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对数函数的性质


对数函数y=log a x (a>0, a≠1)

a>1
图 象
o y y

0<a<1

(1, 0) (1, 0) x o

x

(1) 定义域: (0,+∞)



(2) 值域:R

(3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 0<x<1时, y<0; (4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0 (5)在(0,+∞)上是减函数



x>1时, y>0 (5) 在(0,+∞)上是增函数

对数函数的底数:

函数y ? loga x, y ? logb x, y ? logc x, y ? logd x的图象如图所示,则下 列 式子中正确的是 C y
y ? logb x y ? loga x
y ? logc x
x y ? logd x

A.0 ? a ? b ? 1 ? c ? d
B.0 ? b ? a ? 1 ? d ? c

O

C .0 ? d ? c ? 1 ? b ? a D.0 ? a ? b ? 1 ? d ? c

问题一:过定点问题

1. 函数y=loga(x+1)-2 (a>0, a≠1)
的图象恒过定点 (0,?2) .

2.函数y ? log a ( x ? 1) ? 3(a ? 0, a ? 1)

(2,3) 的图象恒过定点 _________ .

问题二:比较大小

例2 比较下列各组数中两个值的大小:
(1) log2 3.4, log2 8.5

(2) log0.3 1.8, log0.3 2.7

(3) loga 5.1, loga 5.9(a ? 0, a ? 1)

例3:比较下列各组数中两个值的大小:
log 6 7 > log 7 6 log 3 2 > log 2 0.8

log 6 7 > log 6 6 = 1 log 3 2 > log 3 1 = 0 log 7 6 < log 7 7 = 1 log 2 0.8 < log 2 1 = 0 log 6 7 > log 7 6 log 3 2 > log 2 0.8

钥 当底数不相同,真数也不相同时,利用 “介值法”,常需引入中间值 0 或 1( 各种变 匙
形式).

例4:比较下列各组数中两个值的大小: log 2 7 与 log 5 7
解:∵ log 7 5 > log 7 2 >0log
1 1 ? ? log 7 2 log 7 5
y
27 log 5 7

7
y ? log2 x y ? log5 x

o

1

x

∴ log 2 7 > log 5 7

小结:两个对数比较大小
(一)底数相同,真数不同,比较大小: 单调法
(二)真数相同,底数不同,比较大小: 1.通过换底公式; 2.利用函数图象。 (三)若底数、真数都不相同, 则常借 助1、0等中间量进行比较。

比较下列各数的大小:金榜 63页? ? ? ? 1 log 0.6 0.8, log3.4 0.7, ( ) 3
1 ? 2

1 解: log3.4 0.7 ? log 0.6 0.8 ? ( ) 3

1 ? 2

问题三:对数不等式

例5

解不等式

loga (x - 4) ? loga (2x - 1) ? 0 (a>0,a ? 1)

3 练习:已知loga ? 1, 4 求a的取值范围 .
3 0 ? a ? 或 a ? 1. 4

问题四:定义域

回顾 求函数定义域的方法:
1. 分数的分母不能为零; 2. 零的指数不能为零和负数; 3. 偶次方根的被开方数大于等于零; 4. 对数的真数必须大于零; 5. 指数、对数的底数必须大于零且不等于1. 6.实际问题要有实际意义。

例6 求下列函数的定义域:

①y=logax2



?- ?, 0? ? ?0, ? ??

y?

1 ? log 3 ? x ? 1?

1

∴定义域为(1,4)∪(4,+∞).



y ? log 0.1 ? 4 x ? 3?
3 所求定义域为( ,1] 4

? 4 ? y ? log ? x ?1? ?16 ? x

2

?-1, 0? ? ?0,4?

?

问题五:值域

函数f(x)=log2(3x+1)的值域为(A)

A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞)
金榜73页第10题

(2)

y ? log 1 (-x +2x+3);[金榜64页跟踪训练1]
2 2

函数的值域为[-2,+∞).

练习:已知函数 f(x)=log2 (2x-1) (1)求函数 f(x) 的定义域、值域; 9 (2)若 x ? [1, ] ,求f(x)的值域; 2 (3)求使 f(x) ? 0 的x的取值范围。


2 y ? lg( x +2x+a) 的定义域为R, (1)已知函数

求实数a的取值范围;
2 y ? lg( x +2x+a) 的值域为R, (2)已知函数 求实数a的取值范围。

问题六:反函数

一、定义
在A中总有唯一确定的x值与它对应,且满足y=f(x),这样得到

设函数 y=f(x) 定义域为A, 值域为 C. 如果对C中任意一个值y,

的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数,记作x=f -1(y) 。习惯上,
改写为y=f -1(x)(

x? A



二、定义理解
1. f -1(x)是一个完整的符号,不是f或f(x)的负一次方 2.反函数还是函数吗?

指数函数、对数函数的图象有何关系呢? 先看y=2x 与y=log2x

y=2x

x y=2

y=log2x
y=x

指数函数与对数函数

图 象 间 的 关 系

指数函数与对数函数

图 象 间 的 关 系

3、反函数 对数函数

y ? loga x

与指数函数

y ?a

x

互为反函数。 函数 y=f(x) 的反函数记作:y=f-1(x)

4、指数函数与对数函数的图象的关系:

对数函数

y ? loga x

与指数函数

的图象关于直线

y ? x 对称。

y?a

x

例: 函数f(x)=loga (x-1)(a>0且a≠1)
的反函数的图象经过点(1, 4),求a的值.

小 结:
若函数y=f(x)的图象经过点(a, b),

则其反函数的图象经过点(b, a).

探讨1: y=f-1(x)的反函数是什么? 探讨2: 互为反函数定义域、值域的关系 是什么? 函数y=f(x) 反函数y=f-1(x)

定义域 值域

A C

C A

问题七:求单调区间问题

问题七

求复合函数的单调区间
2

1.求函数 f (x) ? log2 ( x ? 2x)
2

的单调递增区间。

2.求函数 y ? log1 ( x ? x ? 2) 的单调递减区间
2

求复合函数单调区间的步骤: (1)求出函数的定义域; (2)将复合函数分解为两个基本初等函数; (3)确定各基本初等函数的单调性及单调区间; (4)根据复合函数的单调性“同增异减”判断并 求出原函数的单调区间。

问题八:奇偶性与单调性问题

函数的奇偶性
2 y ? log ( x ? x ? 1)(x ? R) 的奇偶性为( A ) 例 函数 2

A.奇函数 C.非奇非偶函数

B.偶函数 D.既奇又偶函数

问题九:最值问题

1.设 a>0 且 a ? 0 ,函数 f (x )=logax 在区间[a,2a]上 1 的最大值与最小值之差为 ,求 a 的值 2

1 a ? 4或a ? 4
类比《金榜学案》75页第21题

问题十:其他问题

问题

函数的奇偶性

5? x 例设 . f ( x) ? lg . 5? x (1)求函数f ( x)的定义域; (2)判断f ( x)的奇偶性; (3)判断f ( x)的单调性.

例:若函数f ? x ? ? lg ? kx ? 4kx ? 3?
2

的定义域是R, 求k的取值范围.

若函数y ? lg x ? ax ? 1 的
2

?

?

值域是实数集 R,求a的取 值范围.

课后作业
1、教材P74:7、8 2、 已知f(x)=2+log3x,x∈[1,3],

求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及相应 的x的值.


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