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一道课本操作题的探究与发现


2015年第4期
4P2+4 7P2一A’A2

中学数学研究

?23?

∞哪2—1瓦Fir—

AP2+4’P2—4伽2


2.PA.PA’



堡:竺竺!:翌±!:!i翌:翌二堡:旦旦!:旦二!:!i旦:旦


AP?Al p

?.’0P为△A 7PA的边AA’上的中线,.?.由三角形中 线长公式可知A尸2+A’P2=2DP2+2DA2,.?.cosa=

堡:(竺竺!:翌二竺竺!:旦)±!:(!i璺:翌二!i翌:旦!:
AP-A|P

与著.-.峨㈣=告刚?烈7.sind,
PA.刚’
。。。△4’刖一2

下丁7万2——■两■两—产一2
1。1…

DP2—0A2

02cos2∞+62sin2(p—02

二堡:!!翌(翌±旦2 1i翌(翌=旦2±!:!i翌(翌±旦!!i翌(翌二旦!

。1““’

。……‘‘‘“ =卫生二旦11堕墨}之罢P堕㈣....
AP?A|P A尸?4’P

直线4,A的

又‘.‘Js△^,朋=÷I

yP

I?A’4=寺l

6sin妒I?20=

d.d:业粤竺竺兰三竺些型:
√(6sin臼)2+(口cos臼)2

方程6sin以一口cos钞=0,设P到直线AA 7的距离为

圳sin妒l,.。.号烈?雕’
同理可得到

?sind=06


sinp l,sin9


c。够=等l cot2卢=(筹)2 2南?
理成立. 定理2

:攀粤掣,...c呲: 尸4?剐7’。。。“~ 篇=等Isi酬. 206…~r—


堡!!!i里!旦二翌2

√(6sinp)2+(ocosp)2

?.s△。,朋=妻d?A’A=

sind

cos妒I

.cot。d+

d?DA=圳sin(p一妒儿又。.。s叫朋=扣,P.AP
?sind,.?.口6

sin(p一妒)I=


?AP?sina.

笔者再思考:因为长轴与短轴是一对特殊的共 轭直径,若将上面定理中的长轴与短轴替换成任意 一对共轭直径,还有类似u慕崧勐穑烤芯坑邢旅娑 点尸在椭圆62戈2+n2y2=0262(口>6

?。心m“2——万矿i产,。‘‘
.一:。.一2口6

sin(臼一翌)I



一r塑、2
一\




S1nd

2(百
,62一02

>0)上,弦44’,BB’是椭圆的一对共轭直径,点P 异于A,A’,B,B’,离心率e,若弦A4’,曰B’对点P的张 角分别是[A’PA=d,二B’PB=卢,则cot2a+cot2卢
P4

同理可知,c。印=篇 :壁』也韶等≯删,。i邮:
BP?BI P


)2 ?sin2(妒+日).

1~’

至堡!!竺竺曼i旦二箜2
BP?B1 P

4(1一e2)’

证明:设点P(ocos妒,6sin妒),由文[3]第623题 可设A(。cos9,6sin移),A’(一ocos臼,一6sinp), B(一口sinp,6cos口),B’(osin臼,一6cosp).在△A’fM

中,由余弦定理可知c。sd:型专{丢掣

(等)2.cos2(妒川,..一t2仪…t2卢= c等)2-才丢.
参考文献
[1]张定胜.圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质再探. 数学通讯,2007(7). [2]张定胜.准点对焦点弦张角的一个统一性质,中学数学 研究(江西).2010,10. [3]唐秀颖主编.数学题解辞典(平面解析几何).上海辞书 出版社,1983.

,.‘…t2卢=(嚣)2=

乞等岛≠.?.‘oP为△A,烈的边川上的

+2。A2..?.c。sd=篇=

中线,由三角形中线长公式可知AP2+A’P2=20P2

一道课本操作题的探究与发现
江苏省南京市第二十九中学
苏教版普通高中课程标准实验教科书数学(选

(210036)

张盛冬

个圆D,在圆外任取一定点F,将纸片折起,使圆周 通过F,然后展开纸片,得到一条折痕f(为了看清

修2—1)第43页习题2.3(1)第11题:在纸上画一 万方数据

?24?

中学数学研究

楚,可以把直线2画出来).这样继续画下去,得到若 干折痕.观察这些折痕围成的轮廓,它是什么曲线?

一、题目u慕獯
如图1所示,任取圆上一点P,显然PFu闹写


yO ,0 了0

堡坚箬[6zy;一口z戈:一。zcz+2口zcW。+。zz:+(2。z一。:)z 一2c(2口2一cz)戈。]:堡旦之£[6z(戈;+),j+2。戈。)一nz。z



2015第4期

线就是折痕z,z与直线P0u慕坏悖训墓旒>褪钦酆 围成的轮廓.当Q为中垂线Z与射线户D交点时(如
图1),QP—Q0=DP,当Q为中垂线Z与射线DP交 点时(如图2),QD—QP=0P,则l Q0—9P
l=

DP,‘.’QP=QF,.?.1 QD—QFI=DP,又0F>OP,

.。.Q的轨迹是以D、F为焦点,0P为实轴长的双曲线.

+(2。z一。:)z]:掣[6z(4口z一。z)一(。:~ nz)(4口z—cz)]:掣[6z(4口z一。z)一6:(4口z~
二y0

c2)]=O.
综上,直线Z是双曲线的切线. 结论2

PFu闹械悖偷墓旒J且运呤抵

长为直径的圆. 证明:如图4,取DF中点 为N,赋MN i/oP,MN= 图1 如图3几何画板演示的折 痕围成的轮廓(阴影部分为折 痕f的痕迹),本题的本质仍然 是定义法求轨迹.笔者受文 ’图2


÷oP=。,则肘的轨迹是以


Ⅳ(即以双曲线中心)为圆心, 以双曲线实轴长为直径的圆. 结论3 延长P0交圆D
图4

[1]的启发,现对该题作如下
思考. 二、探究 结论1 图3 PF中垂线f就是双曲线的切线.

于点R,连接职,作朋u闹
迹是双曲线的准线.

垂线m,则直线f(PFu闹写瓜撸┯耄韚慕坏闳盏墓 证明:(代数方法)与结论1证明中建立相同的

证明:设D尸=2口,0F=2c,62=c2一口2,6>0.

平面直角坐标系,则日就是△朋Fu耐庑模字

以DF所在直线为z轴,0F中垂线为y轴建立平面直

角坐标系,显然Q的轨迹方程为与一告=l,圆。的
方程为(戈+c)2+y2=4口2.

u闹写瓜呶揭挥悖堇迹ㄊ悖海阂磺担叨耄


yo

yo

垒L二÷_二堡,上述两式联立可得戈Ⅳ:一生.即点日
二y0


(1)当直线z斜率不存在时,易得直线z的方程
为戈=±o,显然与双曲线相切. (2)当直线Z斜率存在时,设直线z:y=m戈+n.
ry


的横坐标为定值,则日的轨迹是双曲线的准线
(几何方法)如图5,过点 日作DF的垂线i,过点p作Q丁 上;于丁,在月f△日D9和 Rt△PMQ寺,厶QPM+厶HQP =90。,[D日p+[日pP= 900,则[QPM=£0Hp.显 然易知D、H、Q、r四点共圆,则

m戈+凡,

联立{生一£一1消y得,(62一口2m2)戈2—2。2mn戈 。 62
【02

衾虬
雾代
图5

一02(凡2

+62)



0,△

=404m2几2

+402 f 62



%),则m:一孚,P,中点肘(竿,争),则z:y
tyn Z Z


。2m2)(62+n2)=4n262(62一02m2+凡2).设P(戈。,

一孕:一鱼;』(石一鱼.#).利用P在圆D上有(戈。 一了2一—::_L石一—丁一J?利用尸征倒c,上确(戈o

二D丁Q=[DHQ,因此 [QP肘=[0rQ. 又’.‘DP∥Qr,.?.[PDF=

加Qn。?△Qor一△D即,...器=筹=髦=
音,从而证明了点H在双曲线准线上,因此点日的轨
迹是双曲线的准线.

笙誓,孙:堡垒,因此△:
万方数据

+c)2+y;=4口2,则直线f化简为),:一堑_二』戈+

2叭5年第4期 三、发现 1.双曲线切线的尺规作图法 (1)过双曲线上一点作双曲线的切线 如图6,点P是双曲线上任 意一点,F,、F2分别是双曲线的 左右焦点,求作过P的双曲线的 切线. 作法:连接PF.并延长至

中学数学研究 现只需证明QM是[F,QF:的平分线.

?25?

在R以QPM和R以QF:M中,QP=Q疋,Q肘=
QM,则△QP肘兰△QF2M,则[PQM=[F:QM. (2)如图9,点p是双曲线 上任意一点,QH是双曲线的切 线且交双曲线准线于点日,连 接日与相应焦点F。,则QF。上
HFI.

N,使得PN=PF2,取NF2寺点
为E,连接直线EP即为所求. (2)过双曲线外一点作双 曲线的切线

只要证明双曲线上任意一 点Q处的切线是[QF。F:的平 分线即可.

)乞 / 矿 <
图9

证明略,参照结论3.
(3)如图10,F。、疋是双 曲线的左、右焦点,过双曲线 上任意一点p作双曲线的切 线f,与以双曲线中心为圆心, 以实轴长为直径的圆交于M、 Ⅳ两点,则F1Ⅳ上2,F2M上f. 证明:如图10,连接口E 图7 并延长至P,使得QP=QF:, 图10

如图7,点c不在双曲线上,
F,、疋分别是双曲线的左右焦 点,求作过P的双曲线的切线. 作法:以F,为圆心,实轴 长为半径作圆,以C为圆心, CF:为半径作圆,设圆F,与圆 C交亍E、D,连接EF¨DF2,分

别取线段EF:、DF:的中点为

A、B,连接直线AC、BC,两直线AC、日C即为所求. 这里需要指出的是,圆F,与圆c有几个公共点

连接PF:,由结论2可知,PF:的中点既在切线f上, 又在圆。上,则该点就是M,因此F:M上z,同理F。Ⅳ
上f.

就有几条切线,两圆公共点个数可以是o,1,2,因此
切线条数可能是0,1,2. 2.性质 (1)双曲线的光学性质:从一个焦点出发的光 线,经双曲线反射后,反射光线是散开的,它们好像 从另一个焦点射出的一样. (课本没有给出证明,在 此给出证明) 证明:如图8,p为双曲线 上任意一点,连接QF:,连接 QF。并延长至点P,使得QP= QF:,取线段PF:中点M,连接

(4)过准线上任意一点作双曲线的两条切线, 则切点弦所在直线经过焦点. (5)过双曲线焦点弦两端点的切线必相交,且 交点在准线上. (6)双曲线准线的轨迹就是以其中一个焦点为 圆心,实轴长为直径的圆的一条直径两端点与另一 焦点构成的三角形u耐庑牡墓旒# 参考文献
[1]莫世理.一道课本习题的探究与发现.中学数学研究(广 州)[J].2014(3)(上). [2]普通高中课程标准实验教科书高中《数学》(选修2一1) 图8 [M].江苏教育出版社,2013.6.

QM,则直线QM为双曲线在点
Q处的切线,由光的反射定律,

『b『屯凡『b『k陆『k『k凡凡见『b『k凡见陀吨吨『k『k『k『k『k凡『b见『哇『k『k见见陀吨『k『k凡凡见见见晚见『b『k『k『k

再探20 1 4年高考数学福建理科卷第1 9题
福建省莆田市外国语学校(351152) 林敏

题目

已知双曲线E:与一鲁=1(口>o,6>


0)的两条渐近线分别为f,:y=2戈,Z2:y=一2戈 (I)求双曲线E的离心率;



万方数据


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