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高中数学一轮复习专题学案——函数与方程


14、函数与方程
一、知识点回顾 1、函数零点的概念 2、函数零点的性质 如 果 函 数 y ? f ?x ? 在 区 间 ?a, b ? 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有

f ?a ? ? f ?b ? ? 0 ,那么,函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b ? 内有零点,即存在 c ? ?a, b

? ,使得 f ?c ? ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ?x ? ? 0 的根.

3、函数零点与方程根的关系 (1) 、函数 y ? f ?x ? 有零点. ? 函数 y ? f ?x ? 的图象与 x 轴有交点的横坐标

? 方程 f ?x ? ? 0 有实根 (2) 函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的零点可以看成是函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 图象交点的横坐标
4、用二分法求方程的近似解方法: 二、基础训练

1 的解是 . 9 2 2.若函数 f ( x) ? ax ? b(b ? 0) 有一个零点 3,那么函数 g ( x) ? bx ? 3ax 的零点是
1.方程 3
x ?1

?



3.方程 4 ? 6 ? 2 ? 8 ? 0 的根是
x x

. 的图象和函数 g ( x) ? log 2 x 的图象的交点个数是

4.函数 f ( x) ? ? 个.

?4 x ? 4 2 ?x ? 4x ? 3

x ?1 x ?1

5.已知函数 f ( x) ? log 2 x ? a 在区间 (2,4) 内有零点,则实数 a 的取值范围是 三、典型例题 例 1 已知函数 f ( x) ? 2 ? x , 问方程 f ( x) ? 0 在区间 [?1,0] 内有无实根, 若有, 有几个?
x 2

为什么?

例2 若关于 x 的方程 lg(mx ) ? lg(mx ) ? 4 的所有解都大于 1,求实数 m 的取值范围.
2

例3 已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a .如果函数 y ? f (x) 在区间 [?1 ,1] 上
2

有零点,求 a 的取值范围.

四、作业 1.方程 2? x ? x 2 ? 3 的实数解的个数为 . 2.若方程 lg | x |? ? | x | ?5 在区间 (k , k ? 1)(k ? z ) 上有解,则所有满足条件的 k 的值的和 为 。 3.若方程 ln x ? 6 ? 2 x ? 0 的解为 x0 ,则不等式 x ? x0 的最大整数解是 .. 4.已知 f ( x) ? 1 ? ( x ? a)( x ? b)(a ? b), m, n 是 f ( x) 的零点,且 m ? n ,则 a, b, m, n 从小 到大的顺序是 。 . 5.若 f ( x) ? ax ? b ? 1 ( 0 ? a ? 1)在 ? 0,1? 上有零点,则 b ? 2a 的最小值为 6.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? 的零点所在的区间是(n,n+1) ,则正整数 n=______ 7.使不等式 log 2 (? x) ? x ? 1 成立的 x 的取值范围为________________. 8. 若函数 f ( x) ? 4 x ? x ? a 的零点个数为 2,则实数 a 的取值范围
2

2 x



9.已知方程 x = 4 ? x 的解在区间( k , k ?
3
2

1 1 )内, k 是 的整数倍,则实数 k 的值是 2 2

10、 已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 3) x ? 4 。 (1)若 y ? f (x) 的两个零点为 a , ? ,且满足 0< a <2< ? <4,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 y ? log a?1 f ( x) 存在最值,求实数 a 的取值范围,并指出最值是最大值还是 最小值.


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