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2013直线与圆单元试题


2013 直线与圆单元试题 一、填空题
1. 过点 A ?11,2 ? 作圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共有 2. 函 数 y ? a
1? x

条。

? a ? 0, a ? 1? 的 图 像 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线 mx ? ny

? 1 ? 0 上 ( 其 中

mn ? 0 ) ,则

1 1 ? 的最小值为 m n
2

2 3. 已知圆 C : ? x ? 4 ? ? y ? 4 ,点 P ? ?3,0? ,圆 D 的圆心 D 在 y 轴上且与圆 C 相外切,圆 D 与

y 轴交于 A, B 点。当点 D 在 y 轴上移动时,则 ? APB 的最大值为
4. 圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程为 (标准方程)

5. 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 2 ? 0 ,圆 O ' : x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 ? 0 ,由动点 P 向圆 O 和圆 O ' 所引的切 线长相等,则动点 P 的轨迹方程为 6. 与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x 2 ? y 2 ? 12 x ? 12 y ? 54 ? 0 都相切,且半径最小的圆的方程为 (填写圆的标准方程)
2 7. 由直线 y ? x ? 1 上的一点向圆 ? x ? 3 ? ? y ? 1 作切线,则切线长的最小值为 2

8. 已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 x ? y ? 1 相交于 A, B 两点,且 AB ?
2 2

??? ??? ? ? 3 ,则 OA ? OB ?

9. 过 P ? ?2,4? , Q ? 3, ?1? 两点,且在 x 轴上截得的弦长为 6 的圆的标准方程是 10. 已知直线 ax ? by ? c ? 0 ? abc ? 0? 与圆 x ? y ? 1 相切, 则三条边长分别为 a , b , c 的三角形
2 2



三角形。

11. 若圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则 直线 l 的倾斜角的取值范围是 12. 已知圆 M : ? x ? cos ? ? ? ? y ? sin ? ? ? 1 ,直线 l : y ? kx ,下面四个命题:
2 2

①对任意实数 k 与 ? ,直线 l 与圆 M 相切;②对任意实数 k 与 ? ,直线 l 与圆 M 有公共点; ③对任意实数 ? ,必存在实数 k ,使得直线 l 与圆 M 相切; ④对任意实数 k ,必存在实数 ? ,使得直线 l 与圆 M 相切。 其中真命题的编号是 (填写所有真命题的编号)

二、选择题

13.

? ? ? ? , ? ? ,直线 l1 : x ? y 1 ? cos? ? b ? 0 和 l2 : x sin? ? y 1 ? cos? ? a ? 0 的位置关 2
)A 平行 B 重合 C 垂直 D 相交但不垂直

? ?

3 ? ?

系是(

2 2 2 2 14. 若曲线 x ? y ? a x ? 1 ? a y ? 4 ? 0 关于直线 y ? x ? 0 的对称曲线仍是其本身,则实数 a

?

?

的值为(

)A ?

1 2

B ?

2 2
2 2

C

1 2 或? 2 2

D ?

1 2 或 2 2


15. “ a ? b ”是“直线 y ? x ? 2 与圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? 2 相切”的( A 充分非必要条件
2 2 16. 方程 x ? y ? 4

B 必要非充分条件

C 充要条件

D 既非充分又非必要 )

?

?

x ? y ? 1 ? 0 的曲线形状是(

A

B

C

D

三、解答题:
17. 一直线被两条直线 l1 : 4 x ? y ? 6 ? 0 和 l2 : 3 x ? 5 y ? 6 ? 0 截得的线段的中点恰好是坐标原点, 求这条直线的方程。

18. 设点 P ?1,0? 关于直线 y ? kx 的对称点 Q ,记直线 OQ 的斜率为 f ? k ? ,其中 O 为坐标原点。 ⑴ 写出以 k 为自变量的函数 f ? k ? 的表达式,并求其定义域;⑵ 判断函数 f ? k ? 的奇偶性;⑶ 判 断函数 f ? k ? 在 ?1,??? 上的单调性。

19. 已知点 P ? ?8,0? 和圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 10 y ? 4 ? 0 。 求经过点 P 被圆 C 截得的线段最长的 ⑴ 直线 l 的方程;⑵ 过点 P 向圆 C 引割线,求被此圆截得的弦的中点的轨迹。

20. 点 An an , bn 满足 A1 ? 0,1? , an?1 ? 1 ?

?

?

an b , bn?1 ? ? 2 n 2 。 2 a ? bn an ? bn
2 n

? 求证:所有的点 An n ? N 在同一个圆上。

?

?

21、已知动圆 P:( x ? a )2 ? ( y ? b )2 ? 1与定圆 O: x2 ? y 2 ? 1 保持外切作匀速圆周运动, 1 小时运动 0 一周。从点 T ( t , ) ( 3 ? t ? 4 ) 观察运动过程。 (1)若点 T 对圆 P 的张角(过点 T 引圆 P 的两条切线的夹角) 是 3 ,确定圆心 P 的位置; (2)在运动过程中,圆 O 被圆 P 完全遮挡的时间是 t1 ,圆 P 被 圆 O 完全遮挡的时间是 t 2 ,比较 t1 与 t 2 的大小; (3)发现有 5 分钟的时间,圆 O 被圆 P 完全遮挡,求 t 的值。
O P T x

?

y

一、填空题
1. 过点 A ?11,2 ? 作圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共有
2 2

条。

2 解:配方: ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 13 ,圆心 O ? ?1,2? ,半径为 13 ,因为 AO ? 12 ? 13 ,故 A 在

圆 O 的内部。过 A 最长的弦即为圆 O 的直径,此时弦长为 2 ? 13 ? 26 ;过 A 最短的弦即为与 AO 垂 直的弦,此时弦长为 2 ? 132 ? 122 ? 10 ,所以弦长的取值范围是 10,26 。长为 10, 26 的弦分别有 且仅有 1 条;长为 11,12,13,? , 24, 25 的弦根据圆的对称性一共有 2 ? ? 25 ? 11 ? 1? ? 30 。故本题中 弦长为整数的共有 1 ? 1 ? 30 ? 32 条。 2. 函 数 y ? a
1? x

?

?

? a ? 0, a ? 1? 的 图 像 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线 mx ? ny ? 1 ? 0 上 ( 其 中

mn ? 0 ) ,则

1 1 ? 的最小值为 m n

解 : A?1, 1 , 则 m ? n ? 1 , 故 ?

1 1 ? 1 1? n m ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? m ? n? ? 2 ? ? 。 因 为 m n ? m n? m n ?m n?

mn ? 0 ,所以 m , n 同号,则 2 ?
小值即为 4 。

n m 1 1 ? ? 2 ? 2 1 ? 4 ,当且仅当 m ? n 时取等号。故 ? 的最 m n m n

2 3. 已知圆 C : ? x ? 4 ? ? y ? 4 ,点 P ? ?3,0 ? ,圆 D 的圆心 D 在 y 轴上且与圆 C 相外切,圆 D 与 2

y 轴交于 A, B 点。当点 D 在 y 轴上移动时,则 ? APB 的最大值为
解:设圆心 D 0, y0 ,圆 D 半径为 r ? r ? 0? ,不妨设 A 0, y0 ? r , B 0, y0 ? r 。我们把 ? APB 看 成 是 直 线 PA 到 直 线 PB 的 角 , k PA ?

?

?

?

? ?

?

y0 ? r y ?r , k PB ? 0 ,则根据到角公式得: 3 3

tan ?APB ?

k PB ? k PA 1 ? k PB ? k PA

y0 ? r y0 ? r ? 6r 3 3 ①。另一方面,圆 C 与圆 D 外切, ? ? 2 y0 ? r y0 ? r 9 ? ? y0 ? r 2 ? 1? ? 3 3

所以

2 2 16 ? y0 ? 2 ? r ? y02 ? r 2? 4r ? 12 ? 0 ? r ? 2 。 将 y0 ? r 2 ? 4r ? 12 代 入 ① 式 中 , 得

tan ?APB ?

6r 6r ? ? 9 ? 4r ? 12 4r ? 3

6 4?

?? r ? 0 ? 。因为函数 3
r

6 3 4? r

在 2,??? 上单调递减,所以

?

当 r ? 2 时,有 tan ?APB max ?

6 4? 3 r
max

?

6 4? 3 2

?

12 12 。故 ?APB max ? arctan 。 5 5

4. 圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程为 (填写圆的标准方程)
2 解:配方: ? x ? 1? ? y ? 2 ,圆心 ? 1, 0? 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的对称点设为 x0 , y0 ,则 2

?

?

x0 ? 1 ? 2 ? 2 ?

2?1 ? 0 ? 3 2?1 ? 0 ? 3 ? ?3, y0 ? 0 ? 2 ? ? ?1? ? ? 2 ,故所求圆的圆心为 ? ?3, 2? , 2 2 2 ?1 22 ? 12
2 2

且半径为 2 保持不变,故所求方程为 ? x ? 3 ? ? ? y ? 2 ? ? 2 。 5. 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 2 ? 0 ,圆 O ' : x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 ? 0 ,由动点 P 向圆 O 和圆 O ' 所引的切 线长相等,则动点 P 的轨迹方程为
2 2 2 解:配方:圆 O : x ? y ? 2 ,圆 O ' : ? x ? 4 ? ? y ? 6 。设 P ? x, y ? ,则由切线长相等可知: 2

?x

2

? y2 ? ?

? 2?

2

?

? ? x ? 4? ? y ? ? ? 6 ?
2 2
2

2

?x?

3 即为所求轨迹方程。 2

6. 与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x 2 ? y 2 ? 12 x ? 12 y ? 54 ? 0 都相切,且半径最小的圆的方程为 解:配方: ? x ? 6 ? ? ? y ? 6 ? ? 18 ,圆心 ? 6,6? 。所求圆的圆心必定落在过 ? 6,6? 且垂直于直线
2

x ? y ? 2 ? 0 的直线 y ? x 上,如下图所示。

设所求圆心 ? t , t ? 。 所求圆的半径为

t?t?2 1 ? 6?6?2 ? ? 2 ,得:t ? 2(舍 ?? ? 18 ? ? 2 ,则 2 ? 2 2 ?
2 2

去t ? 0) ,故所求圆的标准方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 2 。
2 7. 由直线 y ? x ? 1 上的一点向圆 ? x ? 3 ? ? y ? 1 作切线,则切线长的最小值为 2

解:当直线上的这一点到圆心的距离最小时,过改点作圆的切线,所得切线的长最小。这个最小距离 即是圆心到直线的距离: d ?

3?0?1 2

? 2 2 ,所以切线长的最小值为

d2 ? r2 ? 8 ? 1 ? 7
8. 已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A, B 两点,且 AB ? 解:本题中直线只是个幌子,我们直接从向量的角度更方便。 AB ?

??? ??? ? ? 3 ,则 OA ? OB ?

??? ?

3 ,即有

??? ??? ? ? OB ? OA ? 3
其中 O 为坐标原点,也即圆 x 2 ? y 2 ? 1 的圆心。两边平方得:

??? 2 ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? OB ? 2OB ? OA ? OA ? 3
因为 A, B 在圆 x ? y ? 1 上,所以 OA ? OB ? 1 ,故 OA ? OB ? ?
2 2

??? 2 ?

??? 2 ?

??? ??? ? ?

1 。 2

9. 过 P ? ?2,4? , Q ? 3, ?1? 两点,且在 x 轴上截得的弦长为 6 的圆的标准方程是 解:所求圆心必定落在 PQ 的中垂线上, PQ 的中垂线方程为: y ? 设圆心坐标为 ? x, x ? 1? 。由已知,列出如下方程是:

3 1 ? x ? ,即 y ? x ? 1 ,故可 2 2

? ? ?

6 2 ? x ? 3? ? ?? x ? 1? ? ? ?1? ? ? ? ? ? ? x ? 1 ? ? ? ? 2? ? ? ?
2 2

2

2

2 整理得: x ? 4 x ? 3 ? 0 ,所以 x ? 1 或 x ? 3 ,故圆心坐标为 ? 1, 2 ? 或 ? 3,4? ,半径为 13 或 5 ,

则所求圆的标准方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 13 或 ? x ? 3 ? ? ? y ? 4 ? ? 5 。
2 2 2 2

10. 已知直线 ax ? by ? c ? 0 ? abc ? 0? 与圆 x ? y ? 1 相切, 则三条边长分别为 a , b , c 的三角形
2 2



三角形。

解:

c a 2 ? b2

? 1 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? a ? b ? c ,故该三角形为直角三角形。
2 2 2

11. 若圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则 直线 l 的倾斜角的取值范围是 解:配方: ? x ? 2? ? ? y ? 2? ? 3 2
2 2

?

? ,当圆心到直线的距离 d ? 3
2

2 ? 2 2 ? 2 时,至少有

三个不同点(取“ ? ”时,有且仅有 3 个不同点;取“ ? ”时,有且仅有 4 个不同点)到直线 l 的距 离为 2 2 。 直线 l 过定点 ? 0,0? ,①斜率不存在时,直线 l : x ? 0 ,此时圆心 ? 2,2? 到直线 l 的距离为 2 ? 不满足题意,舍;②斜率存在时,设直线 l : y ? kx ,则

2,

d?

2k ? 2 k2 ? 1
?

? 2

整理得 k ? 4k ? 1 ? 0 ? k ? ? 2 ? 3, 2 ? 3 ? ,故直线 l 倾斜角 ? ? ?
2

?

? ? 5? ? , ?。 ? 12 12 ?

注: tan15? ? tan

?
12

? 2 ? 3, tan 75? ? tan
2 2

5? ? 2? 3 。 12

12. 已知圆 M : ? x ? cos ? ? ? ? y ? sin ? ? ? 1 ,直线 l : y ? kx ,下面四个命题: ①对任意实数 k 与 ? ,直线 l 与圆 M 相切; ②对任意实数 k 与 ? ,直线 l 与圆 M 有公共点; ③对任意实数 ? ,必存在实数 k ,使得直线 l 与圆 M 相切; ④对任意实数 k ,必存在实数 ? ,使得直线 l 与圆 M 相切。 其中真命题的编号是 解:圆心到直线的距离为 (填写所有真命题的编号)

k cos ? ? sin ? k2 ? 1



分析:

k cos ? ? sin? k ?1
2

? 1 ? k cos ? ? sin? ? k 2 ? 1 ? ? k cos ? ? sin? ? ? k 2 ? 1
2
2

? k 2 sin 2 ? ? k sin 2? ? cos 2 ? ? 0 ? ? k sin ? ? cos ? ? ? 0 , 以上各步均可逆, 所以对于对任意实
数 k 与 ? ,直线 l 与圆 M 都有公共点,所以②正确,①错误;

当直线 l 与圆 M 相切时,

k cos? ? sin? k2 ? 1

? 1 ? ? k sin? ? cos ? ? ? 0 ,故
2

k sin ? ? cos ? ? 0 (*)
当 ? ? k? ? k ? Z? 时,方程(*)化为 0 ? 1 ? 0 或 0 ? 1 ? 0 ,无解; 当 ? ? k? ? k ? Z? 时,方程(*)化为 k ? ? cot ? 。因为余切函数的定义域和值域均为 R ,所以对任 意实数 k ,必存在实数 ? ,使得 k ? ? cot ? ,即使得直线 l 与圆 M 相切,故④正确; 当 ? ? 0 时,方程(*)化为 0 ? 1 ? 0 ,无解,故不存在实数 k ,使得 k ? ? cot ? ,即使得直线 l 与 圆 M 相切,所以③错误。 综上所述,真命题的编号为②④。

二、选择题
13.

? ? ? ? , ? ? ,直线 l1 : x ? y 1 ? cos? ? b ? 0 和 l2 : x sin? ? y 1 ? cos? ? a ? 0 的位置关 2
)A 平行 B 重合 C 垂直 D 相交但不垂直

? ?

3 ? ?

系是(

解: l1 的法向量 n1 ? 1, 1 ? cos ? , l 2 的法向量 n2 ? sin ? , 1 ? cos ? ,则

?? ?

?

?

?? ?

?

?

?? ?? ? ? n1 ? n2 ? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? 0 ,故本题选 C。
2 2 2 2 14. 若曲线 x ? y ? a x ? 1 ? a y ? 4 ? 0 关于直线 y ? x ? 0 的对称曲线仍是其本身,则实数 a

?

?

的值为(

)A ?

1 2

B ?

2 2

C

1 2 或? 2 2

D ?

1 2 或 2 2

解:已知曲线为圆,则当直线 y ? x ? 0 通过圆心 ? ?

? a2 1 ? a2 ? ,? ? 时,对称曲线仍是其本身,此时 2 ? ? 2

?

a2 1 ? a2 2 ,故本题选 B。 ?? ?a?? 2 2 2
2 2

15. “ a ? b ”是“直线 y ? x ? 2 与圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? 2 相切”的( A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件



D 既非充分又非必要

解:直线与圆相切的充要条件是:
2 2 16. 方程 x ? y ? 4

a?b?2 2

? 2 ? a ? b ? 0 或 a ? b ? ?4 ,故本题选 D。


?

?

x ? y ? 1 ? 0 的曲线形状是(

A

B

C

D

解:① ②?

x ? y ?1 ? 0 ? x ? y ?1 ? 0 ;
表示圆 x 2 ? y 2 ? 4 与直线 x ? y ? 1 ? 0 的上方区域的交集, 即圆的上半部分, 故本

? x2 ? y2 ? 4 ?x ? y ?1? 0

题选 C。

三、解答题:
17. 一直线被两条直线 l1 : 4 x ? y ? 6 ? 0 和 l2 : 3 x ? 5 y ? 6 ? 0 截得的线段的中点恰好是坐标原点, 求这条直线的方程。 解:设这条直线与 l1 , l2 的交点分别为 A x1 , y1 , B x2 , y2 。因为点 A, B 又分别落在直线 l1 , l2 上, 所以 y1 ? ?4 x1 ? 6, y2 ?

?

? ?

?

3 6 x2 ? 。因为 A, B 的中点为坐标原点,所以 5 5

36 6 ? ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 ? 0 ? ? x1 ? ? 23 ? y1 ? 23 ? 2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0 ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? 3 6 ? y1 ? y2 ? 0 ? y1 ? y2 ? 0 ? ?4 x1 ? 6 ? 5 x2 ? 5 ? 0 ? x ? 36 ?y ? ? 6 ? 2 ? 2 ? ? 2 23 23 ? ? ?





? 3 6 ? 6? A ? ? , ? B, ? ? 2 3 ? 2 ?3

1 1 3 ?6 6 ? , ? ,所以 k AB ? ? ,故所求直线的方程为 y ? ? x 。 6 2 2 3 6 ? 3

18. 设点 P ?1,0? 关于直线 y ? kx 的对称点 Q ,记直线 OQ 的斜率为 f ? k ? ,其中 O 为坐标原点。

⑴ 写出以 k 为自变量的函数 f ? k ? 的表达式,并求其定义域;⑵ 判断函数 f ? k ? 的奇偶性;⑶ 判 断函数 f ? k ? 在 ?1,??? 上的单调性。

? 1? k2 ? k ? ? x1 ? 1? ? ? ?1? ? y1 ? 0 ? x1 ? ? ? 1 ? k 2 ? f k ? 2k ,定义域为 解:⑴设 Q ? x1 , y1 ? ,则 ? ?? ? ? 0 ? y1 x1 ? 1 1? k2 ? k? ? ? y ? 2k ? 2 2 ? 1 1? k2 ?

? ??, ?1? ? ? ?1,1? ? ?1, ??? ;
⑵首先函数 f ? k ? 的定义域关于原点对称,任取 k ? ? ??, ?1? ? ? ?1,1? ? ?1, ?? ? ,则

f ? ?k ? ?

2 ? ? ?k ? 1 ? ? ?k ?
2

??

2k ? ? f ?k? 1? k2

所以函数 f ? k ? 在 ? ??, ?1? ? ? ?1,1? ? ?1, ?? ? 上为奇函数; ⑶任取 k1 , k2 ? ?1, ?? ? ,且 k1 ? k2 ,则

f ? k1 ? ? f ? k2 ? ?

2 ? k1 ? k2 ?? k1k2 ? 1? 2k1 2k 2 ? ? 2 2 1 ? k1 1 ? k2 ? k12 ? 1?? k22 ? 1?

2 2 因为 k1 ? k2 ? 0, k1k2 ? 1 ? 0, k1 ? 1 ? 0, k2 ? 1 ? 0 ,所以 f k1 ? f k2 ? 0 ,

? ?

? ?

故函数 f ? k ? 在 ?1,??? 上单调增。 19. 已知点 P ? ?8,0? 和圆 C : x ? y ? 2 x ? 10 y ? 4 ? 0 。 求经过点 P 被圆 C 截得的线段最长的 ⑴
2 2

直线 l 的方程;⑵ 过点 P 向圆 C 引割线,求被此圆截得的弦的中点的轨迹。 解:⑴ 圆 C 的标准方程为: ? x ? 1? ? ? y ? 5 ? ? 22 。
2 2

因为 ? ?8 ? 1? ? ? 0 ? 5 ? ? 106 ? 22 ,所以点 P 在圆 C 外。长度最长的弦必为圆 C 的直径,所以直
2 2

线 l 必过圆心 ? 1, ?5 ? ,故直线 l 的方程为: 5 x ? 9 y ? 40 ? 0 ; ⑵ 设弦的中点坐标为 ? x, y ? ,弦端点的坐标分别为 x1 , y1 , x2 , y2 ,则
2 2 2 2 x1 ? y1 ? 2 x1 ? 10 y1 ? 4 ? 0 ①, x2 ? y2 ? 2 x2 ? 10 y2 ? 4 ? 0 ②

?

??

?

① ? ②得:

y1 ? y2 x ? x2 ? 2 2x ? 2 x ?1 y?0 ,整理得: ?? 1 ?? ?? ? x1 ? x2 y1 ? y2 ? 10 2 y ? 10 y ? 5 x ? ? ?8 ?

7? ? 5? 53 ? ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 2 (在圆 C 内部) ? ? ? ?
(注: 若过点 P 的直线斜率不存在, x ? ?8 , 则 与圆 C 相离, 不满足题意, 故割线的斜率一定存在! ) 故所求轨迹是以 ? ?

2

2

106 ? 7 5? 为半径的圆。 , ? ? 为圆心, 2 ? 2 2?

20. 点 An an , bn 满足 A1 ? 0,1? , an?1 ? 1 ?

?

?

an b , bn?1 ? ? 2 n 2 。 2 a ? bn an ? bn
2 n

? 求证:所有的点 An n ? N 在同一个圆上。

?

?

证明: a1 ? 0, b1 ? 1 ? a2 ? 1, b2 ? ?1 ? a3 ?

3 1 ? 3 1? , b3 ? ,所以 A2 ? 1, ?1? , A3 ? , ? 。 2 2 ? 2 2?

设过 A1 , A2 , A3 三点的圆方程为: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则

? 0?1? 0? E ? F ? 0 ? ? ? D ? ?1 ? 1?1? D ? E ? F ? 0 ? ?? E?0 ? ? ? ? F ? ?1 ?9 1 3 1 ? ? ? D? E ?F ? 0 2 ?4 4 2
所以过 A1 , A2 , A3 三点的圆方程为: x ? y ? x ? 1 ? 0 。
2 2
? 下面用数学归纳法证明:所有的点 An n ? N 都落在圆: x 2 ? y 2 ? x ? 1 ? 0 上。

?

?

① n ? 1 时, A1 ? 0,1? 显然满足;
? 2 ②假设 n ? k k ? N 时, Ak 落在圆:x 2 ? y 2 ? x ? 1 ? 0 , ak ? bk ? ak ? 1 ? 0 。 n ? k ? 1 点 即 2 当

?

?

时, ak ?1 ? 1 ?

ak a b b ? 1 ? k , bk ?1 ? ? 2 k 2 ? ? k ,则 2 a ? bk ak ? 1 ak ? bk ak ? 1
2 k
2 2

a

2 k ?1

?b

2 k ?1

? a ? ? b ? ? a ? ? ak ? 1 ? 1 ? ? 1 ? k ? ? ? ? k ? ? ? 1 ? k ? ? 1 ak ? 1 ? ? ak ? 1 ? ? ak ? 1 ? ?

? 1?

2 2ak ak ? a 2 ? ak ? 1 a ak 1 ? ? k ?1? k ?1 ? ? ?1 ? 0 2 2 ak ? 1 ? ak ? 1? ak ? 1 ak ? 1 ak ? 1 ? ak ? 1?

所以点 Ak ?1 ak ?1 , bk ?1 也落在圆: x ? y ? x ? 1 ? 0 上。
2 2
? 2 2 故由数学归纳法知:所有的点 An n ? N 都落在圆: x ? y ? x ? 1 ? 0 上。到此,原命题得证。

?

?

?

?

21、已知动圆 P:( x ? a )2 ? ( y ? b )2 ? 1与定圆 O: x2 ? y 2 ? 1 保持外切作匀速圆周运动, 1 小时运动 一周。从点 T ( t , ) ( 3 ? t ? 4 ) 观察运动过程。 0 (1)若点 T 对圆 P 的张角(过点 T 引圆 P 的两条切线的夹角)是 3 ,确定圆心 P 的位置; (2)在运动过程中,圆 O 被圆 P 完全遮挡的时间是 t1 ,圆 P 被圆 O 完全遮挡的时间是 t 2 ,比较 t1 与
?

t 2 的大小; (3)发现有 5 分钟的时间,圆 O 被圆 P 完全遮挡,求 t 的值。

y

P T O x

解: (1)∵ 动圆 P:( x ? a )2 ? ( y ? b )2 ? 1与定圆 O: x2 ? y 2 ? 1 外切, 圆心 P 在圆 x ? y ? 4 上。 B 过点 T 引圆 P 的两条切线,切点为 A、 。 ∴
2 2

∵ 点 T 对圆 P 的张角是 3 , ? ATP ? 6 , ∴

?

?

| PT |? 2 。

? x2 ? y2 ? 4 ? 2t x ? t 2 ? 0 ? x ? ? 2 2 ?( x ? t ) ? y ? 4

1 2

t。

t2 ∴ 圆心 P 的坐标是 ( 1 t , 4 ? ) ,或 ( 1 t , ? 2 4 2
y

4?
y

t2 4

)。

C

B P T O A x
Q D O P T x

TD (2)设圆 P 关于原点 O 的对称圆为 Q , Q 为圆心。过点 T 作圆 O 的两条切线 TC、 。
当圆 P 与 TC 相切 (此时圆 O 被圆 P 完全遮挡) 时, Q 也与 TC 相切 圆 (此时圆 Q 被圆 O 完 全遮挡) ,反之亦然。 当圆 P 与 TD 相切(此时圆 O 被圆 P 完全遮挡)时,圆 Q 也与 TD 相切(此时圆 Q 被圆 O 完全遮挡) ,反之亦然。 ∵ 圆 O 被圆 P 完全遮挡有多少时间,圆 Q 被圆 O 完全遮挡也有相同的时间, 即圆 P 被圆 O 完全遮挡也有相同的时间, ∴ t1 ? t2 。 (3)∵ 有 5 分钟的时间,圆 O 被圆 P 完全遮挡, ∴ ∵ ∴
? 5 在这 5 分钟的时间里点 P 绕点 O 转过了 60 ? 2 ? ? 6 (弧度) 。

? POT ? ? DTO ?

12

? ,



1 t

? ? sin 12 ?

1? cos ? 6 2

?

2? 3 4

?

1 。 4 ( 2? 3 )

t ? 4( 2 ? 3 ) ? 6 ? 2 。


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