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第5届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答


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第 5 届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
(1971 年于保加利亚的索菲亚) 【题 1】 质量为 m1 和 m2 的物体挂在绳子的两端, 绳子跨过双斜面顶部的滑轮, 如图 5.1。 斜面质量为 m, 与水平面的夹角为1 和2。 整个系 统初态静止。求放开后斜面的加速度和物体的加速度。 m1 m2 斜面

保持静止的条件是什么?摩擦可以忽略。 m 解:我们用 a 表示双斜面在惯性参照系中的加速度(正 号表示向右的方向) 。用 a0 表示物体相对斜面的加速度 α1 α2 (正号表示左边物体 m下降) 两个物体在惯性系中的加 速度 a1 和 a2 可由矢量 a 和 a0 相加得到(如解 图 5.1 图 5.1) 。用 F 表示绳子中的张力。 a 对沿斜面方向的分量应用牛顿第二定律。 a0 a1 m1 m2 a2 m 使物体 m1 加速下降的力是 a0 m1gsin1-F a a 在惯性系中,沿斜面方向的加速度分量为 α1 α2 a0-acos1 所以,对此斜面分量,牛顿第二定律为: 解图 5.1 m1(a0-acos1)=m1gsin1-F 同样,对于 m2 有 m2(a0-acos2)=F-m2gsin2 两式相加: m1cos1+m2cos2) = m1+m2) 0- m1sin1-m2sin2) ( a ( a ( g (1) 我们用动量守恒原理来研究斜面的运动。 斜面在惯性系中的速度为 v(向右) 。物体相对斜面的速度为 v0。故斜面上两物体在惯 性系中的速度的水平分量(向左)分别为:v0 cos1-v 和 v0 cos2-v 利用动量守恒原理:m1(v0 cos1-v)+m2(v0 cos2-v)=m v 对匀加速运动,速度与加速度成正比,因此有:m1(a0 cos1-a)+m2(a0 cos2 -a)=m a 所以 a =

m1 cos α 1 + m2 cos α 2 a0 m + m1 + m2

(2)

上式给出了有关加速度的信息。很明显,只有当两物体都静止,即两个物体平衡时,斜 面才静止,这是动量守恒原理的自然结果。 由方程(1)和(2) ,可得到加速度为:

a0 =

(m + m1 + m2 )(m1 sin α 1 m2 sin α 2 ) g (m1 + m2 )(m + m1 + m2 ) (m1 cos α 1 + m2 cos α 2 ) 2

a=

(m1 cos α 1 + m2 cos α 2 )(m1 sin α 1 m2 sin α 2 ) g (m1 + m2 )(m + m1 + m2 ) (m1 cos α 1 + m2 cos α 2 ) 2


如果 m1sin1=m2sin2 则两个加速度均为零。

m1 sin α 2 = m2 sin α 1

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【题 2】在一个带活塞的圆筒内装配着著名的托里拆利装置。在水银柱上方有氢气,在 圆筒内有空气。 第一步, 水银柱高度 h1=70cm, 空气压强 pk1=1.314atm=133.4kPa=100cmHg, 0 温度为 0 C=273K。第二步,向上提升活塞,直至水银柱高度降为 h2=40cm,这时空气压强 为 pk2=0.79atm=80kPa=60cmHg。第三步,保持体积不变,提高温度到 T3,此时水银柱的 高度为 h3=50cm。 最后,第四步,温度为 T4, 水银柱的高度为 h4=45cm, 空气压强没有改变。 求出最后一步中氢气的温度和压强。 解:我们将空气和氢气的数据列成表。两者温度是相同的。玻璃管的长度用 L 表示。为了简 单起见,我们以装有氢气的管子长度的厘米数来度量氢气的体积。压强全部用 cmHg 为单位 给出(见解图 5.2 第一步至第四步) 。

L

70cm

40cm

50cm

45cm

次 数 氢气压强 氢气体积 空气压强 空气体积 两者温度

1

2

3

4

ph1 V h1
100cmHg

ph2 V h2
60cmHg

ph3 V h3


V k1
273K

V k2

273K 解图 5.2 从第一步到第二步,对氢气应用玻意耳定律: L-70) ( (100-70)=(L-40) (60-40) 由此式求得玻璃管的长度 L=130cm, 因此,氢气在第一步至第四步中体积分别为:V h1=60cm,V h2=90cm,V h3=80cm,V h4 =85cm 从第二步到第三步,氢气的状态方程为: (60 40) × 90 = ( p h 3 50) × 80 273 T3 对空气应用盖吕萨克定律:

pk3 V k3 T3



ph4 V h4 pk4 V k4 T4

pk 3 60 = T3 273

从第三步到第四步,我们只有向上提升活塞,以便使空气压强保持不变。氢气的状态方 程为: ( p k 3 50) × 80 = ( p k 4 45) × 85 T3 T4 解以上方程组,得:pk3=pk4=80cmHg,

T3=364K,

T4=451K,

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所以氢气的压强为:ph3=30cmHg ph4=35cmHg 算出空气的体积比为:V k1:V k2:V k4=6:10:12.4 (注:cmHg 为实用单位,应转换成国际单位 Pa) 【题 3】四个等值电阻 R、四个 C=1F 的电容器以及四个电池分别在立方体的各边连 接起来,如图 5.3 所示。各电池的电压为 U1=4V,U2=8V,U3=12V,U4=16V,它们的内电 阻均可忽略。 a)求每个电容器的电压和电量, b)若 H 点与 B 点短路,求电容器 C2 上的 ( ( 电量。 U1 C _ + 解: a ) ( G _ + R G C1 C1 将这个网 C U2 U1 _ + F 络展开成 B C3 R R R U2 U3 平 面 图 _ + _ + C3 F B D H C2 (如解图 U3 R C4 R _ + R 5.3.1 ) 。 H C4 U4 D _ + 由于电流 E U4 C2 R A _ + 不能通过 A E 电容器, 所以只在图 图 5.3 解图 5.3.1 中 A-B-C-G-H-E-A 回路的导线中有电流。在这个回路中,电压为 12V,电阻为 4R。 因此电流为: I =

U 4 U1 4R

于是就知道了电阻和电源两端的电压。 A 点的电势为零, 设 就能很容易地算出各点的电 势。 A 0 V B (U4-U1)/4 3 V C (U4-U1)/2 6 V (U4-U1)/2+U1 10 V G (U4-U1)/2+U1+(U4-U1)/4 13 V H (U4-U1)/2+U1+(U4-U1)/2 16 V E (U4-U1)/2+U1+(U4-U1)/4-U3 1 V D (U4-U1)/4-U3+U2 11 V F 从每个电容器两端的电势差,可以算出其电量如下: -6 C1 (11-10)V=1V, 1×10 C。 -6 C2 (16-11)V=5V, 5×10 C。 -6 C3 (6-1)V=5V, 5×10 C。 -6 C4 (1-0)V=1V, 1×10 C。 _ + 2 C G 我们可以算出各电容器的储能量 CU /2。电容器 C1 和 -6 -6 U1 C4 各有 0.5×10 J,电容器 C2 和 C3 各有 12.5×10 J。 R R (b)H 点与 B 点连接,我们得到两个分电路。如解图 U 5.3.2。在下方的分电路中,电流为

U4 ,E 点相对 A 点的电 2R

_ +

2

B

H R U4 _ + E

C2

R A

势是 U4=16 V,H 点与 B 点的电势是 U4/2=8 V。F 点的电

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势为

U4 + U 2 =16 V 2

于是,电容器 C2 两极板的电势均为 16 V,结果 C2 上无电量。 解图 5.3.2 【题 4】在直立的平面镜前放置一个半径为 R 的球形玻璃鱼缸,缸壁很薄,其中心距离 镜面 3R,缸中充满水。远处一观察者通过球心与镜面垂 A v 直的方向注视鱼缸。一条小鱼在离镜面最近处以速度 v 2v 沿缸壁游动。求观察者看到的鱼的两个像的相对速度。 水的折射率为 n =

4 。如图 5.4(a) ,5.4(b) 3

K1

T1

O

B

解:鱼在 1 秒钟内 游过的距离为 v。 图 5.4(a) 我们把这个距离 v C D β 当作物, 而必须求 β 出两个不同的像。 K2 B r E F 在计算中, 我们只 T2 O 考虑近轴光线和 小角度, 并将角度 的正弦用角度本身 图 5.4(b) 去近似。 在 T1 点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像,如图 5.4(a)所示。从 T1 点以角度 r=∠A T1O 发出的光线,在 A 点水中的入射角为 r,在空气中的折射角为 n r。把出射光线 向相反方向延长,给出虚像的位置在 K1,显然∠K1A T1=n r-r=(n-1)r 从三角形 K1 T1 A,有:

K 1T1 (n 1)r = = n 1 K1 A r
K1AT1≈K1O-R

利用通常的近似:K1A≈K1O+R, 于是

K 1O R = n 1 K 1O + R
n R 2n

所以这个虚像与球心的距离为 K 1O = 水的折射率 n = 得到放大率为

4 ,从而 K1O=2R。若折射率大于 2,则像是实像。有像距与物距之商 3

K 1O n = T1O 2 n

对水来说,放大率为 2。 以与速度 v 相应的线段为物,它位于在 E 处的平面镜前的距离为 2R 处,它在镜后 2R 远的 T2 处形成一个与物同样大小的虚像。T2 离球心的距离为 5R。在一般情形下,我们假设 T2O=kR。T2 处的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的(虚)物。因此,我们只要确定 T2 的实像而无需再去考虑平面镜。如图 5.4(b)所示。 我们需要求出以 r 角度从 T2 发出的光线在 C 点的入射角 β,其中 r=∠CT2F。

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在三角形 T2OC 中,

β
r

=

T2 O kR = =k CO R

β=k r

玻璃中的折射角为:

β
n

=

kr = ∠DCO = ∠CDO n

需要算出∠DOB。 因为:∠COF=β-r=k r-r=r(k-1) 而且∠COD 与 C 点和 D 点的两角之和相加,或与∠COF 和∠DOB 之和相加,两种情况都 等于 180 ,因此 ∠DOB + r ( k + 1) =
0

2kr n

即 ∠DOB = r (

2k k + 1) n

从三角形 DOK2,有

OK 2 = DK 2

β
r( 2k k + 1) n

=

k 2k k +1 n

此外

OK 2 k = , OK 2 R 2k k +1 n nk R n(2k 1) 2k

因此像距为: OK 2 = 若 k=5,n=

4 10 ,得 OK 2 = R 3 3

放大率为

OK 2 n = OT2 n(2k 1) 2k
4 2 ,则放大率为 3 3

若 k=5,n=

综合以上结果,如鱼以速度 v 向上运动,则鱼的虚像以速度2v 向上运动,而鱼的实像 以速度

2 2 8 v 向下运动。两个像的相对速度为2v+ v= v, 3 3 3

是原有速度的 8 3 倍。 我们还必须解决的最重要的问题是: 从理论上已经知道了像是如何运动的, 但是观察者 在做此实验时,他将看到什么现象呢? 两个像的速度与鱼的真实速度值,从水中的标尺上的读数来看,是一致的,实际上观察 到两个反向的速度,其中一个是另一个的三倍,一个像是另一个像的三倍。我们应当在远处 看,因为我们要同时看清楚鱼缸后远处的一个像。两个像的距离 8.33R。用肉眼看实像是可 能的,只要我们在比明视距离远得多的地方注视它即可。题目中讲到“在远处的观察者” , 是指他观察从两个不同距离的像射来光线的角度变化。只要观察者足够远,尽管有距离差, 但所看到的速度将逐渐增加而接近

8 。他当然必须具有关于鱼的实际速度(v)的一些信息。 3

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两个像的相对速度与物的原始速度之比的普遍公式为:

2n (k 1)(n 1) 2 n 2k (n 1) n

用一个充满水的圆柱形玻璃缸,一面镜子和一支杆,这个实验很容易做到。沿玻璃缸壁 运动的杆代表一条鱼。 【实验题】测量作为电流函数的给定电源的有用功率。确定电源的内阻 Rb 和电动势 U0。 画出作为外电阻 R 函数的有用功率,总功率以及效率的曲线。 解答:端电压为 U =

U0R R + Rb

电流为 I =

U0 U = R + Rb R

总功率为 P0=U0I 有用功率为:P=U I 效率为 η=

P P0

利用以上公式,得到要求的六个函数,如解图 5.4(a)――(f)所示。
P P

(a)
I

(b)
R

P=U0I-RbI

2

U 02 R P= ( Rb + R ) 2
P0

P0

(c)
I

(d)
R

P 0= U 0I

U 02 P 0= Rb + R

η
(e)
I

η

(f)
R

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=1-

Rb I U0



R Rb + R

测出适当选择的两个值,由以上公式便可求出 Rb 和 U0。这些数据应该是独立于外负载, 所以这样的测量并不可靠,大负载时尤其如此。

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