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湖北省荆门市2013届高三元月调考数学理试题(解析版)


荆门市 2013 届高三元月调考


注意: 1、全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

学(理)

2、考生务必将自己的姓名、考号、班级、学校等填写在答题卡指定位置;交卷时只交答题卡. 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目

要求的.将选项代号填涂在答题卡上相应位置. 1.设 f : x→ x 2 是集合 M 到集合 N 的映射,若 N={1,2},则 M 不可能是 A、{-1} C、{1, 2 ,2} 答案:C 解析:由映射的定义,集合 ,故选 C. 考点:映射的定义,集合的概念. 点评: 容易题,一定要弄清映射的定义. 2.已知函数 y ? f ( x) 的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表 x y A、2 个 答案:B 解析:依题意, 1 124.4 B、3 个 , 2 35 3 -74 C、4 个 , 4 14.5 5 -56.7 D、5 个 ,故函数 在区间[1,6] 6 -123.6 中的每一个元素在集合 中必须有唯一的元素与它对应,对选项 C, B、{- 2 , 2 } D、{- 2 ,-1,1, 2 }

则函数 y ? f ( x) 在区间[1,6]上的零点至少有

上的零点至少有 3 个,故选 B. 考点:函数的表示,函数的零点. 点评: 函数的表示方法:列表法、图像法、解析式法.用二分法判断函数的零点的方法:函数 在区间 有定义,若 ,则函数 在 上有零点. 3.复数

2?i 表示复平面内点位于 2?i
B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

A、第一象限 答案:A 解析::∵

,∴复数

对应复平面内的点

在第一象限,故选

A. 考点:复数的运算,复数的几何意义. 点评: 容易题,计算要仔细,保证一次做对. 4.已知一等差数列的前四项和为 124,后四项和为 156,各项和为 210,则此等差数列的项数是 A、5 B、6 C、7 D、8 答案:B

解析:设数列

为等差数列,依题意,

,∵



,∴ 考点:等差数列的性质,求和公式.

,∴

,故选 B.

点评: 容易题,根据题意用等差数列 .

的性质,

5.由直线 x ? , x ? 2, y ? 0 ,及曲线 y ? A、 答案:D 解析:依题意, 考点:定积分的运用.

1 2

15 4

B、

17 4

1 所围图形的面积为 x 1 C、 ln 2 2
,故选 D.

D、 2ln 2

点评: 容易题,注意积分区间,易出现错误 6.命题“ ?x ? R,e x ? x ”的否定是 A、 ?x ? R,e x>x C、 ?x ? R,e x ≥ x 答案:B 解析::∵全称命题 ,它的否定是 考点:含有一个量词的特称命题的否定. 点评: 容易题,注意弄清定义,特别注意等号该不该带上.

B、 ?x ? R,e x ≥ x D、 ?x ? R,e x>x ,它的否定是 .特称命题

.特称命题的否定是全称命题. 故选 B.

? x ? y ≥1 ? 7.若 x,y 满足 ? x ? y ≥ ?1 且 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 a 的取值范围是 ?2 x ? y ≤ 2 ?
A、(-1,2) 答案:D 解析::满足 B、(-2,4) C、(-4,0] D、(-4,2)

的平面区域是图中的三角形(阴影部分),

又目标函数 小值,∴ ,∴

仅在点

处取得最 ,即 ,



,解得

.

考点:考查线性规划.数形结合思想. 点评: 本题的关键是比较直线 的斜率与直线 与 得斜率的大小.

?(1 ? 3a) x ? 10a( x ≤ 6) + 8.已知函数 f ( x) ? ? x ? 7 若数列{an}满足 an= f (n) (n∈N )且{an}是递减数列, a ( x ? 6) ?
则实数 a 的取值范围是 A、( 答案:C

1 ,1) 3

B、(

1 1 , ) 3 2

C、(

1 5 , ) 3 8

D、(

5 ,1) 8

解析:依题意,数列

是递减数列,∴

解得实数 a 的取值范围是( 1 , 5 ),故选 C.

3

8

考点:考查分段函数,递减数列. .也容易认为实数 满足 ,错选 B.

点评:忽视

9.函数 y ? x ? sin x , x ? ? ? π, π ? 的大致图象是

A、 答案:A 解析::∵函数

B、

C、 既不是奇函数也不是偶函数,故选 A.

D、

考点:函数图像,函数的奇偶性. 点评: 这类问题,可根据函数的性质判断,也可根据特殊点判断. 10.某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段。在该几 何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为 A、2 2 答案:C 解析:可以把这个棱长设为某个立方体的对角线,这个立方体边长分别为 x,y,z
2 2 2 则 x +y +z =7 2 2 2 若 x +y =6 得 z =1

B、2 3

C、4

D、2 5

题目转换为 P= x 2 ? z 2 ?
2 2 而 a +b ≥

y 2 ? z 2 的最大值

1 ( a ? b) 2 2

2 2 2 2 从而 x + z + y + z ≥

1 2 1 p ,7+1≥ p 2 2 2

P 为正数,所以 P≤4 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错 位置,书写不清,模棱两可均不得分) 11. 已知 OA ? 1, OB ≤ 1 ,且 S ?OAB ? 答案: [ , 解析:设 ∴

1 ,则 OA 与 OB 夹角的取值范围是 4



.

π 5π ] 6 6
与 夹角为 ( ,又 ,∴ ),∵ ,且 ,∴ ,∴ ,∴ . ,

考点:考查三角形的面积公式,向量的数量积,计算能力. 点评: 注意向量夹角的取值范围,中等题. 12. 若在 ( 5 x ? ) n 的展开式中,第 4 项是常数项,则 n= 答案:18

1 x



解析:设展开式中第 第 4 项是常数项,∴

项为 时,

,则 ,∴ .

,又展开式中

考点:考查二项式定理.计算能力. 点评:易出现以下错误:展开式中第 4 项是常数项, 时, ▲ . ,∴ .

x 在点(1,1)处的切线方程为 2x ?1 答案:x+y-2=0
13.曲线 y ? 解析:∵点( 1 , 1 )在曲线 ,所求切线方程为 考点:导数的几何意义. 点评:容易混淆“过某点”与“在某点”. 14.下列命题中正确的是 ▲ .
2

上,∴ ,即

,∴过点( 1 , 1 )的切线的斜率为 .

①如果幂函数 y ? (m 2 ? 3m ? 3) x m

?m?2

的图象不过原点,则 m=1 或 m=2;

②定义域为 R 的函数一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和; ③已知直线 a、b、c 两两异面,则与 a、b、c 同时相交的直线有无数条; ④方程

y ?3 y ?1 = 表示经过点 A(2,3)、B(-3,1)的直线; x?2 x?3

⑤方程

x2 y2 - =1 表示的曲线不可能是椭圆; 2 ? m m ?1

答案:①②③ 解析:对①,要幂函数 或 .故正确. 的函数一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和,正确. 的图象不过原点,则 ,解得

对②,定义域为

对③,已知直线 、 、 两两异面,则与 、 、 同时相交的直线有无数条,正确. 对④,方程 y ? 3 = 表示经过点 、 的直线(不含 、 两点).错

x?2
误. 对⑤,设方程 - = 1 表示的曲线是椭圆,则 - =1 表示的曲线是椭圆,错误. ,解得 ,故当

时,方程 故正确的是①②③

考点:幂函数,函数的奇偶性,直线与直线的关系,两点式直线方程,椭圆的方程.数形结合思想,转

化能力. 点评: 这类问题求解,首先要弄清定义在何时成立,本题中的①③④⑤是最容易出错的. 15.定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意 x 均有 f (x)=f (x+2)+f (x-2)且 f (2013)=2013,则 f (2025)= ▲ . 答案:2013 解析:∵ ∴ ∴ 考点:考查周期函数的性质.考查分析转化能力. 点评:这类问题求解的关键是审题,弄清问题中涉及函数的哪几个性质,有时是函数的几个性质结 合运用,本题只用周期函数的性质求解. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a (2cos 2 , ,∴ ,∴ ,则函数 . 是以 12 为周期的函数, ∵ , ,

x ? sin x) ? b 2

(1)若 a=-1,求 f ( x) 的单调增区间; (2)若 x ? ? 0, π ? 时, f ( x) 的值域是[5,8],求 a,b 的值.

17.(本题满分 12 分)已知命题 p:函数 f ( x) ? (2a ? 5) x 是 R 上的减函数;命题 q:在 x ? (1, 2) 时, 不等式 x 2 ? ax ? 2 ? 0 恒成立,若 p∪q 是真命题,求实数 a 的取值范围.

18.(本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5 ,且 an ?1 ? 2an ? 1 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 f ( x) ? a1 x ? a2 x 2 ? ? an x n (n ? N ? ) ,求 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? nan .

19.(本题满分 12 分) 在五棱锥 P-ABCDE 中,PA=AB=AE=2a,PB=PE=2 2 a,BC=DE=a,∠EAB=∠ABC =∠DEA=90° (1)求证:PA⊥平面 ABCDE; (2)求二面角 A-PD-E 的正弦值.

20.(本题满分 13 分) 如图,已知直线 OP1,OP2 为双曲线 E:

x2 y 2 27 - 2 =1 的渐近线,△P1OP2 的面积为 ,在双曲 2 a b 4
13 . 2

线 E 上存在点 P 为线段 P1P2 的一个三等分点,且双曲线 E 的离心率为

(1)若 P1、P2 点的横坐标分别为 x1、x2,则 x1、x2 之间满足怎样的关系?并证明你的结论; (2)求双曲线 E 的方程; y M 点横坐标 x0 的取值范围. (3)设双曲线 E 上的动点 M,两焦点 F1、F2,若∠F1MF2 为钝角,求 P
1

O P2
第 20 题 图

P

x

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 满足对于 ?x ? R ,均有 f ( x) ? 2 f ( ? x) ? a x ? 2( ) x ? x ln a( a ? 1) 成立. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( x) 的最小值; (3)证明: ( ) n ? ( ) n ? ? ? ( ) n ?

1 a

1 n

2 n

n n

e (n ? N ? ) . e ?1

荆门市 2012-2013 学年度高三元月调考

数学(理)参考答案及评分标准
命题人:钟祥一中 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分。) CBABD BDCAC 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分。) 11、 [ , 审题人:龙泉中学 市教研室

π 5π ] 6 6

12、18

13、x+y-2=0

14、①②③

15、2013

三、解答题 16、 f ( x) =a(1+cosx+sinx)+b= 2 asin(x+ (1)当 a=-1 时,由 2kπ + 2kπ +

π )+a+b 4

??2 分

3 π π ≤x+ ≤2kπ + π 得 2 4 2

5 π ≤x≤2kπ + π 4 4 5 π ,2kπ + π ](k∈z) 4 4
??6 分

∴ f ( x) 的单调增区间为[2kπ + (2)∵0≤x≤π ∴

5 π π ≤x+ ≤ π 4 4 4

∴-

2 π ≤sin(x+ )≤1,依题意知 a≠0 4 2

1°当 a>0 时 ?

? 2a ? a ? b ? 8 ?b ? 5 ?b ? 8 ? 2a ? a ? b ? 5

∴a=3( 2 -1),b=5

??9 分

2°当 a<0 时 ?

∴a=-3( 2 -1),b=8

综上所述:a=3 2 -3,b=5 或 a=3-3 2 ,b=8 17、p:∵函数 f ( x) ? (2a ? 5) x 是 R 上的减函数 ∴0<2a-5<1,

??12 分

??3 分 ??4 分

5 故有 <a<3 2
q:由 x2-ax+x<0 得 ax>x2+2,∵1<x<2, 且 a> 又x?

x2 ? 2 2 ? x ? 在 x∈(1,2)时恒成立, x x
2 ? [2 2, 3] x

??6 分

∴a≥3

??9 分

p∪q 是真命题,故 p 真或 q 真,所以有 所以 a 的取值范围是 a> 18、(1)∵ an +1 =2an +1 又 a1 +1=6

5 <a<3 或 a≥3 2

??11 分 ??12 分 ??2 分

5 2

∴ an +1 +1=2(an +1)

∴ ∴ ?an +1? 是以 6 为首项,2 为公式的等比数列 ∴ an =3 ? 2n-1 ??5 分 ??7 分 ??9 分

∴ an +1=6 ? 2n-1 (2)∵ f ?(x)=a1 +2a2 x + ∴ f ?(1)=a1 +2a2 +

+nan x n-1

+nan +n ? 2n )-(1+2+
n(n +1) +6 2

=3(2+2 ? 22 +

+n )
??12 分
P

=3(n-1) ? 2n +1-

19、(1)在△PAB 中,PA=2a,PB=2 2 a,AB=2a ∴PB2=PA2+AB2 ∴PA⊥AB ??3 分 同理可证:PA⊥AE 又 AB∩AE=A,AB ? 平面 ABCDE,AE ? 平面

A D

E

ABCDE ∴PA⊥平面 ABCDE ??6 分 B C (2)过 E 作 EH⊥AD 于 H,EF⊥PD 于 F,连 FH,则 第 19 题图 EH⊥平面 PAD,FH⊥PD ∴∠EFH 为二面角 A-PD-E 的平面角 ??8 分 又在 Rt△AED 和 Rt△POE 中,EH?AD=AE?DE,EF?PD=DE?PE ∴EH=

2 5

a

EF=

2 3

2a

∴sin∠EFH=

EH 3 10 = EF 10 3 10 10
??12 分

故二面角 A-PD-E 的正弦值为

20、(1)设双曲线方程为

x2 y2 13 c - =1,由已知得 = 2 2 2 a a b
3 x 2
??????2 分

b2 9 ∴ 2 = 4 a
则 P1(x1,

∴渐近线方程为 y=±

3 3 x1) P2(x2,- x2) 2 2

3 3 x 的倾斜角为θ ,则 tanθ = 2 2 3 2? 2 = 12 ∴sin2θ = 9 13 1? 4
设渐近线 y= ∴

27 1 1 = |OP1||OP2|sin2θ = 4 2 2
9 2

x12 ?

9 2 x1 4

2 x2 ?

9 2 12 x2 ? 4 13
??????5 分

∴x1?x2=

(2)不妨设 P 分 P1 P2 所成的比为λ =2,P(x,y) 则 x=

x1 ? 2 x 2 3

y=

y1 ? 2 y 2 x ? 2 x2 = 1 3 2
??????7 分

∴x1+2x2=3x x1-2x2=2y ∴(3x)2-(2y)2=8x1x2=36

x2 y2 ∴ - =1 即为双曲线 E 的方程 4 9
(3)由(2)知 C= 13 ,∴F1(- 13 ,0) F2( 13 ,0) 设 M(x0,y0)

??9 分

9 x-9, MF1 =(- 13 -x0,-y0) MF2 =( 13 -x0,-y0) 4 13 ∴ MF1 ? MF2 =x-13+y= x-22 ??????11 分 4 13 若∠F1MF2 为钝角,则 x-22<0 4 2 286 又|x0|>2 ∴|x0|< 13 2 2 286 ,-2)∪(2, 286 ) ∴x0 的范围为(- ??13 分 13 13
则 y=

1 ? f ( x) ? 2 f (? x) ? a x ? 2( ) x ? x ln a ? ? a 21、(1)依题意得 ? ? f (? x) ? 2 f ( x) ? ( 1 ) x ? 2a x ? x ln a ? a ?
解之得 f ( x) ? a ? x ln a
x

??4 分
x

(2) f ' ( x) ? a ln a ? ln a ? (a ? 1) ln a
x

当 x>0 时 f ?( x) ? 0

当 x<0 时 f ?( x) ? 0

∴ f ( x) )在 (??,0) 上递减在 (0, ??) 上递增 ∴ f ( x) min =f (0) =1 (3)由(2)得 a x ? x ln a ≥ 1 恒成立,令 a=e, 在 e x ≥ x ? 1 中令 x=-
? k ≤e n n k

??8 分 则 ex ≥ x ? 1

k (k=1,2,?n-1) n
k n

∴1-

∴ (1 ? ) n ≤ e ? k

∴(1-

1 n -1 ) ≤e n

(1-

2 n -2 n ? 1 n -(n-1) n ) ≤e ?(1- ) ≤e ,( )n=1 n n n

n n n ?1 n n?2 n 1 - - - - ) +( ) +( ) +?+( )n≤1+e 1+e 2+?+e (n 1) n n n n 1 1 1 ? ( ) n e[1 ? ( ) n ] e ? e < e = ??14 分 1 e ?1 e -1 1? e
∴(


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