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2.3.1双曲线及其标准方程


2.3.1 双曲线及其标准方程
六盘水市第四中学
一、教学背景 1、学生特征分析 学生已经学习了曲线与方程以及椭圆的相关知识,学生熟知椭圆的定义,会根据题目条件求简单的椭圆的标准 方程,有一定类比学习的能力。 2、 学习内容分析 本节课是承接椭圆定义和标准方程的研究,并为双曲线的简单性质学习打下基础。在教学中要时刻注意运用类 比的方法,让学生充分类比体会椭圆与

双曲线的异同点,使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。 二、教学目标 1、知识与技能 掌握双曲线的定义和标准方程 能比较双曲线和椭圆的异同 2、过程与方法 通过复习椭圆的定义, 经历双曲线定义的归纳和标准方程的推导过程, 进一步体会类比和数形结合的思想方法, 提高观察能力和探究分析能力。 3、情感态度与价值观 培养学生类比学习的习惯,提高观察归纳的能力 三、教学重点和教学难点 1、教学重点:双曲线的定义及其标准方程 2、教学难点:双曲线标准方程的推导 四、学习方式与教具 学习方式:探究式学习与类比学习;教具:拉链两条 五、教学过程与设计 教学环节 教学过程 师生活动 设计意图 备注

彭勇

-1-/4

温故知新

复习椭圆概念

学生回答 教师板书

复习巩固旧知 识,为引入双 曲线定义作铺 垫 类比椭圆的 定义,让学生 能从图中分析 得到双曲线的 定义,而且强 调椭圆与双曲 线定义的区别 与联系 可以找 两组(4 人) 学生 上台演 示

定义发现

双曲线定义的发现

引入新课题,探索新概念 (实验操 作

问 1: 如果将椭圆的定义中 “与 两定点距离的和为常数”改为 “与两定点距离的差常数”这 这样的点的轨迹是什么?学生 亲自动手画出曲线

实验:1.取一条拉链,拉开一 部分; 2.在拉开的两边各选择一点, 分别固定在点 F1,F2 上; 3.把笔尖放在点 M 处,随着拉 链逐渐拉开或者闭拢,画出一 条曲线,把拉链固定的两个点 位置互换;

问 2:动点 M 满足什么几何条 件?

形成概 念)

归纳双曲线定义

问 3:类比椭圆定义,大家能 否归纳一下双曲线的定义? 问 4:常数有什么要求?

方程建立

类比椭圆标准方程的建立过 程,推导双曲线的标准方程。 1. 建系. 以 F1,F2 所在的直线为 x 轴,线 段 F1,F2 的中点为原点建立直角 坐标系 2. 设点. 设 M(x , y),则 F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式 |M F1| - |M F2|=±2a

类比椭圆标准方程的建立过 本环节不 程, 如何建立空间直角坐标系, 断刺激学生回 使双曲线的方程简单,并求在 顾椭圆的标准 该坐标系中双曲线的标准方程 方程的推导过 程,类比说明 预设问题: 双曲线的标准 方程推导的关 1.设常数为 2a 有什么用? 键步骤。体会 2 2 2 2.为何可令 c ? a ? b ? 椭圆与双曲线 的的区别与联 3. a 和 b 有没有大小关系? 系,同时强化 求曲线方程的 4.椭圆中 a 和 b 谁大? 一般步骤。 5.你能在图中找到表示 a,b,c 三个量的线段吗? 6.椭圆分焦点在 x 轴上,和 y 轴上两种?双曲线是否也有类 似情况?

学生上 台展示 化简的 过程, 教 师对学 生化简 过程评 价, 学生 对学生 的化简 过程评 价

( x ? c )2 ? y 2

-2-/4

? ( x ? c)2 ? y2 ? ?2a

4.化简

7.焦点在 y 轴上的双曲线的标 准方程如何求?(可类比椭圆 马上猜想方程,化简过程课后 完成)

( x ? c )2 ? y 2 ? ( x ? c )2 ? y 2 ? ? 2a cx ? a 2 ? ? a ( x ? c )2 ? y 2 (c 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (c 2 ? a 2 ) x2 y2 ? ?1 a2 c2 ? a2
令 c 2 ? a 2 ? b2 则有 概念巩固
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

请同学们类比归纳椭圆标准方 程和双曲线标准方程的区别和 联系. 1.请说出下列方程所表示的双 曲线的焦点坐标及 a,b 的值
x2 y2 ? ?1 9 4 x2 y2 (2) ? ?1 4 9 x2 y2 (3) ? ? ?1 4 9 (1)

区分双曲线 和椭圆的方程

快速作 答 形成共 识

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

检验学生对 标准方程基本 形式和双曲线 定义的理解程 度

学生独立完 成,快速口答, 相互纠正,教 师评价指导。

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

例题讲解

例 1 已知双曲线两个焦点分 别为 F (-5,0),F (5,0),双
1 2

学生板演,教师巡视检查,选 择有代表性的解答展示,对典 型错误进行纠正。

曲线上一点 P 到 F

1, 2

F 距离差

通过练 习,检测学生 对方法掌握情 况。 进一步熟悉用

师生合 作完成

的绝对值等于 6,求双曲线的

-3-/4

标准方程.

待定系数法求 曲线的方程 引导学生对双 曲线定义中距 离之差的绝对 值是常数和距 离之差是常数 是两个不同的 情况,点的轨 迹是双曲线的 两支还是一 支,对双曲线 的定义的设定 有更深的认 识。 学生自己说 教师做必要补充 通过小结使 本节课的知识 系统化,培养 学生养成对所 学知识及时总 结提炼的习 惯,不断提升 自己。通过学 生口述,检测 学生课堂知识 的掌握情况。 针对本节课的 教学重点:理 解双曲线定义 和会求简单双 曲线的标准方 程,设计作业 题,帮助学生 落实课程要 求。 师生 合作完 成

思考:若把例 1 中的绝对值去 掉, 则点 P 的轨迹是什么?求点 P 的轨迹方程.

比较归纳

1. 双曲线的定义 2. 双曲线的标准方程及方程 中 a,b,c 的关系

布置作业

1、 完成当焦点在 y 轴上的双曲 线方程的推导 2、 预习教科书例 2 的双曲线应 用 3、P55 练习

课后完成。

学 生课后 独立完 成, 双曲 线的应 用放在 第二课 时中

板书设计 双曲线的定义(含椭圆的定义) 双曲线的图形及标准方程 六、课后反思:
-4-/4


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