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高中数学人教A版选修4-5智能达标演练:1-2-2《绝对值不等式的解法》


第二节 第 2 课时
一、选择题

绝对值不等式 绝对值不等式的解法

1 1 1.如果x<2 和|x|>3同时成立,那么 x 的取值范围是
? 1 1? A.?x|-3<x<2? ? ? ? 1? C.?x|x>2? ? ? ? 1 1? B.?x|x>2,或x<-3? ? ? ? 1 1? D.?x|x<-3,或x>3? ? ?

(

).

解析

1 1 解不等式 x<2 得 x<0 或 x>2.

1 1 1 解不等式|x|>3得 x>3或 x<-3.

? 1 1? ∴x 的取值范围为?x|x>2,或x<-3?. ? ?

答案

B ( ).

2.若不等式|ax+2|<6 的解集为(-1,2),则实数 a 等于 A.8 C.-4 解析 由|ax+2|<6 可知-8<ax<4. B.2 D.-8

8 4 当 a>0 时,-a<x<a. 8 - ? ? a=-1 ∵解集为(-1,2),∴有? 4 ? ?a=2 故 a 不可能大于 0. 当 a=0,则 x∈R 不符合题意. 4 8 当 a<0 时,a<x<-a. ?a=1, ,∴? 矛盾, ?a=2

4 ? ?a=-1 ∵解集为(-1,2),∴有? 8 - ? ? a=2 故 a=-4. 答案 C

?a=-4, ,∴? ?a=-4.

3.不等式 1<|x+1|<3 的解集为 A.(0,2) C.(-4,0) 解析 B.(-2,0)∪(2,4) D.(-4,-2)∪(0,2)

(

).

?x+1≥0, 原不等式等价于? 或 ?1<x+1<3

?x+1<0, ?x<-1, ?x≥-1, ? ?? 或? ?0<x<2 或-4<x<-2. ?0<x<2 ?-3<x+1<-1 ?-4<x<-2 答案 D ).

4. 若不等式|x-2|+|x+3|>a, 对于 x∈R 均成立, 那么实数 a 的取值范围是( A.(-∞,5) C.(-∞,1) 解析 B.[0,5) D.[0,1]

由绝对值的几何意义知|x-2|+|x+3|表示的是 x 与数轴上的点 A(-3)

及 B(2)两点距离之和,A、B 两点的距离为 5,线段 AB 上任一点到 A、B 两 点距离之和也是 5.数轴上其它点到 A、B 两点距离之和都大于 5, ∴|x-2|+|x+3|≥5,∵x∈R,∴a<5. 答案 A

二、填空题 1 5.不等式2(5|x|-1)+1≤3 的解集为________. 解析 ∵5|x|-1≤4?5|x|≤5?|x|≤1?-1≤x≤1.

∴解集为{x|-1≤x≤1}. 答案 {x|-1≤x≤1}

6.若不等式|x-1|<a 成立的充分条件是 0<x<4,则 a 的范围为____________. 解析 由题意得 0<x<4?|x-1|<a,则

①0<x≤1,|x-1|=1-x,∴0≤1-x<1.

②1<x<4,|x-1|=x-1,∴0<x-1<3. 综合①,②得|x-1|<3,∴a∈[3,+∞). 答案 [3,+∞)

1? ? 7.已知 a∈R,若关于 x 的方程 x2+x+?a-4?+|a|=0 有实根,则 a 的取值范围 ? ? 是________. 解析 1? ? ∵ 关 于 x 的 方 程 x2 + x + ?a-4? + |a| = 0 有 实 根 , ∴ Δ = 1 - ? ?

1? ?? ? 4??a-4?+|a|?≥0, ?? ? ? 1? 1 ? ∴?a-4?+|a|≤4. ? ? 1? 1 1 ? 当 a≤0 时,?a-4?+|a|=4-2a≤4,∴a=0; ? ? 1? 1 1 1 ? 当 0<a≤4时,?a-4?+|a|=4-a+a≤4成立, ? ? 1 ∴0<a≤4; 1? 1 1 1 1 ? 当 a> 时,?a-4?+|a|=a- +a=2a- ≤ , 4 4 4 4 ? ? 1 ∴a≤4无解. 1 综上可知 0≤a≤4. 答案 1 0≤a≤4

|x+1| 8.不等式 ≥1 的实数解集为________. |x+2| 解析 |x+1| ≥1?|x+1|≥|x+2|,x+2≠0 |x+2|

3 ?(x+1)2≥(x+2)2,x≠-2?x≤-2,x≠-2 答案 3? ? (-∞,-2)∪?-2,-2? ? ?

三、解答题 9.已知关于 x 的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1(a>0).

(1)当 a=1 时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为 R,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=1 时,得 2|x-1|≥1,

1 3 1 ∴|x-1|≥2,x≥2或 x≤2,
? 1 3? ∴不等式的解集为?x|x≤2或x≥2?. ? ?

(2)∵|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|, ∴原不等式解集为 R 等价于|a-1|≥1, ∴a≥2 或 a≤0. 又∵a>0,∴a≥2. 10.设函数 f(x)=|x+1|+|x-a|(a>0). (1)作出函数 f(x)的图象; (2)若不等式 f(x)≥5 的解集为(-∞,-2]∪[3,+∞),求 a 的值. 解 (1)f(x)=|x+1|+|x-a|

?x<-1? ?-2x-1+a =?a+1 ?-1≤x<a? ?2x+1-a ?x≥a? 函数 f(x)如图所示.



(2)由题设知:|x+1|+|x-a|≥5, 如图,在同一坐标系中作出函数 y=5 的图象(如图所示) 又解集为(-∞,-2]∪[3,+∞). 由题设知,当 x=-2 或 3 时,f(x)=5, 且 a+1<5 即 a<4,

由 f(-2)=(-2)×(-2)-1+a=5 得 a=2. 11.(2011· 福建高考)已知函数 f(x)=|x-a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的 取值范围. 解 (1)由 f(x)≤3 得|x-a|≤3,

解得 a-3≤x≤a+3, 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为 {x|-1≤x≤5}, ?a-3=-1 所以? ,解得 a=2. ?a+3=5 (2)当 a=2 时,f(x)=|x-2|, 设 g(x)=f(x)+f(x+5), 于是 g(x)=|x-2|+|x+3|

?-2x-1,x<-3, =?5,-3≤x≤2, ?2x+1,x>2,
所以当 x<-3 时,g(x)>5; 当-3≤x≤2 时,g(x)=5; 当 x>2 时,g(x)>5. 故实数 m 的取值范围是 m≤5.


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