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全国高中数学联合竞赛模拟试题及答案


全国高中数学联合竞赛模拟试题 第 一 试 2 时间:10 月 16 日 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1、设锐角 ? 使关于 x 的方程 x ? 4 x cos? ? cot ? ? 0 有重根,则 ? 的弧度数为( A. ) ? 6 B. 2 ? 12 2 or 5? 12 C. ? 6 or 5? 12 D. ? 12 2、已知

M ? {( x, y) | x ? 2 y ? 3}, N ? {( x, y) | y ? mx ? b} 。若对所有 m ? R, 均有 M ? N ? ? ,则 b 的取值范围是( A. ? ? ) ? ? 6 6? , ? 2 2 ? B. ? ? ? ? ? 6 6? , ? 2 2 ? ? C. ( ? 2 3 2 3 , ] 3 3 ) D. ? ? ? 2 3 2 3? , ? 3 ? ? 3 3、不等式 log 2 x ? 1 ? 1 log 1 x3 ? 2 ? 0 的解集为( 2 2 C. [2, 4) A. [2,3) B. (2,3] D. (2, 4] 4、设 O 点在 ?ABC 内部,且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 ?ABC 的面积与 ?AOC 的面 积的比为( A. 2 ) B. ??? ? ??? ? ??? ? ? 3 2 C. 3 D. 5 3 5、设三位数 n ? abc ,若以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形, 则这样的三位数 n 有( ) A. 45 个 B. 81 个 C. 165 个 D. 216 个 6、顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面圆内的 点,O 为底面圆的圆心, AB ? OB ,垂足为 B, OH ? PB ,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的中点,则当三棱锥 O-HPC 的体积最大时,OB 的长是( ) A. 5 3 B. 2 5 3 C. 6 3 D. 2 6 3 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7、在平面直角坐标系 xoy 中,函数 f ( x) ? a sin ax ? cos ax (a ? 0) 在一个最小正周期长 1 的 区 间 上 的 图 像 与 函 数 g ( x) ? ________________。 a2 ? 1 的 图 像 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 是 8、设函数 f : R ? R, 满足f (0) ? 1 ,且对任意 x, y ? R, 都有 f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2 ,则 D1 C1 f ( x) =_____________________。 9、如图、正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 二面角 A ? BD1 ? A1 的度数是____________。 D A1 F E B1 10、设 p 是给定的奇质数,正整数 k 使得 k ? pk 也是 2 C A 一个正整数,则 k=____________。 11、已知数列 a0 , a1 , a2 ,..., an ,..., 满足关系式 B (3 ? an?1 )(6 ? an ) ? 18, 且a0 ? 3 ,则 ? i ?o n 1 的值是_________________________。 ai 12、在平面直角坐标系

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