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变量之间的关系讲解


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变量之间的关系讲解
【基础知识】 知识点一:有关变量的基本概念 1、变量:在某一过程中发生变化的量,其中包括自变量与因变量。 2、自变量是最初变动的量,它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的; 3、因变量是由于自变量变动而引起变动的

量,它“依赖于” 自变量的改变。 4、常量:一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量. 知识点二:变量的表示方法 1.列表法 采用数表相结合的形式,运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时一 般第一行代表自变量,第二行代表因变量,选取能代表自变量的一些数据,并按 从小到大的顺序列出,再分别求出对应的因变量的值。 优点:直观,可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值, 缺点:具有局限性,只能表示因变量的一部分。 2.图象法 对于在某一变化过程中的两个变量, 把自变量 x 与因变量 y 的每对对应值分 别作为点的横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出这些点,这些点所组成的图形就 是它们的图象(这个图象就叫做平面直角坐标系) 。它是我们所表示两个变量之 间关系的另一种方法。 特点:非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的,通过观察或由 图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 表示的步骤是: ①列表: 列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。 一般给出的数越多, 画出的图象越精确。 ②描点:在用图象表示变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴(横轴或 x 轴)上的点来表示自变量,用竖直方向的数轴(纵轴或 y 轴)上的点来表示因 变量。 ③连线: 按照自变量从小到大的顺序, 用平滑的曲线把所描的各点连结起来。 -1-

注意:a.认真理解图象的含义,注意选择一个能反映题意的图象; b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义(坐标). 3.关系式法(解析法) 关系式(即解析式)是利用数学式子来表示变量之间关系的等式,利用关系 式,可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值,也可以已知因变量的 值求出相应的自变量的值。 注意:三种表示方法的关系 表格、图象与关系式都能表示两个变量之间的关系,已知关系式可以列出表 格,画出图象,已知表格、图象却不一定有相应的关系式。但是,关系式的确定 也是根据表格、图象所提供的信息,用从特殊到一般的数学思想,经过类比、比 较和归纳,从而猜想得出结论进行验证后的结果。 知识点三:事物变化趋势的描述 对事物变化趋势的描述一般有两种: 1.随着自变量 x 的逐渐增加(大) ,因变量 y 逐渐增加(大) (或者用函数语言描 述也可:因变量 y 随着自变量 x 的增加(大)而增加(大) ) ; 2. 随着自变量 x 的逐渐增加(大) ,因变量 y 逐渐减小(或者用函数语言描述也 可:因变量 y 随着自变量 x 的增加(大)而减小) 注意:如果在整个过程中事物的变化趋势不一样,可以采用分段描述.例如在什 么范围内随着自变量 x 的逐渐增加(大) ,因变量 y 逐渐增加(大)等等. 知识点四:估计(或者估算) 对事物的估计(或者估算)有三种: 1.利用事物的变化规律进行估计 (或者估算) .例如: 自变量 x 每增加一定量, 因变量 y 的变化情况;平均每次(年)的变化情况(平均每次的变化量=(尾数 -首数)/次数或相差年数)等等; 2.利用图象:首先根据若干个对应组值,作出相应的图象,再在图象上找到 对应的点对应的因变量 y 的值; 3.利用关系式:首先求出关系式,然后直接代入求值即可. 知识点五:两种图像的区别---平行于横轴的意义 1、v-t(速度与时间)

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说明: 线段 线段 AB 表 BC 表示汽 表示汽车停止了行驶。 1、s-t(距离与时间)

OA 表示汽车正在加速行驶: 示汽车正在匀速行驶,线段 车正在减速行驶;线段 CD

甲图像更陡,所以甲速度下降的更快。 【例题讲解】 1.某校办工厂现在年产值是 15 万元,计划以后每年增加 2 万元. (1) 写出年产值 y (万元)与年数 x 之间的关系式. (2) 用表格表示当 x 从 0 变化到 6(每次增加 1) y 的对应值. (3) 求 5 年后的年产值.

说明:线段 OA 表示汽车正在离开出发地,线段 AB 表示汽车停止了行驶(V=0,S 不变)线段 BC 表示汽车正在返回出发地,线段 CD 表示汽车已经回到了出发地并 停止了。 (S=0,V=0) 注意:理解平行于横轴的线段的不同含义(在这段时间内因变量不变) 、 知识点六:变化速度的比较 在相同时间内因变量变化速度的比较,哪一支图像更陡一些,这支图像代表 的因变量的变化会更快一些。 1、增长速度

2. 如图 10,反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图. (1) 图中反映了哪两个变量之间的关系?⑵.超市离家多远? (2) 小明到达超市用了多少时间?⑸.小明往返花了多少时间? (3) 小明离家出发后 20 分钟到 30 分钟内可以在做什么? (4) 小明从家到超市时的平均速度是多少?返回时的平均速度是多少?
距离(米) 900

甲图像更陡,所以甲增长的更快。 2、下降速度 -2-

时间(分钟) o 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

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A. b ? 2d 2.

d B. b= 2

C. b ? d ? 25

D. b ? d ? 25

已知皮球从空中落下时从地面弹起的高度 y(米)与其下落的高度 x(米) 存在一定的关系。下表是一组试验数据。下列能表示这种关系的是( 下落的高度 x(米) 50 25 C. y=x-25 100 50 150 75 1 D. y= x 2
3



200 100

3.如图,它表示甲乙两人从同一个地点出发后的情况。到十点时,甲大约走了 13 千米。根据图象回答: (1) 甲是几点钟出发? (2) 乙是几点钟出发,到十点时,他大约走了多少千米? (3) 到十点为止,哪个人的速度快? (4) 两人最终在几点钟相遇? (5) 你能将图象中得到信息,编个故事吗?

弹起的高度 y(米) A. y=x2 3. B. y=2x

三峡大坝从 6 月 1 日开始下闸蓄水,如果平均每天流入库区的水量为 am ,
3

平均每天流出的水量控制为 bm ,当蓄水水位低于 135m 时, b ? a ;当蓄水水 位达到 135m 时, b ? a ,设库区的蓄水量 y( m ) 是随时间 t(天)变化而变化 的 关 系 图 像 , 那 么 这 个 图 像 大 致 是 ( )
3

路程 (千米)
40 30 20 10





8:00 9:0010:0011:00

时间

4.

如图是反映两个变量关系的图,下列的四个情境比较合适该图的是( A.一杯热水放在桌子上,它的水温与时间的关系 B. 一辆汽车从起动到匀速行驶,速度与时间的关系 C. 一架飞机从起飞到降落的速度与时间的关系 D.踢出的足球的速度与时间的关系

)

【随堂练习】 一、选择题 1. 下面的图表列出了一项试验的统计数据,表示将皮球从高处 d 落下时,反弹 高度 b 与下落高度 d 的关系, 则在下面的式子中能表示这种关系的是 ( d b 50 25 80 40 100 50 150 75 -3) 5.

如图,射线 l 甲、l 乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与 时间的关系,则他们行进的速度关系是( )

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A.甲比乙快

B.乙比甲快

C.甲、乙同速

D.不一定

6.

如图,下图是汽车行驶速度(千米/时) ,和时间(分)的关系图,下列 说法其中正确的个数为( ) 9. 2004 年 6 月 3 日中央新闻报道,为鼓励居民节约用水,北京市将出台新的居民 用水收费标准:①若每月每户居民用水不超过 4 立方米,则按每立方米 2 元计 算;②若每月每户居民用水超过 4 立方米,则超过部分按每立方米 4.5 元计算 (不超过部分仍按每立方米 2 元计算).现假设该市某户居民某月用水 x 立方米, 水费为 y 元,则 y 与 x 的函数关系用图象表示正确的是( )

(1)汽车行驶时间为 40 分钟; (2)AB 表示汽车匀速行驶; (3)在第 30 分 钟时,汽车的速度是 90 千米/时; (4)第 40 分钟时,汽车停下来了 A. 1 个 7. B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 ) 某校办工厂今年前 5 个月每月生产某种产品总量(件)与时间(月)的关系 如下图所示,则对于该厂生产这种产品的说法正确的是( A. 1 月至 3 月每月生产总量逐月增加,4、5 两月每月生产总量逐月减少 B. 1 月至 3 月每月生产总量逐月增加,4、5 两月每月生产总量与 3 月持平 C. 1 月至 3 月每月生产总量逐月增加,4、5 两月均停止生产 D. 1 月至 3 月每月生产总量不变,4、5 两月均停止生产 8. 如图、是某地一天的气温随时间变化的图像,根据图像可知,在这一天中最 高气温与达到最高气温的时刻分别是( A. 14℃,12 时 B. 4℃,2 时 ) C. 12℃,14 时 D. 2℃,4 时

10. 甲乙两同学约定游戏规则:甲先骑自行车到终点后跑步回起点,而乙则跑步到 终点后骑自行车回起点,两人同时出发,最后两人同时回到起点。已知甲骑 自行车速度比乙骑自行车速度快,若某人离开起点的距离与所用时间的关系 可用图象表示,则下列选项正确的是( )

(1) -4-

(2)

(3)

(4)

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A.甲是图(1) ,乙是图(2) ; C.甲是图(1) ,乙是图(4) ; 二、填空题: 11. 若 x 是自变量,y 是因变量,则 y 应随 x 的

B.甲是图(3) ,乙是图(2) ; D .甲是图(3) ,乙是图(4) ; 而 .

20. 在弹性限度内,一弹簧长度 y(cm)与所挂物体的质量 x(kg)之间的关系 式是 y=

2 x+10,如果该弹簧最长可以拉伸到 20cm,则它所挂物体的最大质 5

量是_______. 21. 一圆锥的底面半径是 5cm,当圆锥的高由 2cm 变到 10cm 时,圆锥的体积由 ________ cm 3 变到_________ cm 3 . 22. 小雨拿 5 元钱去邮局买面值为 80 分的邮票,小雨买邮票后所剩钱数 y(元) . 与买邮票的枚数 x(枚)之间的关系式为 三、解答题: 23. 甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由 A 地到 B 地,行驶过程中路程与时 间的关系的图象如图. 根据图象解决下列问题: (1) 谁先出发?先出发多少时间?谁先到达终点?先到多少时间? (2) 分别求出甲、乙两人的行驶速度. (3)乙经过几分钟追上甲?这时两人距 B 地还有多远? .

12. 某人以每小时 m 千米的速度从甲地向乙地行走,若甲、乙两地相距 S 千米, 则当他行走了 x 小时后, 他距乙地还有 y 千米, 在这个问题中, 常量, 是自变量; 是因变量. 13. 长方形的宽为 6cm,则它的周长 L 与长 a 之间的关系为 与 是

14. 声 音 在 空 气 中 传 播 的 速 度 y(m/s) 与 气 温 x(? C) 之 间 在 如 下 关 系 :

3 y ? x ? 331 。 5
(1)当气温 x=15 ? C 时,声音的速度 y= 地相距 m. 。 m/s。 (2)当气温 x=22 ? C 时,某人看到烟花燃放 5s 后才听到声响,则此人与燃放 15. 汽车以 60km/h 速度匀速行驶,随着时间 t(时)的变化,汽车的行驶路程 s 也随着变化,则它们之间的关系式为 16. 一辆汽车以 45km/h 的速度行驶,设行驶的路程为 s(km),行驶的时间为 t(h),则 s 与 t 的关系式为 ,自变量与因变量分别是 . 17. 拖拉机工作时, 油箱中的余油量 Q (升) 与工作时间 t (时) 的关系式为 Q=40 -6t。当 t=4 时,Q=______,从关系式可知道这台拖拉机最多可工作______ 小时 18. 一个长方形周长为 12,一边长为 x,面积 y 随 x 的变化而变化,则 y 与 x 的 关系式是____________,当 x=2 时,y=________. 19. 已知等腰三角形的底角的度数为 x,顶角的度数为 y,则 y 关于 x 的关系式 为____________. -5-

A. 小明某天上午 9 时骑自行车离开家, 15 时回家, 他有意描绘了离家的距离与 时间的变化情况如图 (1)图象表示了哪两个变量的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)10 时和 13 时,他分别离家多远? (3)他到达离家最远的地方是什么时间?离家多远?

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(4)11 时到 12 时他行驶了多少千米? (5)他可能在哪段时间内休息,并吃午餐? (6)他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少?

1、如图,L 甲、L 乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的 关系,则它们的平均速度的关系是( ) A. 甲比乙快 B. 乙比甲快 C. 甲、 乙同速 D. 不 一定

24. 下表是佳佳往妹妹家打长途电话的几次收费记载: 时间/分 电话费/元 1 0.6 2 1.2 3 1.8 4 2.4 5 3.0 6 3.6 7 4.2

2、李老师骑自行车上班,最初以某一速度匀速行驶,中途由于 自行车发生故障,停下修车耽误了几分钟,为了按时到校,李老师加快了速度, 但仍保持匀速行驶,结果准时到校.在课堂上,李老师请学生画出表示自行车行 驶路程 s(km)与行驶时间;(h)关系的示意图,同学们画出的示意图有如下四种, 你认为哪幅图能较好地刻画李老师行驶的路程与时间的变化关系( )

(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)如果用 x 表示时间,用 y 表示电话费,那么随着 x 的变化,y 的变化趋 势是什么? (3)佳佳某次打电话所用时间为 5 分钟,则需付电话费多少元? (4)你能帮佳佳预测一下,如果她打电话用时间是 10 分钟,则需付多少电 话费? 3、某人骑车上路,一开始以某一速度行进,途中车子发生故障,只好停下来修 车,车修好后,因怕耽误上路时间,于是就加快了车速.如用 s 表示此人离家的 距离,t 为时间,在下面给出的四 个表示 s 与 t 的关系的图象中,符 合以上情况的是( ) 【课后练习】 -6-

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A.1 个 4、某校举行趣味运动会,甲、乙两名学生同时从 A 地到 B 地,甲先骑自行车到 B 地后跑步回 A 地,乙则是先跑步到 B 地,后骑自行车回 A 地(骑自行车速度快于 跑步速度),最后两人恰好同时回到 A 地;已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度 快,若学生离开 A 地的距离 S 与所用时间 t 的关系用图象表示(实线表示甲的图 象,虚线表示乙的图象),则图中正确的是 ( )

B.2 个

C.3 个

D.4 个

7、 某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程. 开始时平均增速 2km /h.4h 后,沙尘暴经过开阔荒漠地,风速变为平均增速 4km/h.一段时间内风 速保持不变,当沙尘暴遇到绿色植被区时,其风速平均每小时减少 1km/h,最终 停止.结合风速与时间的图象,回答下列问题. (1) 在纵轴 (y) 的 ( ) 内填入相应的数 值; (2) 沙尘暴从发生到结束,共经过多少小 时?

5、 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着缓缓爬行的乌龟,骄傲起来, 睡了一觉。当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌 龟还时先到达了终点……。用 S1、S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间, 则下列图象中与故事情节相吻合的是( )

8、一位农民带上若干千克自产的土豆进城出售.为了方便,他带了一些零钱备 用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数 (含备用零钱)的关系,如图,结合图象回答下列问题: (1)农民自带的零钱是多少?(2)求出降价前每千克的土豆价格是多少? (3)降价后他按每千克 0.4 元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱) 是 26 元,试问他一共带了多少千克土豆?

A B C 6、如图,下图是汽车行驶速度(千米/时)和时间(分) 速度 的关系图,下列说法其中正确的个数为( ) C 80 (1)汽车行驶时间为 40 分钟; 60 (2)AB 表示汽车匀速行驶; (3)在第 30 分钟时,汽车的速度是 90 千米/时;40 20 A B (4)第 40 分钟时,汽车停下来了

D

D

9 、某空军加油飞机接到命令,立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加 油.在加油过程中,设运输飞机的油箱余油量为 Q1 吨,加油飞机的加油油箱余
时间

5 10 15 20 25 30 35 40

-7-

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油量为 Q2 吨,加油时间为 t 分钟,Q1、Q2 与 t 之间的函数图象如图所示,结合 图象回答下列问题: (1)加油飞机的加油油箱中装载了 吨油,将这些油全部加给运输飞机需 分钟. (2)运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需 10 小时到达目的地,油料是否够 用?请说明理由.

10、汽车在行驶过程中,由于惯性作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能 停止,我们称这段距离为“刹车距离”。岁同类车而言,速度越大,“刹车距离”越 长;速度越小, “刹车距离”越短。交警同志在处理交通撞车事故时,通常把“刹 车距离”作为一重要分析数据,现有一个限速 40km/h 以内的弯道上,甲、乙两车 相向而行,各自发现情况后,同时刹车,但还是相撞了,事故后,现测得甲车的 刹车距离为 5m, 乙车的刹车距离超过 10m, 但小于 12m, 已知甲车的刹车距离 S甲 (m)与车速 V甲 (km/h)有下列关系: S甲 = 与车速 V乙(km/h)有如下关系: S乙 = 该负主要责任?

2 V甲 ,乙车的刹车距离 S乙 (m) 15

1 V乙 ,假若你是一名交警,这次事故谁应 4

11、 下页这张曲线图(图 6—12)表示某人骑摩托车旅行情况, 他上午 8:00 离开家, 请仔细观察曲线图,回答以下问题: (1) 他从家到达终点共骑了多少千 米?何时到达终点? (2)摩托车何时开得最快? (3)摩托车何时第一次停驶?此时离 家多远? (4)摩托车第二次停驶了多长时间? (5)摩托车在 11:00 到 12:00 这段时 间内的平均速度是多少? (6) 求摩托车在全部行驶时间内的 平均速度?

-8-

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【拓展练习】 1、地向一个如图所示的容器中注水,最后把容器注满,在注水的过程中水面的 高度 h 随时间 t 变化的函数图象大致是( )

A B C D 2、的向一个容器中注水,最后把容器注满,在注水过程中,水面高度 h(㎝)随 时间 t(s)的变化规律如图所示, (图中 OABC 为一折线) ,这个容器的形状是图中 的( )

一般货轮于上午 7 时在该港码头开始卸货,计划当天卸完货后离港.已知这艘货 轮卸完货后吃水深度为 2.5m(吃水深度即船底离开水面的距离) .该港口规定: 为保证航行安全,只有当船底与港内水底间的距离不少于 3.5m 时,才能进出该 港. 根据题目中所给的条件,回答下列问题: (1)要使该船能在当天卸完货并安全出港,则出港时水深不能少于 m,卸货 最多只能用 小时; (2)已知该船装有 1200 吨货,先由甲装卸队单独卸,每小时卸 180 吨,工作了 一段时间后,交由乙队接着单独卸,每小时卸 120 吨.如果要保证该船能在当天 卸完货并安全出港,则甲队至少应工作几小时,才能交给乙队接着卸?

A B D C

3、受潮汐的影响,近日每天 24 小时港内的水深变化大体如 下图:

4、如图,长方形 ABCD 中,当点 P 在边 AD(不包括 A、D 两点)上从 A 向 D 移动时,有 的线段的长度和三角形的面积始终保持不变,而有些则发生了变化。 (1)试分别列举出长度变化与不变化线段的长度、以及面积变化与不变化的三 角形; (2)假如长方形的长 AD 为 10 ㎝,宽 CD 为 4 ㎝,线段 AP 的长度为 x ㎝,分 别写出线段 PD 的长度 y(㎝) 、△PCD 的面积 S( cm )与 x(㎝)之间的关系 式,并指出自变量 x 的取值范围。
2

-9A

P

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5、动车出发前油箱内有 42 升油,行驶若干小时后,途中在加油站加油若干升。 油箱中余油量 Q(升)与行驶时间 t(小时)之间的函数关系如图所示,根据下 图回答问题: (1)机动车行驶几小时后加油?加了多少油? (2)试求加油前油箱余油量 Q(L)与行驶时间 t(h)之间的函数关系式; (3 如果加油站离目的地还有 230 公里,车速为 40 公里/小时,要到达目的地,油 箱中的油是否够用?请说明理由 .

- 10 -


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