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第53届IMO预选题(二)


1 8   中 等 数 学  ! . . , . 、  . . ~ . .   一. . 、   .   ^ {   第 5 3届 I M O 预 选 题 ( 二)   中 图 分类 号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文 童 编 号 :1 0 0 5   组 合 部 分  一 ( i ) B 的每 次操 作 均 是从 每个 盒 子 中 拿  枚 硬币 , 并放 到相 邻的一 个盒子 中 ;   ( i i ) A的 每次操 作 均是 选 一些 曰在 前 面  的一 次操作 中没移 动过 }   存 不 同盒 : j 二 中的硬  币, 并将 它们分别 放 到相邻 的 … 一 个 盒子 中.   A的 目的是无 论 8怎样操 作 , 且 操作 多  少次 , _ 4每次操 作后 , 德 个盒子 中 至少有 一枚  1 . n个正 整 数 写 成 一 行 , 艾 丽 丝 选 两 个  相邻 的数 、 y (  >  , 且  存 Y的 左边 ) . 她 用  数对 (  +1 ,  ) 或(   —i ,  ) 来代替 (   y ) . 证  明: 艾丽 丝 只能进行有 限次 上述操作 。   2 . 已知 n是 正整 数. 求集合 { 1 , 2 , …, n}   中不交的元素对 的数 目的最大值 , 使得对于  任意两个 不同的元 素对 ( a , b ) 和(  d ) , 均 有  a+ b 、 c +d是不超 过 n的不 同整数.   硬币. 求, v 的最小值 , 使得  能成功达到 目的。   5 。 3 n× 3 n的方 格 表 的行 和 列分 别 编 号  为I , 2 , …, 3 n . 对 于 每个 方 格 (  , Y ) ( 1 ≤  、 Y   3 . 在一个 9 9 9× 9 9 9的方格表 中 , 一些 方  格是 白色 的 , 其 他方格 均是 红色 的. 设  是 由  一个方 格 C   、 C : 、 C 3 组 成 的方 格 组 ( C   , C   ,   C , ) 的个数 , 使得 C 。 、 C   在同 一 行, C   、 c  存  ≤3 n ) , 若  + Y模 3的剩余 为 0 , l 或2 , 则将  方格 (  , y l ) 分 别染 为 a色 、 b色或 c色. 每个  方格 内放置  一 一 枚 颜 色为 a色 、 b色或 C 色 的硬  币, 且每种颜 色的硬 币均有 3 n  枚.   同 - ̄ - , m J , 且C , 、 C   是 自色 的 , C   是 红 色 的. 求  的最 大 值.   4. A 、 暇 设能重 新摆 放 硬 币 的位 置 , 使 得 每枚  硬 币从 原来 的位 置 移动 的距 离 不 超 过 d , 且  B两个 人玩一种游 戏 : 有 N( N≥   每 个 a色硬 币取 代 一 . 一 个 b色 硬 币 , 每个 b色  硬 币取 代一 个 c色硬 币 , 每 个 C色 硬 币取 代  2   0 1 2 ) 枚 硬 币和 2   0 1 2个 放 在 圆 周 上 的 盒  子, 开始 时 , , 4 将这 些 硬 币 分配 到 2   0 1 2个 盒  子中, 使 得每个 盒子 中至少有 一枚 硬币 , 然 后  他们依  ,   曰,  ? ? 的次 序进 行 操 作 , 且 满 足  下述规则  个 a色硬 币   证明: 可以直 新摆放 硬

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