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江苏省2012届高三数学中档题冲刺训练2


中档题冲刺训练 2 ? ? 1.设 a 、 b 是两个不共线的非零向量(t∈R)
①若 a 与 b 起点相同,t 为何值时, a ,t b ,

姓名

1 ? ? ( a + b )三向量的终点在一直线上? 3 ? ? ? ? ? ? ②若| a |=| b |且 a 与 b 夹角为 60°,那么 t 为何值时| a -t b

|的值最小?
? ?
解:①设 a -t b =m[ a -

?

?

?

?

?

1 ? ? ( a + b )](m∈R) 3

化简得 (

? 2m ? m ? 1) a = ( ? t ) b 3 3

? 3 ? ? 2m ?m ? 2 ? ? ?1 ? 0 ? ? ? ? ? 3 ?t ? 1 ∵ a 与 b 不共线 ∴ ? ? 2 ? ? ?m ? ?t ? 0 ?3 ? 1 ? ? 1 ? ∴t= 时, a 、t b 、 ( a + b )终点在一直线上 2 3 ? 2 ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 2 ②| a -t b | =( a -t b ) =| a | +t | b |-2t| a | | b |cos 60°=(1+t -t)| a | ,
∴t=

1 2

时,| a -t b |有最小值

?

?

3 ? |a| 2

2.已知曲线 L : y ? ax ? bx ? cx ? d与y轴 相交于点 A,以其上一动点 P(x0,y0)为切点
3 2

的直线 l 与 y 轴相交于 Q 点. (Ⅰ)求直线 l 的方程,并用 x0 表示 Q 点的坐标; (Ⅱ)求 lim

sin ?APQ . x0 ??? sin ?AQP
2

Ⅰ)解: A(0, d ), y? ? 3ax2 ? 2bx ? c, k ? 3ax0 ? 2bx0 ? c

? y ? y0 ? (3ax0 ? 2bx0 ? c)(x ? x0 ), 令x ? 0得yQ ? (3ax0 ? 2bx0 ? c)(? x0 ) ? y0
2 2

?Q(0, (3ax0 ? 2bx0 ? c)(?x0 ) ? y0 )
2

(Ⅱ)由正弦定理得:

1

sin ?APQ AQ | ?3ax0 ? 2bx0 ? cx0 ? y 0 ? d | ? ? 2 sin ?AQP AP x0 ? ( y 0 ? d ) 2
3 2

?

| ?2ax0 ? bx0 |
3 2

x0 ? (ax0 ? bx0 ? cx0 ) 2
2 3 2

? lim

| 2ax0 ? bx0 | sin ?APQ | 2a | ? lim ? ?2 2 3 2 x0 ? ?? sin ?AQP x ? ?? |a| x0 ? (ax0 ? bx0 ? cx0 ) 2
3 2

AC 3. 如图, 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 底面是以 ?ABC 为直角的等腰三角形, ? 2a, BB1 ? 3a, D 是 A1C1 的中点, E 是 B1C 的中点。 (1)求异面直线 BE , CA1 所成的角; (2)在线段 AA1 上是否 存在点 F ,使 CF ? 平面B1 DF ?若存在,求出 AF 的长;若不存在,说明理由。

B1 A1

C1

D

E

F B A

C

4.已知常数 a>0,向量 c=(0,a) ,i=(1,0) ,经过原点 O 以 c+λ i 为方向向量的直线与经 过定点 A(0,a)以 i-2λ c 为方向向量的直线相交于点 P,其中λ ∈R.试问:是否存 在两个定点 E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出 E、F 的坐标;若不存在,说明 理由. 解:根据题设条件,首先求出点 P 坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点 P 到两定点距离的和为定值. ∵i=(1,0) ,c=(0,a) ∴c+λ i=(λ ,a) i-2λ c=(1,-2λ a). , , 因此,直线 OP 和 AP 的方程分别为

?y ? ax 和 y ? a ? ?2?ax .
2 2

消去参数λ ,得点 P( x, y) 的坐标满足方程 y( y ? a) ? ?2a x .
a ( y ? )2 2 ? 1. ……① a 2 ( ) 2

整理得

x2 ? 1 8

因为 a ? 0, 所以得:

(i)当 a ?

2 时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点 E 和 F; 2

(ii)当 0 ? a ? 2 时,方程①表示椭圆,焦点 E ( 1 1 ? a 2 , a ) 和 F (? 1 1 ? a 2 , a ) 为合 2 2 2 2 2 2 2 乎题意的两个定点;

2

( iii ) 当 a ?

2 时 , 方 程 ① 也 表 示 椭 圆 , 焦 点 E (0, 1 (a ? a 2 ? 1 )) 和 2 2 2

1 1 F (0, (a ? a 2 ? )) 为合乎题意的两个定点. 2 2

3


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