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2012年新课标版高考题库考点29 基本不等式


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考点 29
一、选择题

基本不等式

1.(2012·陕西高考理科·T9)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,
2 2 2 若 a ?

b ? 2c ,则 cos C 的最小值为(

) (D)
? 1 2

(A)

3 2

(B)

2 2

1 (C) 2

【解题指南】直接利用余弦定理列出角 C 的表达式,再对照已知条件,代换消 元,注意保留 a,b,消去字母 c,再利用基本不等式解答. 【解析】选 C.由余弦定理得 仅当 a ? b 时,
(cos C )min ? 1 2.
cos C ? a 2 ? b2 ? c2 2(a 2 ? b2 ) ? (a 2 ? b2 ) a 2 ? b2 2ab 1 ? ? ? … 2ab 4ab 4ab 4ab 2 ,当且

2.(2012 ·陕西高考文科·T10)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b (a?b) ,其全程的平均时速为 v ,则 (A) a ? v ?
ab


ab ? v ?


a?b 2

(B) v ?

ab

(C)

(D)

v?

a?b 2

路程 【解题指南】根据基本公式:速度= 时间 计算平均速度,然后再根据基本不等式进

行判断. 【解析】选 A. 设甲乙两地的路程为 s,则往返时间分别是
s 2 ab 2s ? s s ? a ? b v? ? 均速度是 t1 ? t2 a b

t1 ?

s s t2 ? a, b ,所以平

,因为 a ? b ,所以

2ab 2ab 2ab 2a 2 ? ? ab ? ?a a ? b 2 ab a?b a?a ,

,即

a ? v ? ab .

3.(2012·浙江高考文科·T9)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小
-1-

值是(
24 (A) 5

)
28 (B) 5

(C)5

(D)6

【解题指南】构造 1 进行代换,利用基本不等式可求出最值.
1 3 ? ?1 【解析】选C.由 x+3y=5xy 可得 5 y 5 x ,
? 1 3 ? 9 4 3x 12 y 13 12 ? ? ? ?5 ? ? ?? ? ? 3x 12y ∴3x+4y =(3x+4y) ? 5 y 5 x ? 5 5 5 y 5 x 5 5 (当且仅当 = 时, 5y 5x

等号成立) ,∴3x+4y 的最小值是 5. 4.(2012·福建高考理科·T5)下列不等式一定成立的是(
1 lg( x 2 ? ) ? lg x ( x ? 0) 4 (A)
2 (C) x ? 1 ? 2 | x | ( x ? R)



(B)

sin x ?

1 ? 2 ( x ? k? , k ? Z ) sin x

1 ? 1 ( x ? R) (D) x ? 1
2

【解题指南】运用基本不等式,不等式的性质可以解题,解题时要注意利用基 本不等式时等号成立的条件,关注是否可以成立. 【解析】选 C. 选项 具体分析
1 1 1 1 lg( x 2 ? ) ? lg(2 x 2 ? ) ? lg x ,当且仅当 x 2 ? 时,即 x ? 4 4 4 2

结论

A

不正确

时取等号 B C D 当 sin x ? 0 时,不可能有 sin x ?
1 ?2 sin x

不正确 正确 不正确

由基本不等式得 x 2 ? 1 ?| x |2 ?1 ? 2 | x | 因为 x2 ? 1 ? 1 ,所以
1 ?1 x ?1
2

-2-

5.(2012·湖北高考理科·T6)设 a,b,c,x,y,z 是正数,且
a?b?c ? x ? y ? z a +b +c =10,x +y +z =40,ax+by+cz=20,则 (
2 2 2 2 2 2

)

1 (A) 4

1 (B) 3

1 (C) 2

3 (D) 4

【解析】选 C.设 A(a,b,c),B(x,y,z), 则|OA|=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, |OB|=错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。, |AB|=错误!未找到引用源。 = 错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. ∴|OA|+|AB|=|OB|,∴O,A,B 三点共线,且 A 为 OB 的中点, ∴错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。, 即(x,y,z)=2(a,b,c),
a b c 1 a+b+c 1 ? = = = , ? = . x y z 2 x+y+z 2

6.(2012·湖北高考文科·T9)设 a,b,c,∈ R+,则“abc=1”是 “ 1 ? 1 ? 1 ? a ?b+ ?c c”的(
a b c

) (B)必要条件但不是充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分条件但不是必要条件 (C)充分必要条件 【解析】选 A.
? 1 1 1 bc ? ca ? ab ? ? ? a b c abc .

-3-

1 1 1 b ? c ? ? ? a ? c ? ? ?b ? a ? bc ? ca ? ab 2 ? a?b?c 2 2 ? ? abc abc abc .可知当 abc=1 时,可推出 且
1 1 1 1 1 1 ? ? ? a?b?c ? ? ? a?b?c a b c a b c ; 反之如: a=1,b=4,c=9,满足 , 但 abc=1

不成立. 二、解答题 7. (2012·江苏高考·T17)如图,
y (千米)

O

x(千米)

建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米. 某炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程
y ? kx ? 1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 20 表

示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程. (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问 它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 【解析】 (1)在 令 y=0,式子
x?
y ? kx ? 1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 20 中,

y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 20 可转化为

20k 1 ? k 2 .因 k>0,

x?

20k 20 ? 2 1 1 1? k k? ?k k ,当且仅当 k 即 k ? 1 时 x 取最大值 10.
-4-

炮的最大射程为 10 千米. (2)∵ a > 0 ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 即关于 k 的方程 a k
2
2 2

ka ?

1 (1 ? k 2 )a 2 =3.2 20 成立,

? 20ak ? a2 ? 64=0 有正根.



? = ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0

?

?

,得 a ? 6 .

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标.

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-5-


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