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一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解


一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解
知识点一:一元一次不等式组
由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起,叫做一元一次不等式组。

如: 要点诠释:





在理解一元一次不等式组的定义时,应注意两点: (1)不等式组里不等式的个数并未规定,只要不是一个,两个、三个、四个等都行; (2)在同一不等式组中的未知数必须是同一个,不能在这个不等式中是这个未知数,而 在另一个不等式 中是另一个未知数。

知识点二:一元一次不等式组的解集
组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集. (1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分,通常是利用数轴来确定的,公共部分是 指数轴上被各个 不等式解集的区域都覆盖的部分。 (2)用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集,一般可分为以下四种情 况:

知识点三:一元一次不等式组的解法
求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。解一元一次不等式组的一般步骤为: (1)分别解不等式组中的每一个不等式; (2)将每一个不等式的解集在数轴上表示出来,找出它们的公共部分; (3)根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集(若没有公共部分, 说明这个 不等式组无解). 要点诠释: 用数轴表示不等式组的解集时,要时刻牢记:大于向右画,小于向左画,有等号画实心 圆点,无等号画空心圆圈。

知识点四:利用不等式或不等式组解决实际问题
列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似,即 (1)审:认真审题,分清已知量、未知量; (2)设:设出适当的未知数; (3)找:找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字,如“大于”“小于”“不大于” “至少”“不 超过”“超过”等关键词的含义; (4)列:根据题中的不等关系,列出不等式或不等式组; (5)解:解出所列的不等式或不等式组的解集; (6)答:检验是否符合题意,写出答案。 要点诠释: 在以上步骤中,审题是基础,是根据不等关系列出不等式的关键,而根据题意找出不等 关系又是解题的难点, 特别要注意结合实际意义对一元一次不等式或不等式组的解进行合理 取舍, 这是初学者易错的地方。 注意积累利用一元一次不等式或不等式组解决实际问题的经 验。

经典例题透析 类型一:解一元一次不等式组

1、解不等式组

,并把它的解集在数轴上表示出来。

思路点拨:先求出不等式①②的解集,然后在数轴上表示不等式①②的解集,求出它们 的公共部分即不等式组的解集。

解析:解不等式①,得 x≥-

;解不等式②,得 x<1。

所以不等式组的解集为-

≤x<1

在数轴上表示不等式①②的解集如图。

总结升华:用数轴表示不等式组的解集时,要切记:大于向右画,小于向左画。有等号 画实心圆点,无等号画空心圆圈。

举一反三:

【变式 1】解不等式组: ∴原不等式组的解集为:

【变式 2】解不等式组:

求公共解集得:

.

【变式 3】解不等式组: ∴不等式组的解集为无解

【变式 4】解不等式:-1<

≤5

解法 1:原不等式可化为下面的不等式组 即原不等式的解集为-1<x≤8

解法 2:-1<

≤5,

-3<2x-1≤15,-2<2x≤16,-1<x≤8。所以原不等式的解集为-1<x≤8

【变式 5】求不等式组

的整数解。

所以不等式组的解集为

≤x≤4。 所以它的整数解为 3,4。

类型二:含参数的一元一次不等式组

2、若不等式组

无解,求 a 的取值范围.

解析: 思路点拨:由两个不等式组成的不等式组无解只有一种情况,即“大大小小”,也就是 说如果 x 比一个较大的数大,而比一个较小的数小,则这样的数 x 不存在. 依题意: 2a-5 ≥ 3a-2, 解得 a ≤ -3 总结升华:特别地,当 2a-5 与 3a-2 相等时,原不等式组也无解,请注意体会,以后做 此类型的题目不要忽略对它们相等时的考虑.

举一反三:

【变式 1】若不等式组

无解,则

的取值范围是什么? ,从而得 .

解析:要使不等式组无解,故必须

【变式 2】若关于 么? 解析:由 而由

的不等式组

的解集为

,则 的取值范围是什

+1 可解出 可解出

, , , 故 , 即 .

而不等式组的解集为

总结升华:上面两个例题给出不等式组的解集,反求不等式组中所含字母的取值范围, 故要求较高.解这类题目的关键是对四种基本不等式组的解集的意义要深刻理解, 如变式 2,

最后归结为对不等式组 当然也可借助数轴求解。

解集的确定,这就要求熟悉“同小取小”的解集确定方法,

【变式 3】不等式组

的解集为 x<2,试求 k 的取值范围.

解析:

,由①得 x<2,

由②得 x<k,

∵不等式组的解集为 x<2,

∴ 2≤k.即 k≥2.

【变式 4】已知关于 的不等式组 解析:∵不等式组 的解为:

的整数解共有 5 个,求 不等式组

的取值范围。

的解为:

由于原不等式组有解,∴解集为 在此解集内包含 5 个整数,则这 5 个整数依次是 ∴m 必须满足

【变式 5】若不等式组

的解集为-1<x<1,则(a+b)

2008

=___。

解析:由①知 x>a+2,由②知 x<



∵a+2=-1,

=1,∴a=-3,b=2,
2008

∴a+b=-1,∴(a+b)

=(-1)

2008

=1。

类型三:建立不等式或不等式组解决实际问题
3、某校在一次外出郊游中,把学生编为 9 个组,若每组比预定的人数多 1 人,则 学生总数超过 200 人;若每组比预定的人数少 1 人,则学生总数不到 190 人,求预定每组学 生的人数。 思路点拨:运用不等式解应用题的方法,找出题目中的不等关系,列不等式组,本题中 的两个不等关系是:① 9 个小组中每组比预定的人数多 1 人,学生总数超过 200 人;②9 个小组中每组比预定的人数少 1 人,学生总数不到 190 人。

解析:设预定每组学生有 x 人,根据题意,得

解这个不等式组,得

,所以不等式组的解集是



其中符合题意的整数解只有一个 x=22。答:预定每组学生的人数为 22 人。 总结升华:列不等式(组)解应用题,首先将题目中的不等关系用不等式表示出来,当求 得未知数的值后,要检验,一是检验所求值是否是原不等式或不等式组的解,二是检验所求 得的值是否与实际意义相符。 举一反三: 【变式 1】某饮料厂为了开发新产品,用 A、B 两种果汁原料各 19 千克、17.2 千克,试 制甲、乙两种新型饮料共 50 千克,下表是试验的相关数据: 饮料每千克含量 A(单位:千克) B(单位:千克) 甲 0.5 0.3 乙 0.2 0.4

(1)假设甲种饮料需配制 x 千克,请你写出满足题意的不等式组,并求出其解集。 (2)设甲种饮料每千克成本为 4 元,乙种饮料每千克成本为 3 元,这两种饮料的成本 总额为 y 元,请用含 有 x 的式子来表示 y。并根据(1)的运算结果,确定当甲种饮料配制多少千克时, 甲、乙两种饮料 的成本总额最小? 解析:(1) 0.5x+0.2(50 -x)≤19 ① 0.3x+0.4(50-x)≤17.2 ② 由①得 x≤30,由②得 x≥28 ∴28≤x≤30 (2)y=4x+3(50-x),即 y=x+150 因为 x 越小,则 y 越小, 所以当 x=28 时,甲、乙两种饮料的成本总额最少。

【变式 2】某园林的门票每张 10 元,一次使用。考虑到人们的不同需求,也为了吸引 更多的游客,该园林除保留原来的售票方法外,还推出了一种“购买个人年票”的售票方法 (个人年票从购买日起,可供持票人使用一年)。年票分 A、B、C 三类:A 类年票每张 120 元,持票者进入园林时,无需再购买门票;B 类年票每张 60 元,持票者进入该园林时,需 再购买门票,每次 2 元;C 类年票每张 40 元,持票者进入该园林时,需要再购买门票,每 次 3 元。 (1)如果你只选择一种购买门票的方式,并且你计划在一年中用 80 元花在该园林的门 票上,试通过计 算,找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。 (2)求一年中进入该园林至少多少次时,购买 A 类年票才比较合算。 思路点拨:“合算”是指进园次数多而花钱少,或是花相同的钱进园的次数最多,显然 是通过计算进行代数式比较和建立不等式(组)关系。 解:(1)不可能选 A 类年票, 若选 B 类年票,则为 10 次; 若选 C 类年票,则为 13 次; 若不购买年票,则为 8 次 所以计划用 80 元花在该园林的门票上时, 选择购买 C 类年票的方法进入园林 的次数最多, 为 13 次。 (2)设至少超过 x 次时,购买 A 类年票才比较合算, 则 60+2x>120 解得 x>30 40+3x>120 解得 x>26 10x>120 解得 x>12 ∴x>30 所以,一年中进入该园林至少超过 30 次时,购买 A 类年票才比较合算。 【变式 3】若干名学生,若干间宿舍,若每间住 4 人将有 20 人无法安排住处;若每间 住 8 人,则有一间宿舍的人不空也不满,问学生有多少人?宿舍有几间? 解析:设宿舍共有 x 间。

解得: 5<x<7 ∵x 为整数 ∴x=6 学生人数 4×6+20=44(人) 答:学生 44 人,宿舍 6 间。

【变式 4】某学校计划组织 385 名师生租车旅游,现知道出租车公司有 42 座和 60 座客 车,42 座客车的租金为每辆 320 元,60 座客车的租金为每辆 460 元, (1)若学校单独租用这两种客车各需多少钱? (2)若学校同时租用这两种客车 8 辆(可以坐不满),而且比单独租用一种车辆节省 租金,请选择最节 省的租车方案。 解析:(1)385÷42≈9.2 单独租用 42 座客车需 10 辆,租金为 320×10=3200(元) 385÷60≈6.4 单独租用 60 座客车需 7 辆,租金为 460×7=3220(元) (2)设租用 42 座客车 x 辆,则 60 座客车需(8-x)辆

解得: 因 x 取整数 x=4,5 当 x=4 时,租金为 320×4+460×(8-4)=3120(元) 当 x=5 时,租金为 320×5+460×(8-5)=2980(元) 所以租 5 辆 42 座,3 辆 60 座最省钱。 【变式 5】(2010 台湾)有数颗等重的糖果和数个大、小砝码,其中大砝码皆为 5 克、 小砝码皆为 1 克, 且图(三)是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形。 判断下列哪一种情 形是正确的?

解析:设:一颗糖果的重量为 克,则由图(三)可知:

,化简即得: 分别代入验证得:只有(D)正确 答案:(D)


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