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正弦型函数的图像与性质导学案 (1)


正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二)
学习目标: 1、熟练使用“五点法”作正弦型函数的图像;掌握正弦型函数的变换过程 学习重点:1.正弦型函数的变换过程;正弦型函数的两种变换方式; 学习难点:平移变换与伸缩变换先后导致平移量的区别; 问题导学: 说明由函数 y ? sin x 的图像经过怎样的变换就能得到下列函数的图像: (1) y ? sin ? x ?

? ?

? 12 ?

? ?

(2) y ?

1 sin x 3

(3) y ? sin 3x

课内探究一: “五点法”作函数 y ? A sin??x ? ? ? 在一个周期内的图像 例 1.用“五点法”作函数 y ? 2 sin( 2 x ? 第一步:列表(整体换元) :

?
3

) 在一个周期上的简图

2x ?
x y

?
3

0

? 2

?

3? 2

2?

第二步:描点; 第三步:连线(曲线要圆滑) ;

1

课内探究二:正弦型函数 y ? A sin??x ? ? ? 的图像变换 例 2.由 y ? sin x 的图像如何平移得到 y ? 3 sin( 2 x ? 方法一:先平移再伸缩

?
3

) 的图像?

y ? sin x ? y ? sin( x ?

?
3

) ? y ? sin( 2 x ?

?
3

) ? y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

)

方法二:先伸缩再平移:

y ? sin x ? y ? sin 2 x ? y ? sin( 2 x ?

?
3

) ? y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

)

跟踪训练:说明由函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换得到以下函数的图象? (1) y ? 5 sin( 2 x ?

?
3

) 先平移再伸缩

(2) y ?

2 1 ? sin( x ? ) 先伸缩再平移 3 2 3

课内探究三:正弦型函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的性质 例 3.根据函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) 的图像,回答下列问题

(1)函数的最大值为______对应的 x 的集合为______________________ (2)函数的最小值为_______对应的 x 的集合为_____________________ (3)函数的单调增区间是_________________单调减区间是__________________ (4)函数的最小正周期是_____,对称轴是_____________,对称中心是__________

2

跟踪训练 一、选择题 1.为了得到函数 y ? cos( x ? ) 的图像,只需将余弦函数的图像上各点( A. 向左平移

? ? 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 3 3 1 1 C. 向左平移 个单位长度 D 向右平移 个单位长度 3 3 1 ? 1 ? 2. 为了得到函数 y ? sin(x ? )的图像,只需将函数 y ? sin( x ? ) 的图像上各点 4 4 3 4
( )即可 B. 横坐标缩短为原来的 D.纵坐标缩短为原来的

1 3



4 倍,纵坐标不变 3 4 C. 纵坐标缩短为原来的 倍,横坐标不变 3
A. 横坐标缩短为原来的

3 倍,纵坐标不变 4

3 倍,横坐标不变 4

3. 下列函数中,图像的一部分如右图所示的是 ? (A) y ? sin( x ? ) (B) y ? sin(2 x ? ? ) 6 6 ? ? (C) y ? cos(4 x ? ) (D) y ? cos(2 x ? ) 3 6 4. 函数 y=2sin(ωx+φ),|φ|<
10 ? A ω = ,φ = 11 6

? 的图象如图所示,则 ( 2

)
2 1

y
11? 12

10 ? B ω= ,φ= 11 6

C ω=2,φ=

? 6

D ω=2,φ= -

? 6

o -2

x

x

5.函数 y=cosx 的图象向左平移 倍,所得的函数图象解析式为

1 ? 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 2 3

( (C) y=3cos(2x+
2? ) 3

)

1 ? ? (A) y=3cos( x+ )(B) y=3cos(2x+ ) 2 3 3

1 1 ? (D) y= cos( x+ ) 2 3 6

二、填空题 1.函数 y ? 3 cos( x ? 2.函数 y ?

3 ? sin(3x ? )( x ? R ) 的递减区间是________________________ 5 6 ? 3.下列说法中其中能将函数 y ? sin x 的图像变为函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像的序号为_______ 4 ? 1 ①向左平移 个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的 ; 2 4 ? 1 ②向右平移 个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的 ; 2 8 1 ? ③每个点的横坐标缩短为原来的 ,再向右平移 个单位长度 2 8 1 ? ④每个点的横坐标缩短为原来的 ,再向左平移 个单位长度 2 8
3

1 2

2? )( x ? [0, 2? ]) 的递增区间是__________ 3

4.将函数 y ? cos(2 x ?

4? ? ) 的图像上各点向右平移 个单位长度,再把横坐标缩短为原来 5 2

的一半,纵坐标伸长为原来的 4 倍,则所得的图像的函数解析式为 ________________________ 5.函数 y ? 0.75( x ? 三、解答题 1 已知函数 y ? 3 sin(

?
4

)( x ? [?? , ? ]) 的递减区间是____________________

1 ? x ? ) +1 2 4

(1)用“五点法”画出函数在一个周期上的图象(2)求函数的周期; (3)求函数的单调增区间; (4)求函数的对称中心; (6)求函数的最大值,并指出相应的 x 的取值; (7)将 y ? sin x 的图象经过怎样的变换得到上述函数的图象? (5)求函数的对称轴;

π ? 2.已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象过点 P? ?12,0?,图象上与点 P 最近的一个 π ? 最高点是 Q? ?3,5?. (1)求函数的解析式; (2)指出函数的增区间; (3)求使 y≤0 的 x 的取值范围.

4


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