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世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(六) 2.3


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课时提升作业(六)
函数的奇偶性与周期性 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1.定义域为 R 的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2+1,y

=2sin x 中,奇函数的个数是 ( A.4 B.3 C.2 D.1 ) 50 分)

【解析】选 C.由奇函数的概念可知 y=x3,y=2sin x 是奇函数. 2.(2015·广州模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是 ( A.y=
1 x

)

B.y=e-x D.y=lg |x|
1 x

C.y=-x2+1

【解析】选 C.A 中,y= 为奇函数,故排除 A; B 中,y=e-x 为非奇非偶函数,故排除 B; C 中,y=-x2+1 的图象关于 y 轴对称,故为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减; D 中,y=lg |x|为偶函数,在 x∈(0,+∞)时单调递增,排除 D. 3.(2015·泉州模拟)设 f(x)是周期为 4 的奇函数,当 0≤x≤2 时,f(x)=x(2-x), 则 f(2015)等于 ( A.1 B.-1 ) C.3
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D.-3

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【解析】 选 B.f(2015)=f(4〓503+3)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-f(1)=-1〓(2-1)=-1. 【方法技巧】周期性问题常与奇偶性相结合,解题时注意以下两点: (1)周期的确定:特别是给出递推关系要明确周期如何确定. (2)周期性与奇偶性在解题时,一般情况下周期性起到自变量值转换作用 ,奇偶 性起到调节转化正负号的作用. 【 加 固 训 练 】 (2015 · 皖 北 八 校 模 拟 ) 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 满 足 f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且 x∈(-2,0)时,f(x)=2x+ ,则 f(2 013)=( A.-1 B.0 C.1 D.±1
1 2

)

【解析】选 A.因为 f(-x)=-f(x),所以函数 f(x)为奇函数.因为 f(x-2)=f(x+2), 所以 f(x+4)=f(x),即函数的周期为 4. 所 以 f(2 013)=f(4 〓 503+1)=f(1). 因 为 f(-1)=2-1+ f(1)=-1,所以 f(2 013)=f(1)=-1,故选 A. 4.(2015·长春模拟)x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 f(x)=x-[x] 在 R 上为( A.奇函数 C.增函数 ) B.偶函数 D.周期函数
1 =1,f(-1)=-f(1)=1, 即 2

【解析】选 D. 当 n 为整数时 , 必有 [n+x]=n+[x] 成立 . 设 k ∈ Z, 且 k ≠ 0, 则 f(x+k)=(x+k)-[x+k]=(x+k)-([x]+k)=x-[x]=f(x), 所以 f(x) 必为周期函数 ,故 选 D. 【一题多解】本题还可以采用如下方法: 方法一:(特值法)取 x1=1.2,x2=2,则 f(x1)=1.2-[1.2]=0.2,f(-x1)=-1.2-[-1.2]= 0.8,所以 f(-x1)≠〒f(x1),所以 f(-x)≠〒f(x),故 A,B 错;又 f(x1)=0.2,f(x2)=0,
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显然 f(x)不是增函数,故 C 错,故选 D. 方法二:(图象法)依据已知可以作出函数 f(x)的图象,如图所示,则可知 f(x)是 有界,且周期为 k(k∈Z,k≠0)的非单调函数,其最小正周期为 1,故选 D.

5.若函数 f(x)= A.0

sin x 是奇函数,则 a 的值为( (x ? a) 2

) D.4

B.1

C.2

【解析】 选 A.由 f(-1)=-f(1),得

sin( ? 1) ?sin 1 ? ,所以(-1+a)2=(1+a)2,解得 a=0. 2 2 ( ? 1 ? a) (1 ? a)
1 )) 100

6.(2015· 重庆模拟)已知函数 y=f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=lg x,则 f(f( 的值等于( A.
1 lg 2

) B.1 lg 2

C.lg 2

D.-lg 2
1 1 )=lg =-2, 则 100 100

【 解 析 】 选 D. 因 为 当 x>0 时 ,f(x)=lg x, 所 以 f( f(f(
1 ))=f(-2), 100

因为函数 y=f(x)是奇函数, 所以 f(f(
1 ))=-f(2)=-lg 2. 100

7.(2015·黄冈模拟)能够把圆 O:x2+y2=16 的周长和面积同时分为相等的两部分 的函数称为圆 O 的“和谐函数”,下列函数不是圆 O 的“和谐函数”的是( A.f(x)=4x3+x C.f(x)=tan
x 2

)

B.f(x)=ln

5?x 5? x

D.f(x)=ex+e-x

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【解析】选 D.由“和谐函数”的定义知,若函数为“和谐函数”,则该函数为过 原点的奇函数. A 中,f(0)=0,且 f(x)为奇函数,所以 f(x)=4x3+x 为“和谐函数”; B 中,f(0)=ln
5?0 5? x 5 ? x ?1 5?x ) =-ln =ln 1=0,且 f(-x)=ln =ln ( =-f(x),所以 5? x 5?0 5?x 5? x

f(x)为奇函数, 所以 f(x)=ln
5?x 为“和谐函数”; 5? x

C 中,f(0)=tan 0=0, 且 f(-x)=tan(- )=-tan 所以 f(x)为奇函数, 故 f(x)=tan 为“和谐函数”; D 中,f(0)=e0+e-0=2,所以 f(x)=ex+e-x 的图象不过原点,所以 f(x)=ex+e-x 不是“和 谐函数”. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.f(x)为奇函数,当 x<0 时,f(x)=log2(1-x),则 f(3)= 【解析】f(3)=-f(-3)=-log24=-2. 答案:-2 9.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a= . .
x 2 x 2 x =-f(x), 2

【 解 析 】 因 为 函 数 f(x)=x2-|x+a| 为 偶 函 数 , 所 以 f(-x)=f(x), 即 (-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|,所以|-x+a|=|x+a|,所以 a=0. 答案:0 10.(2015· 长沙模拟)设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减, 若 f(1-m)<f(m),则实数 m 的取值范围是
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.

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【解析】因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x)=f(|x|). 所以不等式 f(1-m)<f(m),等价于 f(|1-m|)<f(|m|). 又当 x∈[0,2]时,f(x)是减函数.
?1? m ? m , ? 1 所以 ??2 ? 1 ? m ? 2, 解得-1≤m< . 2 ??2 ? m ? 2, ?

答案:[-1, ) (20 分钟 40 分) 1.(5 分)(2014·山东高考)对于函数 f(x),若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内 的每一个值,都有 f(x)=f(2a-x),则称 f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数 的是( ) B.f(x)=x2 D.f(x)=cos(x+1)

1 2

A.f(x)= x C.f(x)=tan x

【解题提示】本题为新定义问题,准确理解准偶函数的概念再运算. 【解析】选 D.由 f(x)=f(2a-x)可知,f(x)关于 x=a 对称,准偶函数即偶函数左右 平移得到的. 【加固训练】定义两种运算:a?b= a 2 ? b2 ,a⊕b= (a ? b)2 ,则 f(x)=
2?x 是 2 ? (x ? 2)

( A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数

)

【解析】选 A.因为 2?x= 4 ? x 2 ,x⊕2= (x ? 2) 2 , 所以 f(x)=
4 ? x2 2 ? (x ? 2) 2 ? 4 ? x2 4 ? x2 ? , 2 ? (2 ? x) x

该函数的定义域是[-2,0)∪(0,2],
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且满足 f(-x)=-f(x). 故函数 f(x)是奇函数. 2.(5 分)(2015· 杭州模拟)若偶函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x),当 x∈[0,1] 时,f(x)=x,则 y=f(x)的图象与 y=log4|x|的图象的交点个数是( A.3 B.4 C.6 D.8 )

【解析】 选 C.由于 f(x)是满足 f(x+2)=f(x)的偶函数,且当 x∈[0,1]时,f(x)=x, 故 f(x)是周期为 2 的周期函数,其图象如图所示,根据函数 y=log4|x|也是偶函数, 其图象也关于 y 轴对称,容易知道它们的交点共有 6 个.故选 C.

3.(5 分)(2015· 西安模拟)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于 直线 x= 对称,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=
1 2

.
1 2

【解析】f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称,所以 f(-x)=-f(x), f( +x)=f( -x)? f(x)=f(1-x), 所以 f(-x)=f(1+x)=-f(x),f(2+x)=-f(1+x)=f(x), 所以 f(0)=f(1)=f(3)=f(5)=0,f(0)=f(2) =f(4)=0, 所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0. 答案:0
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1 2

1 2

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【加固训练】已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R), 则 f(2 015)= .

1 4

【解析】令 x=1,y=0 时,4f(1)·f(0)=f(1)+f(1), 解得 f(0)= , 令 x=1,y=1 时,4f(1)·f(1)=f(2)+f(0), 解得 f(2)=- , 令 x=2,y=1 时,4f(2)·f(1)=f(3)+f(1), 解得 f(3)=- , 依次求得 f(4)=- ,f(5)= ,f(6)= ,f(7)= ,f(8)=- ,f(9)=- ,… 可知 f(x)是以 6 为周期的函数, 所以 f(2 015)=f(335〓6+5)=f(5)= . 答案:
1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 1 4 1 4 1 2 1 2 1 4 1 2

【一题多解】本题还可以采用如下方法: 因为 f(1)= ,4f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),
1 2 1 ? 1 所以 f(2 015)= cos( ? 2 015) ? . 2 3 4 1 答案: 4 1 4

所以构造符合题意的函数 f(x)= cos x,

? 3

4.(12 分 ) 函数 f(x) 的定义域为 D={x|x ≠ 0}, 且满足对于任意 x1,x2 ∈ D, 有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值. (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论. (3)如果 f(4)=1,f(x-1)<2,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围.
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【解析】(1)因为对于任意 x1,x2∈D, 有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), 所以令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),所以 f(1)=0. (2)f(x)为偶函数.证明如下: 令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1), 所以 f(-1)= f(1)=0. 令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x), 所以 f(-x)=f(x),所以 f(x)为偶函数. (3)依题设有 f(4〓4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函数, 所以 f(x-1)<2,等价于 f(|x-1|)<f(16). 又 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 所以 0<|x-1|<16,解得-15<x<17 且 x≠1. 所以 x 的取值范围是{x|-15<x<17 且 x≠1}. 5.(13 分 )( 能力挑战题 ) 已知函数 f(x) 在 R 上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)= f(7+x), 且在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性. (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 014,2 014]上根的个数,并证明你的结论. 【 解 析 】 (1) 若 y=f(x) 为 偶 函 数 , 则 f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+(x+2))= f(4+x)=f(x), 所以 f(7)=f(3)=0,这与 f(x)在闭区间[0,7]上只有 f(1)=f(3)=0 矛盾;因此 f(x) 不是偶函数.
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若 y=f(x)为奇函数,则 f(0)=-f(0), 所以 f(0)=0,这与 f(x)在闭区间[0,7]上只有 f(1)=f(3)=0 矛盾;因此 f(x)不是 奇函数. 综上可知:函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)由 ? ?
?f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ? , ? ?f ? 7 ? x ? ? f ? 7 ? x ?

?? ?

?f ? x ? ? f ? 4 ? x ? , ? ?f ? x ? ? f ?14 ? x ?

?

f(4-x)=f(14-x)? f(x)=f(x+10), 从而知函数 y=f(x)的周期 T=10. 由 f(3)=f(1)=0,得 f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0. 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知函数 y=f(x)在[0,2 014]上 有 404 个解,在[-2 014,0]上有 402 个解,所以函数 y=f(x)在[-2 014,2 014]上 共有 806 个解.

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