D 由双曲线的渐近线 y=ax 过点(2, 3), b 可得 3=a×2.① 由双曲线的焦点(- a2+b2,0)在抛物线 y2=4 7x 的准线 x= - 7上,可得 a2+b2= 7.②

由①②解得 a=2,b= 3, x2 y2 所以双曲线的方程为 - =1. 4 3

x2 y2 2.(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆 + =1 的三个顶点,且圆心在 16 4 x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________. 解析:由题意知 a=4,b=2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),

(0,-2),右顶点的坐标为(4,0).由圆心在 x 轴的正半轴上知 圆过点(0,2),(0,-2),(4,0)三点.设圆的标准方程为(x-m)2 +y2=r2(0<m<4,r>0), 3 ? 2 2 ? ?m=2, ?m +4=r , 则? 解得? 2 2 ? ??4-m? =r , ?r2=25. 4 ?

3?2 2 25 ? 3?2 2 25 答案:? ?x- ? +y = 所以圆的标准方程为?x-2? +y = . 2? 4 ? 4 ? ?

x2 y2 3.方程 + =1 表示曲线 C,给出以下命题: 4-t t-1 ①曲线 C 不可能为圆; ②若 1<t<4,则曲线 C 为椭圆; ③若曲线 C 为双曲线,则 t<1 或 t>4; 5 ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t< . 2 其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号).

5 3 2 2 解析:显然当 t= 时,曲线为 x +y = ,方程表示一个圆;而 2 2 5 当 1<t<4,且 t≠ 时,方程表示椭圆;当 t<1 或 t>4 时,方程表 2 5 示双曲线;而当 1<t< 时,4-t>t-1>0,方程表示焦点在 x 轴上 2 的椭圆,故③④为真命题.

答案:③④

圆锥曲线的几何性质
圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的核心内容, 高考非常重视对圆 锥曲线几何性质的考查, 试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查 圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率),在解答题中与 圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查.

[考点精要]
椭圆、双曲线、抛物线的几何性质
椭圆 标准方程 x2 y2 + =1 a2 b2 (a>b>0) 关系式 图形 a2-b2=c2 封闭图形 双曲线 x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) a2+b2=c2 无限延展, 有渐 无限延展, 近线 没有渐近线 抛物线 y2= 2px(p>0)

椭圆 对称性 顶点 离心率 准线方程

双曲线

抛物线 无对称中心 一条对称轴 一个 e=1 p x=- 2 2p 决定开口大小

对称中心为原点 两条对称轴 四个 0<e<1 两个 e>1

决 定 形 状 的 e 决定扁 e 决定开 因素 平程度 口大小

[典例]

x2 y2 (1)(山东高考)已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b> a b

0),若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点为 E 的 两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是________. x2 y2 (2)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方 a b x2 y2 3 程为 2- 2=1,C1 与 C2 的离心率之积为 ,则 C2 的渐近线方 a b 2 程为________.

2b2 [解析] (1)如图, 由题意知|AB|= a , |BC|=2c. 又 2|AB|=3|BC|, 2b2 ∴2× a =3×2c,即 2b2=3ac, ∴2(c2-a2)=3ac,两边同除以 a2 并整理得 2e2 -3e-2=0,解得 e=2(负值舍去). (2)设椭圆 C1 和双曲线 C2 的离心率分别为 e1 和 e2,则 e1= ?b? a2-b2 a2+b2 a4-b4 3 3 ? ?4 , e .因为 e e ,所以 = ,即 2 2= 1· 2= a a 2 a 2 ?a? 1 b 2 = ,∴a= . 4 2 b 2 故双曲线的渐近线方程为 y=± ax=± 2 x, 即 x± 2y=0. [答案] (1)2 (2)x± 2y=0

[类题通法] 求解离心率三种方法 (1)定义法:由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲 线)的焦点在 x 轴上还是 y 轴上都有关系式 a2-b2=c2(a2+b2=c2) c 以及 e=a,已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数,这是 基本且常用的方法. (2)方程法:建立参数 a 与 c 之间的齐次关系式,从而求出其 离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法. (3)几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平 面几何性质以及椭圆 (双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间 的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、 直观.

[题组训练]
x2 2 1.如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y =1 与双 4 曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 C1, C2 在第二、四象限的公共点.其四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( A. 2 3 C. 2 B. 3 6 D. 2 )

解析:选 D 焦点 F1(- 3,0),F2( 3,0), 在 Rt△AF1F2 中,|AF1|+|AF2|=4, |AF1|2+|AF2|2=12, 所以可解得|AF2|-|AF1|=2 2, 故 a= 2, 3 6 所以双曲线的离心率 e= = ,选 D. 2 2

x2 y2 2.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点为 F1,F2,过 F2 a b 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A,B 两点,F1B 与 y 轴相交于点 D,若 AD⊥F1B,则椭圆 C 的离心率等于________. 解析:不妨设 A 在 x 轴上方,由于 AB 过 F2 且垂直于 x 轴, ? ? b2? b2? 因此可得 A?c, a ?,B?c,- a ?,由 OD∥F2B,O 为 F1F2 的 ? ? ? ? ???? ? ? ? b2 ? 3b2? ???? 中 点 可 得 D ?0,-2a? , 所 以 AD = ?-c,- 2a ? , F1 B = ? ? ? ? ???? ???? ? ? b2? 3b4 2 ?2c,- ?,又 AD⊥F1B,所以 AD · F1 B =-2c + 2=0,即 a? 2a ?
3b4=4a2c2,又 b2=a2-c2,所以可得 3(a2-c2)=2ac,两边同时 3 2 2 除以 a ,得 3e +2e- 3=0,解得 e= 或- 3,又 e∈(0,1), 3 3 答案: 3 故椭圆 C 的离心率为 . 3 3

x2 y2 3.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛 a b 物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F. 若双曲线截抛物线的准线所得线 段长为 2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为________.

解析:c2=a2+b2,① 由双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c 知,
? p? c2 p2 双曲线过点?c,-2?,即 2- 2=1.② a 4b ? ?
2 p 由|FA|=c,得 c2=a2+ ,③ 4

由①③得 p2=4b2.④

c2 将④代入②,得 2=2. a a2+b2 b ∴ 2 =2,即a=1, a 故双曲线的渐近线方程为 y=± x,即 x± y=0.
答案:x± y=0

直线与圆锥曲线的位置关系
高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲 线,试题中一般都有直线问题参与,这使得解析几何试题具有 广泛的命题背景,当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如: 直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离),直线与曲线 交汇产生的一些几何量的范围和最值,动直线(或曲线)过定点 等一系列热点问题,这些热点问题都是高考所重视的.

[考点精要]
直线与圆锥曲线有关的问题 (1)直线与圆锥曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程 与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,通常消去 方程组中变量 y(或 x)得到关于变量 x(或 y)的一元二次方程, 考虑该一元二次方程的判别式 Δ,则有:Δ>0?直线与圆锥曲 线相交于两点;Δ=0?直线与圆锥曲线相切于一点;Δ<0?直 线与圆锥曲线无交点.

(2) 直 线 l 截 圆 锥 曲 线 所 得 的 弦 长 |AB| = ?1+k2??x1-x2?2 或
? 1? ?1+ 2??y1-y2?2,其中 k? ?

k 是直线 l 的斜率,(x1,y1),(x2,y2)是直线

与圆锥曲线的两个交点 A,B 的坐标,且(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2, x1+x2,x1x2 可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出.

[典例]

已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1),焦点在 x 轴上,若

右焦点到直线 x-y+2 2=0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点 M,N,当 |AM|=|AN|时,求 m 的取值范围.
[解] x2 2 (1)依题意可设椭圆方程为 2+y =1(a>1), a

则右焦点 F( a2-1,0), | a2-1+2 2| 由题设,知 =3, 2 x2 2 解得 a =3,故所求椭圆的方程为 +y =1. 3
2

y=kx+m, ? ? 2 (2)设点 P 为弦 MN 的中点,由?x 2 + y =1, ? ?3 得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0, 由于直线与椭圆有两个交点, 所以 Δ>0,即 m2<3k2+1, ①

xM+xN 3mk 所以 xP= =- 2 , 2 3k +1 m 从而 yP=kxP+m= 2 , 3k +1 yP+1 m+3k2+1 所以 kAP= x =- , 3mk P

又|AM|=|AN|,所以 AP⊥MN, m+3k2+1 1 则- =-k,即 2m=3k2+1, ② 3mk 把②代入①得 2m>m2, 解得 0<m<2, 2m - 1 由②得 k = >0, 3
2

1 解得 m> , 2 故所求 m
?1 ? 的取值范围是?2,2?. ? ?

[类题通法] 有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法 (1)将直线方程与圆锥曲线方程联立,化简后得到关于 x(或 y) 的一元二次方程,则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况: ①相交:Δ>0?直线与椭圆相交;Δ>0?直线与双曲线相交, 但直线与双曲线相交不一定有 Δ>0,如当直线与双曲线的渐近线 平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故 Δ>0 是直线与双 曲线相交的充分不必要条件; Δ>0?直线与抛物线相交,但直线 与抛物线相交不一定有 Δ>0,当直线与抛物线的对称轴平行时, 直线与抛物线相交且只有一个交点,故 Δ>0 也仅是直线与抛物线 相交的充分条件,而不是必要条件.

②相切:Δ=0?直线与椭圆相切;Δ=0?直线与双曲线相切; Δ=0?直线与抛物线相切. ③相离:Δ<0?直线与椭圆相离;Δ<0?直线与双曲线相离; Δ<0?直线与抛物线相离. (2)直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、不等式、 平面几何等诸多方面的知识,形成了求轨迹、最值、对称、取值 范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合, 以形辅数的方法;还要多结合圆锥曲线的定义,根与系数的关系 以及“点差法”等.

[题组训练]
1. 平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线 x=-1 的距离相等.若机器人接触不到过点 P(-1,0)且斜率 为 k 的直线,则 k 的取值范围是________.
解析:设机器人所在位置为 A(x,y),依题意得点 A 在以 F(1,0)为焦 点,x=-1 为准线的抛物线上,该抛物线的标准方程为 y2=4x. 过点 P(-1,0),斜率为 k 的直线为 y=k(x+1).
2 ? ?y =4x, 由? ? ?y=kx+k

得 ky2-4y+4k=0.

当 k=0 时,显然不符合题意; 当 k≠0 时,依题意得 Δ=(-4)2-4k· 4k<0, 化简得 k2-1>0,解得 k>1 或 k<-1,因此 k 的取值 范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)

x2 y2 2.平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)右焦点 a b 的直线 x+y- 3=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 1 OP 的斜率为 . 2 (1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求 四边形 ACBD 面积的最大值.

解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则
2 2 2 y2-y1 x2 y x y 1 1 2 2 + =1, 2+ 2=1, =-1, a2 b2 a b x2-x1

b2?x2+x1? y2-y1 由此可得 2 =- =1. a ?y2+y1? x2-x1 y0 1 因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, = , x0 2 所以 a2=2b2. 又由题意知,M 的右焦点为( 3,0),故 a2-b2=3. 因此 a2=6,b2=3. x2 y2 所以 M 的方程为 + =1. 6 3

? 4 3 ? ?x+y- 3=0, x= , ? 2 2 3 ? (2)由? x y 解得? 3 + =1 ? ? 6 3 ? y=- ? 3 ? 4 6 因此|AB|= . 3 由题意可设直线 CD 的方程为
? 5 3 y=x+n? ?- 3 <n< ? ? ? 3 ?, ?

? ?x=0, 或? ? ?y= 3.

设 C(x3,y3),D(x4,y4). y=x+n, ? ? 2 2 由?x y 得 3x2+4nx+2n2-6=0. + =1 ? ?6 3

-2n± 2?9-n2? 于是 x3,4= . 3 因为直线 CD 的斜率为 1, 4 所以|CD|= 2|x4-x3|= 3 9-n2. 9-n2.

1 8 6 由已知,四边形 ACBD 的面积 S= |CD|· |AB|= 2 9 8 6 当 n=0 时,S 取得最大值,最大值为 . 3 8 6 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 . 3

“回扣验收特训”见“回扣验收特训(二)” (单击进入电子文档)


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