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2015届高三期初调研考试数学试题


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南京市中华中学 2015 届高三期初调研考试
第Ⅰ卷(必做题 共 160 分)

京翰高考网试题(gaokao.zgjhjy.com)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.

1 1.复数 1 ? 的模为 i
2. 已知全集 U ? R , 函数 y ? 则集合 (? U A)



1 的定义域为集合 A, 函数 y ? log 2 ( x ? 2) 的定义域为集合 B, x ?1

B?



3. log2 sin

?
12

? log2 cos

?
12

的值为


5 ?x ? R , ; 命题 q: 都有 x 2 ? x ? 1 ? 0 . 给 2

s i x? 4. 已知命题 p:?x ? R , 使n

出下列命题: (1)命题“ p ? q ”是真命题; (2)命题“ p ? ?q ”是假命题; (3) 命题“ ?p ? q ”是真命题; ( 4 )命题“ ?p ? ?q ”是假命题.其中正确的是 (填序号) . 5.右图的程序框图输出的结果 S 等于 .

6.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组(每小组 4 人)在期末考试中的 数学成绩.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 a 表示.已知甲、 乙两个小组的数学成绩的平均分相同,则乙组四名同学数学 成绩的方差
s2 ?

. 7.在△ABC 中, ?ABC ? 60? , AB ? 2 , BC ? 6 ,在 BC 上任取一点 D,使△ABD 为钝角三角

形的概率为



8.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p ? 6 2



9.已知向量 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 0 ,且 a 与 c 的夹角为 60 ? ,| b |? 3 | a | ,则 a 与 b 的夹角 为 . 10.已知 a,b,x 是实数,函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 与函数 g ( x) ? 2b(a ? x) 的图像不相交,记参 数 a,b 所组成的点 (a,b) 的集合为 A,则集合为 A 表示的平面图形的面积为 11.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? 2n (n ? N? ) ,则 S2012 ? . .

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2 12. 圆心在曲线 y ? ( x ? 0) 上, 且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 相切的面积最小的圆的方程为 x



0) 时, f ( x) ? 2 x , 13.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f ( x ? 4) ,当 x ? (?2,

则 f (2012) ? f (2011) ?



h( x) ? ln x , 14. 定义方程 f ( x) ? f ?( x) 的实数根 x0 叫做函数 f ( x) 的 “新驻点” , 若函数 g ( x) ? 2 x ,

? ( x) ? x3 ( x ? 0) 的“新驻点”分别为 a,b,c,则 a,b,c 的大小关系为
二、填空题:本大题共 6 小题,共计 70 分. 15. (本小题满分 14 分)



?? ? 已知函数 f ( x) ? tan ? 3 x ? ? . 4? ? ?? ? (1)求 f ? ? 的值; ?9? 3? ? ?? ? ?? ? ? ? (2)设 ? ? ? ? , ? ,若 f ? ? ? ? 2 ,求 cos ? ? ? ? 的值. 2 ? 4? ? ?3 4? ?

16. (本题满分 14 分)如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,

E

?ABD 为正三角形, EB ? ED, CB ? CD .
(1)求证: EC ? BD ; (2)若 AB ?BC ,M , N 分别为线段 AE, AB 的中点,
A M D C

求证:平面 DMN / / 平面 BEC .

N

B

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17. (本小题满分 14 分) 给定椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ).称圆心在原点 O,半径为 a2 ? b2 的圆是椭圆 C 的“准 a2 b2

圆” .若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2,0) ,其短轴上的一个端点到点 F 的距离为 3 . (1)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程; (2)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点,过动点 P 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只有一个交点,试判断 l1 , l2 是否垂直,并说明理由.

18. (本小题满分 16 分) 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元到 1000 万元的投资收益.现 准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过 9 万 元,同时奖金不超过投资收益的 20%. (1)若建立函数 y ? f ( x) 模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数 f ( x) 模型 的基本要求,并分析函数 y ?

x ? 2 是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明理由; 150 10 x ? 3a 作为奖励函数模型,试确定最小的正整数 a 的值. x?2

(2)若该公司采用函数模型 y ?

19. (本小题满分 16 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 2an ? Sn ? 1 , n ? N? . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)在数列 ?an ? 的每两项之间都按照如下规则插入一些数后,构成新数列 {bn } ; an 和 an ?1 两 项之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数构成等差数列,求 b2012 的值;

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(3)对于(2)中的数列 {bn } ,若 bm ? an ,求 b1 ? b2 ? b3 ?

. ? bm (用 n 表示)

20. (本小题满分 16 分)

5 已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? b ( a , b 为常数) ,其图象是曲线 C . 2
(1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 的单调减区间; (2)设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,若存在唯一的实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 与 f ?( x0 ) ? 0 同时成立, 求实数 b 的取值范围; (3) 已知点 A 为曲线 C 上的动点, 在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B , 在点 B 处 作曲线 C 的切线 l2 ,设切线 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 .问:是否存在常数 ? ,使得 k2 ? ? k1 ? 若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

第Ⅱ卷(附加题
两题评分. A. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 是

共 40 分)

21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题作答.若多做,则按作答的前

O 的一条直径, C , D 是 O 上不同于 A, B 的两点,过 B 作 O 的切线与 AD

的延长线相交于点 M , AD 与 BC 相交于 N 点, BN ? BM . (1)求证: ?NBD ? ?DBM ;

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(2)求证: AM 是 ?BAC 的角平分线.
C N A B D M

O

B. (本小题满分 10 分)选修 4—2:矩阵与变换
?1 2? ?7 10? 若二阶矩阵 M 满足 M ? ??? ?. ?3 4 ? ? 4 6 ?

(1)求二阶矩阵 M ; (2)把矩阵 M 所对应的变换作用在曲线 3x2 ? 8xy ? 6 y 2 ? 1 上,求所得曲线的方程.

C. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线 E: ? sin 2 ? ? 2cos? ,过点 A(5,? ) ( ? 为锐角且 tan ? ?

3 )作平行于 4

??

?
4

( ? ? R ) 的直线 l,且 l 与曲线 E 分别交于 B,C 两点.

(1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角坐标系, 写出曲线 E 与直线 l 的普通方程; (2)求 BC 的长.

D. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| , g ( x) ?| x ? 2 | .

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(1)解不等式: f ( x) ? g ( x) ? 2 ; (2)对于实数 x,y,若 f ( x) ≤1 , g ( y) ≤1 ,求证: | x ? 2 y ? 3 |≤ 3 .

【必做题】第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分) 某城市最近出台一项机动车驾照考试的规定: 每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试的机会, 一旦某次考试通过,便可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第 4 次为止.李明决定 参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为 0.6,0.7,0.8,0.9. (1)求在一年内李明参加驾照考试次数 X 的分布列和数学期望; (2)求李明在一年内领到驾照的概率.

23. (本小题满分 10 分) 已知点 A(?1 , 0) , F (1 , 0) ,动点 P 满足 AP ? AF ? 2 | FP | . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)在直线 l : y ? 2 x ? 2 上取一点 Q ,过点 Q 作轨迹 C 的两条切线,切点分别为 M , N .问:是 否存在点 Q ,使得直线 MN // l ?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

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参考答案
1. 2 . 2. (?2,? 1] . 3. ?2 . 4. (2) (3) . 5.20. 6.9. 7.

1 . 2

8.4. 9. ?
3 . 3

10. ? . 11. 3 ? 21006 ? 3 . 12. ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 .

1 13. ? . 2
14. c ? b ? a . 15. (1) ?2 ? 3 ; (2) ?
3 10 . 10
E

16. (1) 取 BD 的中点 O, 连结 EO, CO, ∵△ABC 为正三角形, 且 CD=CB ∴CO⊥BD,EO⊥BD 又 CO ………………4 分
M D

EO ? 0 ,∴BD⊥平面 EOC,∵ EC ? 平面 EOC
………………7 分

∴BD⊥EC.

C O A N B

(2)∵N 是 AB 中点, ?ABD 为正三角形,∴DN⊥AB, ∵BC⊥AB,∴DN//BC, ∵BC ? 平面 BCE DN ? 平面 BCE,∴BC//平面 BCE, ∵M 为 AE 中点,N 为 AB 中点,∴MN//BE,

………………10 分

∵MN ? 平面 BCE,BE ? 平面 BCE,∴MN//平面 BCE, ………………12 分 ∵MN DN=N,∴平面 MND//平面 BCE. ………………14 分

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17. (1)

x2 ? y 2 ? 1 , x2 ? y 2 ? 4 ; 3

(2)分两种情况讨论,略. (2) a ≥

18. (1)不符合要求; 19. (1) an ? 2n?1 ; (2)

982 ,最小值为 328. 3
(3) (3n ? 2) ? 2n?2 ? ?????2 分

61 62 ?2 ; 63

1 . 2

20.(1)当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 3x2 ? 5x ? 2 ? (3x ? 1)( x ? 2) .

1 1 令 f ?(x)<0,解得 ?2 ? x ? ,所以 f(x)的单调减区间为 (?2 , ) . ?????4 分 3 3
2 ?3 x0 ? 5 x0 ? a ? 0 ? (2) f ?( x) ? 3x ? 5x ? a ,由题意知 ? 3 5 2 消去 a , ? x0 ? x0 ? ax0 ? b ? x0 ? 2

2

5 得 2 x03 ? x02 ? x0 ? b ? 0 有唯一解.???????????6 分 2 5 令 g ( x) ? 2x3 ? x2 ? x ,则 g ?( x) ? 6x2 ? 5x ? 1 ? (2 x ? 1)(3x ? 1) , 2 1 1 1 1 所以 g ( x) 在区间 (??, ? ) , (? , ??) 上是增函数,在 (? , ? ) 上是减函数,?????8 分 2 3 2 3 1 1 1 7 又 g (? ) ? ? , g ( ? ) ? ? , 2 8 3 54
故实数 b 的取值范围是 (??, ?

7 ) 54

1 (? , ??) . ?????????10 分 8

(3)设 A( x0 , f ( x0 )) ,则点 A 处切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,

5 与曲线 C : y ? f ( x) 联立方程组,得 f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,即 ( x ? x0 )2 [ x ? (2 x0 ? )] , 2 5 所以 B 点的横坐标 xB ? ?(2 x0 ? ) . ???????????????12 分 2 5 25 由题意知, k1 ? f ?( x0 ) ? 3x02 ? 5x0 ? a , k2 ? f ?(?2x0 ? ) ? 12x02 ? 20x0 ? ?a, 2 4
若存在常数 ? ,使得 k2 ? ? k1 ,则 12x02 ? 20x0 ?

25 ? a ? ? (3x02 ? 5x0 ? a) , 4 25 , 4

即存在常数 ? ,使得 (4 ? ? )(3x02 ? 5x0 ) ? (? ? 1)a ?

?4 ? ? ? 0, 25 ? 所以 ? 解得 ? ? 4 , a ? . ???????????15 分 25 12 (? ? 1)a ? ? 0. ? ? 4
故a?

25 25 时,存在常数 ? ? 4 ,使 k2 ? 4k1 ; a ? 时,不存在常数 ? ,使 k2 ? ? k1 .?16 分 12 12

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21.A.证明: (1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=90° 而 BN=BM ? △BNM 为等腰三角形

? BD 为∠NBM 的角平分线 ? ∠DBC=∠DBM.

………………5 分

?DBM ? ?DAB ? ? (2)BM 是⊙O 的切线, ?CBD ? ?CAD ? ? ?DAB ? ?DAC ?DBC ? ?DBM ? ?

? AM 是∠CAB 的角平分线.
B. x 2 ? 2 y 2 ? 1 ; C.曲线 E: y 2 ? 2 x ,直线 l: y ? x ? 1 ;
?1 5? D. (1) ? , ? ; ?2 2?

………………10 分

(2)略.

22. (1)分布列:
X P 1 0.6 2 0.28 3 0.096 4 0.024

EX ? 1.544 .

(2)0.9976. 23.(1)设 P( x, y ) ,则 AP ? ( x ? 1, y) , FP ? ( x ? 1, y) , AF ? (2,0) , 由 AP ? AF ? 2 | FP | ,得 2( x ? 1) ? 2 ( x ? 1)2 ? y2 ,化简得 y 2 ? 4 x . 故动点 P 的轨迹 C 的方程 y 2 ? 4 x . ?????????????5 分

(2)直线 l 方程为 y ? 2( x ? 1) ,设 Q( x0 , y0 ) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) . 过点 M 的切线方程设为 x ? x1 ? m( y ? y1 ) ,代入 y 2 ? 4 x ,得 y 2 ? 4my ? 4my1 ? y12 ? 0 , 由 ? ? 16m2 ? 16my1 ? 4 y12 ? 0 ,得 m ?

y1 ,所以过点 M 的切线方程为 y1 y ? 2( x ? x1 ) ,??7 分 2

同理过点 N 的切线方程为 y2 y ? 2( x ? x2 ) .所以直线 MN 的方程为 y0 y ? 2( x0 ? x) ,???9 分 又 MN // l ,所以
2 ? 2 ,得 y0 ? 1 ,而 y0 ? 2( x0 ? 1) , y0

1 故点 Q 的坐标为 (? ,1) . 2

?????????????10 分

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