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沛县歌风中学(如皋办学)2014届高三上学期期中模拟数学试题(2)


歌风中学(如皋办学)2013—2014 学年度第一学期

高三数学期中模拟试题(二)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 。 1、 .已知全集 U ? {1,2,3,4,5} ,集合 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x ? 2a,a ? A} ,
2

>则集合 CU ( A ? B) ? _____________; {3,5} 2、设复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2 ? 4i ,则复数 z 的虚部为 ▲ ;-1 ▲ ;-5 ▲ ;

1 S4 3、已知等比数列{an}的公比 q=-2,Sn 为其前 n 项和,则a =
4

4、实数 a

? ln 0.5, b ? 0.4 , c ? log 0.4 ,则 a, b, c 从小到大的顺序为 ...
0.5 0. 5

a?b?c
? ? ? λ 5、向量 a , b , c ,在正方形网格中的位置如图所示,若 c ? ? a ? ? b,(?,? ? R) ,则 = μ
________.4

6、阅读下边的流程图,运行相应的程序,则输出的 i 值为
? ? ?? ? ? ? ?? 上 运 动 ( 包 括 端 点 ), 则 A P? D M 取 值 范 围 是 的





7、在□ABCD 中,已知 AB=2,AD=1,∠DAC=60°,点 M 为 AB 的中点,点 P 在 BC 与 CD .[ ?
1 , 2

1]. 的值为

(第 8 题)

8、已知 y = f ( x) 是奇函数,当 x≥ 0 时, f ( x ) = 3x + m ,若 g ( x) = f ( x) + 2 ,则 g (- 1) ▲ .0 4 9. 函数 y=2sin x+ (0<x<π);最小值为____ ____ sin x 4 10.(2010· 辽宁高考)已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α e +1 的取值范围是 . π 3π 答案:[0, ]∪[ ,π) 2 4 4ex 4ex 4t 解析:y′=- x . 设 t=ex ∈(0,+∞),则 y′=- 2 =- 2 =- 2x ?e +1? e +2ex+1 t +2t+1 4 1 3π ,∵t+ ≥2,∴y′∈[-1,0),α∈[ ,π). 1 t 4 ?t+ ?+2 t 11、已知 , ,则 tan(β﹣2α)等于 ﹣1 .
1

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题. 分析: 把已知条件

利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关

系化简后,即可求出 tanα 的值,然后把所求式子中的角 β﹣2α 变为(β﹣α)﹣α,利 用两角差的正切函数公式化简后,将各自的值代入即可求出值. 解答: 解:由 = , =2tanα=1,得到 tanα= ,又

则 tan(β﹣2α)=tan[(β﹣α)﹣α]=

=

=﹣1.

故答案为:﹣1 点评: 此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求 值,灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值,是一道基础题.

?1 ? x ? 1 , x ? 2, ? 12、设函数 f ( x) ? ? 1 则函数 F ( x) ? xf ( x) ? 1 的零点的个数为 ? f ( x ? 2), x ≥ 2, ?2

▲ 6

a 13、已知曲线 C : f ( x) ? x + (a ? 0) ,直线 l : y ? x ,曲线 C 上有一个动点 P ,过 P 分 x 别作直线 l 和 y 轴的垂线, 垂足分别为 A, B .再过 P 作曲线 C 的切线, 分别与直线 l 和 y 轴
相交于点 M , N,O 是坐标原点.则 △OMN 与 △ABP 的面积之比值为 ▲ ; (2, 2)

14.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,对于任意 x1 , x2 ? R , f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 )- 1 恒

1 3 成立, 且当 x > 0 时,f ( x) > 1 , f (2 若 0
恒成立,则实数 a 的取值范围为 ▲

2= 0 1 4 )

,f ( x 2 - ax - 3) < 3 对任意 x ?

( 1,1)

. ? -4, 4?

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 。 15、在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c . ⑴若 a, b, c 成等比数列,求 f ( B) ? sin B ? 3 cos B 的值域; ⑵若 a, b, c 成等差数列,且 A ? C ?

?
3

,求 cos B 的值.

2 2 2 15. 解:⑴? b ? ac, a ? c ? 2ac,

? cos B ?

a 2 ? c 2? b 2 2ac ? ac 1 ? ? , 2ac 2ac 2

当 且 仅 当 a ? c 时 取 等 号 , ?0 ? B
2

?

? , 3

由 于

f ( B) ? sin B ? 3 cos B ? 2sin( B ? ) , 3 ? ? ? 2? ? 又 B ? ?? , 即 f ( B) 的 值 域 为 ? , ? 3 ? f ( B) ? 2 , 3 ?3 3 ? ? 3, 2 ? . ? ? ⑵? a ? c ? 2b,?sin A ? sin C ? 2sin B, 又 ? 2? B ? B ? A ? C ? , A ? C ? ? ? B,? A ? ? ,C ? ? , 3 3 2 3 2 2? B ? B ? sin( ? ) ? sin( ? ) ? 2sin B, 3 2 3 2 B B B 展开化简,得 3 cos ? 2 ? 2sin cos , 2 2 2 B B 3 B 3 5 ? cos ? 0,? sin ? , ? cos B ? 1 ? 2sin 2 ? 1 ? ? . 2 2 4 2 8 8 16.已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4.

?

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(4-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 正解 (1)设{an}的公差为 d,则由已知得

?a1+a2+a3=6, ?3a1+3d=6, ? 即? 解得 a1=3,d=-1. ?a1+a2+…+a8=-4, ?8a1+28d=-4, 故 an=3-(n-1)=4-n. (2)由(1)知,bn=n·n-1, q 于是 Sn=1·0+2·1+3·2+…+n·n-1 q q q q 若 q≠1,上式两边同乘以 q. qSn=1·1+2·2+…+(n-1)·n-1+n·n q q q q 两式相减得:(1-q)Sn=1+q1+q2+…+qn-1-n·n q = 1-qn -n·n q 1-q

1-qn n·qn n·qn+1-(n+1)qn+1 ∴Sn= - = , (1-q)2 1-q (1-q)2 若 q=1,则 Sn=1+2+3+…+n= n(n+1) , 2

?n(n+1)(q=1), ? 2 ∴Sn=? n 1 nq -(n+1)qn+1 (q≠1). ? (1-q)2 ?


3

17、 (本题满分 14 分)如图所示,直立在地面上的两根钢管 AB 和 CD,两根钢管相距 1m , AB= 10 3m ,CD= 3 3m ,现用钢丝绳对这两根钢管进行加固,在 AB 上取一点 E,以 C 为 支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处,形成一个直线型的加固。设 BE= x(m) ,? EFD= ? ( rad ) ,EF= l ( m) 。 (1)试将 l ( m) 分别表示成 x(m) , ? ( rad )的函数; (2)选择其中一个函数模型求 l ( m) 的最小值,并求相应的 x (或 ? )的值;

17、解: (1)根据题意:由

3 3 DF 3 3 ? 得 DF ? ………………………… DF ? 1 x x?3 3
即 l ( x) ?

2分

则 l ( x) ?

(1 ?

2 3 3 2 ) ?x x?3 3

(

x )2 ? x 2 x ?3 3

x?( 3 3 , 1 0 … ] 分 34

l (? ) ?

3 3 1 ? sin ? cos ?

? ? ( 0? ]其中 ? 是锐角且 tan ? ? 7 3 ……………… 7 分 ,

(不写定义域扣 1 分) 。 (2)选 l 是 ? 的函数;

l ' (? ) ?
'

?3 3 cos ? sin ? sin 3 ? ? 3 3 cos3 ? ? ? …………………………………… 9 分 sin 2 ? cos 2 ? sin 2 ? cos 2 ?

令 l (? ) ? 0 得 当 ? ? (0, 当? ? (

??

?
3

…………………………………………………………………… 11 分

?

?

) ? l ' (? ) ? 0 ? l (? ) 在 (0, ) 递减; 3 3

?

, ? ] ? l ' (? ) ? 0 ? l (? ) 在 ( , ? ] 递增;…………………………………… 13 分 3 3

?

所以当且仅当 ? ?

?

3

时, l (? ) min ? l ( ) ? 8(m) ……………………………………… 14 分

?

3

选 l 是 x 的函数; 令 ? ( x) ? (

x )2 ? x 2 x ?3 3

x ? (3 3,10 3]

( x ? 3 3)3 ? 3 3 ? ( x) ? 2 x ( x ? 3 3)3
'

………………………………………………………… 10 分

' 令 ? ( x) ? 0 得 x ? 4 3 或 x ? 0 (舍去)

当 x ? (3 3, 4 3) ? ? ( x) ? 0 ? ? ( x)在(3 3, 4 3) 递减;
'

4

当 x ? (4 3,10 3] ? ? ( x) ? 0 ? ? ( x) 在 (4 3,10 3] 递增;…………………… 13 分
'

所以当且仅当 x ? 4 3 时, l ( x) min ? 8(m) …………………………………………… 14 分 18.设 ? an ? 是公差不为零的等差数列, S n 为其前 n 项和,满足 a2 ? a3 ? a4 ? a5 , S7 ? 7 。
2 2 2 2

(1)求数列 ? an ? 的通项公式及前 n 项和 S n ; (2)试求所有的正整数 m ,使得

am am?1 为数列 ? an ? 中的项。 am? 2

【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。满 分 14 分。 (1)设公差为 d ,则 a2 为d
2 2 2 2 ? a5 ? a4 ? a3 ,由性质得 ?3d (a4 ? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) ,因

? 0 ,所以 a4 ? a3 ? 0 ,即 2a1 ? 5d ? 0 ,又由 S7 ? 7 得 7a1 ?
? ?5 ,d ? 2 ,
am am?1 (2m ? 7)(2m ? 5) = ,设 2m ? 3 ? t , am? 2 2m ? 3
所以 t 为 8 的约数

7?6 d ?7, 2

解得 a1 (2)

(方法一) 则

am am?1 (t ? 4)(t ? 2) 8 = ? t ? ? 6, am? 2 t t

(方法二)因为

am am?1 (am? 2 ? 4)(am? 2 ? 2) 8 ? ? am? 2 ? 6 ? 为数列 ? an ? 中的项, am? 2 am? 2 am? 2



8 a m+2

为整数,又由(1)知: am ? 2 为奇数,所以 am? 2 ? 2m ? 3 ? ?1,即m ? 1, 2

经检验,符合题意的正整数只有 m ? 2 。 19、(本题满分 16 分)已知定义在 R 上奇函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) , (1)若 f (1) ? 1 , 且当 x ? [1, 2] 时, 函数 g ( x) ?

f ( x) 的值域为 [?2,1] x

5

①求函数 f ( x) 的解析式; ② 关于 x 的方程 f ( x) ? 3x ? m 有且只有三个实根,求 m 的取值范围; (2)若 c ? ?3 , f ( x) ? 1 ? 0 对于 ?x ? [?1,1] 成立,求 f ( x) 的表达式。 19、解: (1)①由 f ( x) 是奇函数得 f ( x) ? f (? x) ? 0 对于 ?x ? R 成立, 即 bx 2 ? d ? 0 对于 ?x ? R 成立;所以 b ? d ? 0 …………………………………… 此时 g ( x) ? ax 2 ? c ,当 a ? 0 时, g ( x) 在[1,2]递减,则有 f (1) ? 1 又知 f (1) ? 1 , 故 a ? 0 时, g ( x) 在[1,2]递增;则有 f (1) ? ?2, f (2) ? 1 解得 a ? 1, c ? ?3 ; 所以 f ( x) ? x3 ? 3x ………………………………………………………………………… 5 分 ②由 f ( x) ? 3x ? m 有且只有三个根 ? x3 ? 6 x ? m 有且只有三个根; 令 ? ( x) ? x3 ? 6 x , ? ' ( x) ? 3x 2 ? 6 ? 3( x ? 2)( x ? 2) 令 ? ' ( x) ? 0 ? x ? ? 2 …7 分 则 2分

x ? (??, ? 2) ? ? ' ( x) ? 0 ? ? ( x)在(??, ? 2) 递增; x ? (? 2, 2) ? ? ' ( x) ? 0 ? ? ( x)在(? 2, 2) 递减; x ? ( 2, ??) ? ? ' ( x) ? 0 ? ? ( x)在( 2, ??) 递增;………………………………… 9 分

f ( x)极大 ? f (? 2) ? 4 2, f ( x)极小 ? f ( 2) ? ?4 2 ,故 ?4 2 ? m ? 4 2 …… 10 分
( 2 ) 当 c ? ?3 时 , f ( x ) ? 1? 0对 于 ?x ?[ ?1,1] 立 ; ? ax3 ? 3x ? 1 ? 0 对 于 成

?x ?[ ?1, 1] 成立;令 k ( x) ? ax3 ? 3x ? 1,由k (1) ? 0得a ? 2 ………………………… 12 分
k ' ( x) ? 3ax 2 ? 3 ? 3a( x ? 1 1 )( x ? ) a a
因为

1 1 ? ? 1 所以 a 2

k ( x)在 ? ?1, ?

1 1 1 1 ) 递增, ( ? , ) 递减, ( ,1? 递增,……………………… 14 分 a a a a

? 1 ?k ( ) ? 0 ? a ? 4 ? f ( x) ? 4 x3 ? 3x …………………………………… 16 分 则必有 ? a ? k ( ?1) ? 0 ?
20、(本题满分 16 分)已知函数

f ( x) ? x 2 ? 3x | x ? a | ,其中 a ? R 。
6

(1)当 a ? 2 时,把函数 f ( x) 写成分段函数的形式; (2)当 a ? 2 时,求 f (x) 在区间 ?1, 3? 上的最值;

n (3)设 a ? 0 ,函数 f (x) 在 (m, n) 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m、 的取
值范围(用 a 表示) 。

?4 x 2 ? 6 x, x ? 2 ? f ( x) ? x 2 ? 3x | x ? 2 |? ? 20、 (1) a ? 2 时, …………………… 4 分 ?? 2 x 2 ? 6 x, x ? 2 ?
(2)结合图像, f (1) ? 4 , f (2) ? 4 , f (3) ? 18, f ( ) ?

3 2

9 2
8分

所以函数 在区间 [1,3] 上最大值为 18,最小值为……………………………………… (也可写出单调区间,写出可能的最值点及最值) (3)当 a ? 0 时,函数的图像如右,要使得在开区间 (m, n) 有最

3a 4 a 处取得; f (a) ? a 2 ,在区间 (??, a) 内,函数值为 a2 时 x ? , 2
大值又有最小值, 则最小值一定在 x ? a 处取得, 最大值在 x ? 所以

a 3a 3a 9a 2 ;f( ) ? ,而在区间 (a,??) 内函数值为 ?m? 2 4 4 8

9a 2 3?3 3 3?3 3 时x ? a ,所以 a ? n ? a ……………………………………… 12 分 8 8 8

当 a ? 0 时,函数的图像如右,要使得在开区间 (m, n) 有最大 值又有最小值,则最大值一定在 x ? a 处取得,最小值在

3a 处取得, f (a) ? a 2 ,在 (a,??) 内函数值为 a2 时 8 a 3a a 3a 9 x ? ? ,所以 ? n ? ? , f ( ) ? ? a 2 ,在区间 4 8 4 8 16 9 (??, a) 内,函数值为 ? a 2 时, 16 x?
6?3 6 6?3 6 a ,所以 a ? m ? a ……………………………………………… 15 分 8 8

x?

综上所述, a ? 0 时,

a 3a 3?3 3 6?3 6 ?m? ,a ? n ? a ; a ? 0 时, a ? m ? a, 2 4 8 8
7

3a a ? n ? ? ……………………………………………………………………………… 16 分 8 4

8


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